分式知識點及題型總結(jié)超好用

1、分式知識點及題型1、 分式的定義： 一般地，如果A，B表示兩個整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A為分子，B為分母。二、與分式有關(guān)的條件分式有意義：分母不為0（） 分式無意義：分母為0（）分式值為0：分子為0且分母不為0（） 分式值為正或大于0：分子分母同號（或）分式值為負(fù)或小于0：分子分母異號（或）分式值為1：分子分母值相等（A=B） 分式值為-1：分子分母值互為相反數(shù)（A+B=0）三、分式的基本性質(zhì)分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變。字母表示：，其中A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值

2、不變，即：注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時，要注意C0這個限制條件和隱含條件B0。四、分式的約分1定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。2步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。3注意：分式的分子與分母均為單項式時可直接約分，約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，然后約去分子分母相同因式的最低次冪。 分子分母若為多項式，先對分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。4最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。約分時。分子分母公因式的確定方法：1)系數(shù)取分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù).2)取各個公因式的最低次冪作為公因式的因式.

3、3)如果分子、分母是多項式,則應(yīng)先把分子、分母分解因式,然后判斷公因式.五、分式的通分1定義：把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依據(jù)：分式的基本性質(zhì)?。?最簡公分母：取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。通分時，最簡公分母的確定方法：1系數(shù)取各個分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù).2取各個公因式的最高次冪作為最簡公分母的因式.3如果分母是多項式,則應(yīng)先把每個分母分解因式,然后判斷最簡公分母.六、分式的四則運(yùn)算與分式的乘方 分式的乘除法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：分式除以

4、分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為： 分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子表示為： 分式的加減法則：同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為：異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為：整式與分式加減法：可以把整式當(dāng)作一個整數(shù)，整式前面是負(fù)號，要加括號，看作是分母為1的分式，再通分。 分式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序先乘方、再乘除、后加減，同級運(yùn)算中，誰在前先算誰，有括號的先算括號里面的，也要注意靈活，提高解題質(zhì)量。注意：在運(yùn)算過程中，要明確每一步變形的目的和依據(jù)，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨便跳步，以便查對有無錯誤

5、或分析出錯的原因。加減后得出的結(jié)果一定要化成最簡分式（或整式）。七、整數(shù)指數(shù)冪 引入負(fù)整數(shù)、零指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就推廣到了全體實數(shù)，并且正正整數(shù)冪的法則對對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪一樣適用。即： （） ） （） （任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1）其中m，n均為整數(shù)。八、分式方程的解的步驟：去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。（產(chǎn)生增根的過程）解整式方程，得到整式方程的解。檢驗，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：如果最簡公分母為0，則原方程無解，這個未知數(shù)的值是原方程的增根；如果最簡公分母不為0，則是原方程的解。產(chǎn)生增根的條件是：是得到的整式方程的解；代入最簡公分母后值為0。九、列分式方

6、程基本步驟： 審仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系。 設(shè)合理設(shè)未知數(shù)。 列根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）。 解解出方程（組）。注意檢驗 答答題。分式典型例題1、 分式（一）從分?jǐn)?shù)到分式題型1：考查分式的定義例：下列式子中，、8a2b、-、2-、 、中分式的個數(shù)為（ ） （A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5練習(xí)題：（1）下列式子中，是分式的有 .； ；.（2）下列式子，哪些是分式？； ； ；.題型2：考查分式有，無意義，總有意義（1）使分式有意義：令分母0按解方程的方法去求解；（2）使分式無意義：令分母=0按解方程的方法去求解；注意：（0）例1：當(dāng)x 時，分式有意義； 例2：分式中，當(dāng)時，分式?jīng)]有意義

7、例3：當(dāng)x 時，分式有意義。 例4：當(dāng)x 時，分式有意義例5：，滿足關(guān)系 時，分式無意義；例6：無論x取什么數(shù)時，總是有意義的分式是（ ）A B. C. D.例7：使分式 有意義的x的取值范圍為（）ABCD例8：要是分式?jīng)]有意義，則x的值為（ ） A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3題型3：考查分式的值為零的條件使分式值為零：令分子=0且分母0，注意：當(dāng)分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。例1：當(dāng)x 時，分式的值為0 例2：當(dāng)x 時，分式的值為0例3：如果分式的值為為零,則a的值為( ) A. B.2 C. D.以上全不對例4：能使分式的值為零的所有的值是

8、 （ ）A B C 或 D或例5：要使分式的值為0，則x的值為（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2例6：若,則a是( )A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.零 D.任意有理數(shù)題型4：考查分式的值為正、負(fù)的條件【例】（1）當(dāng)為何值時，分式為正；（2）當(dāng)為何值時，分式為負(fù)；（3）當(dāng)為何值時，分式為非負(fù)數(shù).二、分式的基本性質(zhì)題型1：分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變。 例1： ； ；如果成立,則a的取值范圍是_；例2： 例3：如果把分式中的a和b都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（ ）A、擴(kuò)大10倍 B、縮小10倍 C、是原來的20倍 D、不變例4：如

9、果把分式中的x，y都擴(kuò)大10倍，則分式的值（ ） A擴(kuò)大100倍 B擴(kuò)大10倍 C不變 D縮小到原來的例5：如果把分式中的x和y都擴(kuò)大2倍，即分式的值（ ）A、擴(kuò)大2倍； B、擴(kuò)大4倍； C、不變； D縮小2倍例6：若把分式的x、y同時縮小12倍，則分式的值（）A擴(kuò)大12倍B縮小12倍C不變D縮小6倍例7：若x、y的值均擴(kuò)大為原來的2倍，則下列分式的值保持不變的是（ ）A、 B、 C、 D、例8：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（ ）A B C D 例9：不改變分式的值，使分式的分子、分母中各項系數(shù)都為整數(shù)， ；例10：不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數(shù)為正數(shù)， = 。題型2：分式的約

10、分及最簡分式約分的概念：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分分式約分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì)分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式約分的結(jié)果：最簡分式（分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式）約分主要分為兩類：第一類：分子分母是單項式的，主要分?jǐn)?shù)字，同字母進(jìn)行約分。第二類：分子分母是多項式的，把分子分母能因式分解的都要進(jìn)行因式分解，再去找共同的因式約去。例1：下列式子（1）；（2）；（3）；（4）中正確的是（ ）A 、1個 B 、2 個 C、 3 個 D、 4 個例2：下列約分正確的是（ ）A、； B、； C、； D、例3：下列式子正確的是( )A

11、 B. C. D.例4：下列運(yùn)算正確的是（ ）A、 B、 C、 D、例5：下列式子正確的是（ ）A B C D例6：化簡的結(jié)果是（ ）A、 B、 C、 D、例7：約分： ；= ； 。例8：約分： ； ； ； ； ； _。例9：分式，中，最簡分式有( )A1個 B2個 C3個 D4個題型3：分式的通分及最簡公分母:通分：主要分為兩類：第一類：分母是單項式；第二類：分母是多項式（要先把分母因式分解）分為三種類型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三種類型?！岸?、三”型：指幾個分母之間沒有關(guān)系，最簡公分母就是它們的乘積。例如：最簡公分母就是。“二、四”型：指其一個分母完全包括另一個分母，最簡

12、公分母就是其一的那個分母。例如：最簡公分母就是“四、六”型：指幾個分母之間有相同的因式，同時也有獨特的因式，最簡公分母要有獨特的；相同的都要有。例如：最簡公分母是：例1：分式的最簡公分母是（ ）A B C D例2：對分式，通分時， 最簡公分母是（ ）Ax2y B例3：下面各分式：,，其中最簡分式有（ ）個。A. 4B. 3C. 2D. 1例4：分式，的最簡公分母是 .例5：分式a與的最簡公分母為_；例6：分式的最簡公分母為 。2、 分式的運(yùn)算（1） 分式的乘除題型1：分式的乘，除，乘方分式的乘法：乘法法測：=.分式的除法：除法法則：=分式的乘方：求n個相同分式的積的運(yùn)算就是分式的乘方，用式子表

13、示就是()n.分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示為：()n=(n為正整數(shù))例題：計算：（1） （2） 計算：（3） （4） 計算：（5） （6） 計算：（7） （8） 求值題：（1）已知：，求的值。 （2）已知：，求的值。 （3）已知：，求的值。例題：計算：（1） （2）= （3）= 計算：（4）= （5） = 求值題：（1）已知： 求的值。（2）已知：求的值。練習(xí)：計算的結(jié)果是（ ）A B C D 化簡的結(jié)果是（ ）A. 1 B. xy C. D . 計算：（1）；（2） （3）(a21)（二）分式的加減：分式加減主體分為：同分母和異分母分式加減。1、同分母分式不用通分，分母不變

14、，分子相加減。2、異分母分式要先通分，在變成同分母分式就可以了。通分方法：先觀察分母是單項式還是多項式，如果是單項式那就繼續(xù)考慮是什么類型，找出最簡公分母，進(jìn)行通分；如果是多項式，那么先把分母能分解的要因式分解，考慮什么類型，繼續(xù)通分。分類：第一類：是分式之間的加減，第二類：是整式與分式的加減。例1：= 例2：= 例3：= 例4：= 計算：（1） （2） （3） （4） . 例5：化簡+等于（ ） A B C D例6： 例7： 例8： 例9： 例10： 例11： 練習(xí)題：（1） （2） （3） +. （4） （5） 例13：計算的結(jié)果是（ ）A B C D 例14：請先化簡：，然后選擇一個使原

15、式有意義而又喜歡的數(shù)代入求值.例15：已知： 求的值。（3） 分式的混合運(yùn)算題型1：化簡分式例1： 例2：例3： 例4： 例5： 例6： 例7 例8： 題型2：分式求值問題：例1：已知x為整數(shù)，且+為整數(shù)，求所有符合條件的x值的和.例2：已知x2，y，求的值.例3：已知實數(shù)x滿足4x2-4x+l=O，則代數(shù)式2x+的值為_例4：已知實數(shù)a滿足a22a8=0，求的值.例5：若 求的值是（ ）A B C D例6：已知，求代數(shù)式的值例7：先化簡，再對取一個合適的數(shù)，代入求值練習(xí)題：先化簡再求值（1），其中x=5. （2）,其中a=-3，b=2（3） ；其中a=85； （4），其中x= -1（5）先化

16、簡，再求值：(x+2).其中x2.（6）題型3：分式其他類型試題：例1：觀察下面一列有規(guī)律的數(shù)：，根據(jù)其規(guī)律可知第個數(shù)應(yīng)是（n為正整數(shù)）例2： 觀察下面一列分式：根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，它的第8項是 ，第n項是 。例3：當(dāng)x=_時,分式與互為相反數(shù).例4：已知，則；例5： 已知，則（）AB C D例6：已知，求的值；例7：先填空后計算：= 。= 。= 。（3分）（本小題4分）計算：解：= 3、 分式與方程（一 ）分式方程的解法解分式方程，主要是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，通常的方法是去分母，并且要檢驗，但對一些特殊的分式方程，可根據(jù)其特征，采取靈活的方法求解，現(xiàn)舉例如下：1、交叉相乘法：例1解方程：2、化

17、歸法：例2解方程：3、左邊通分法：例3：解方程：4、分子對等法：例4解方程：5、觀察比較法：例5解方程：6、分離常數(shù)法：例6解方程：7、分組通分法：例7解方程：（二）分式方程求待定字母值的方法例1若分式方程無解，求的值。例2若關(guān)于的方程不會產(chǎn)生增根，求的值。例3若關(guān)于分式方程有增根，求的值。例4若關(guān)于的方程有增根，求的值。（二）分式方程的題型題型1：化為一元一次的分式方程（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程分式方程。（2）解分式方程的過程，實質(zhì)上是將方程兩邊同乘以一個整式（最簡公分母），把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。解分式方程時，方程兩邊同乘以最簡公分母時，最簡公分母有可能為，這樣就產(chǎn)

18、生了增根，因此分式方程一定要驗根。（3）解分式方程的步驟 ：（1）能化簡的先化簡； (2)方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程； (3)解整式方程； (4)驗根例1：如果分式的值為1，則x的值是 ；例2：要使的值相等，則x=_。例3：當(dāng)m=_時，方程=2的根為.例4：如果方程 的解是x5，則a 。例5:解方程：例6：已知：關(guān)于x的方程無解，求a的值。例7：若分式與的2倍互為相反數(shù)，則所列方程為_；例8：當(dāng)m為何值時間？關(guān)于的方程的解為負(fù)數(shù)？例9：解關(guān)于的方程例10：解關(guān)于x的方程:例11知關(guān)于x的方程的解為負(fù)值，求m的取值范圍。練習(xí)題： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

19、 (8） （9） 題型2：分式方程的增根問題：（1）增根應(yīng)滿足兩個條件：一是其值應(yīng)使最簡公分母為0，二是其值應(yīng)是去分母后所的整式方程的根。 （2）分式方程檢驗方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。例1：分式方程+1=有增根，則m= 例2：當(dāng)k的值等于 時，關(guān)于x的方程不會產(chǎn)生增根；例3：若解關(guān)于x的分式方程會產(chǎn)生增根，求m的值。例4：取 時，方程會產(chǎn)生增根；例5：若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為_。例6：當(dāng)k取什么值時？分式方程有增根.例7：若方程有增根，則m的值是（ ）A4 B3 C-3 D1例8：若方

20、程有增根，則增根可能為（ ）A、0 B、2 C、0或2 D、1題型3：公式變形問題：例1：已知公式（），則表示的公式是（ ）A B C D例2：一根蠟燭在凸透鏡下成一實像，物距u，像距v和凸透鏡的焦距f滿足關(guān)系式：. 若f6厘米，v8厘米，則物距u 厘米.例3：已知梯形面積S、a、b、h都大于零，下列變形錯誤是（ ）A B. C. D.例4：已知,則M與N的關(guān)系為( )A. MN B.M=N C.M0,n0,mn)，依題意，得： 采購員A兩次購買飼料的平均單價為(元千克)，采購員B兩次購買飼料的平均單價為(元千克)而0 也就是說，采購員A所購飼料的平均單價高于采購員B所購飼料的平均單價，所以選

21、用采購員B的購買方式合算例13 某商場銷售某種商品，一月份銷售了若干件，共獲得利潤30000元;二月份把這種商品的單價降低了 0.4元，但是銷售量比一月份增加了5000件，從而獲得利潤比一月份多2000元，調(diào)價前每件商品的利潤為多少元？解： 可以列出三個等量關(guān)系：12月份銷售量一1月份銷售量=5000 22月份銷售量2月份利潤=2月份總利潤 31月份利潤一2月份利潤=0.4二、工程類應(yīng)用性問題例21 甲乙兩個工程隊合作一項工程，兩隊合作2天后，由乙隊單獨做1天就完成了全部工程。已知乙隊單獨做所需天數(shù)是甲隊單獨做所需天數(shù)的 倍，問甲乙單獨做各需多少天？單獨做所需時間一天的工作量 實際做時間工作量

22、 甲x天2天 1 乙（2+1）天解析：等量關(guān)系：甲隊單獨做的工作量+乙隊單獨做的工作量=1例22 甲、乙兩個學(xué)生分別向計算機(jī)輸入1500個漢字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分鐘完成任務(wù)，他們平均每分鐘輸入漢字多少個？輸入漢字?jǐn)?shù)每分鐘輸入個數(shù)所需時間甲1500個x個/分乙1500個3x個/分解析：等量關(guān)系：甲用時間=乙用時間+20（分鐘）例23 某農(nóng)場原計劃在若干天內(nèi)收割小麥960公頃，但實際每天多收割40公頃，結(jié)果提前4天完成任務(wù)，試求原計劃一天的工作量及原計劃的天數(shù)。解析1：工作總量一天的工作量所需天數(shù)原計劃情況960公頃x公頃實際情況960公頃（x+40）公頃等量關(guān)系：原計劃天數(shù)=

23、實際天數(shù)+4（天）解析2： 工作總量所需天數(shù)一天的工作量原計劃情況960公頃實際情況960公頃等量關(guān)系：原計劃每天工作量=實際每天工作量-40（公頃）例24 某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊共8700元，乙、丙兩隊合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊共9500元，甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊共5500元求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由解：設(shè)甲隊單獨做需天完成，乙隊單獨做需天完成，丙隊單獨做需天完成，依題意可得： ，得=，得=，即z = 30，得=，即x = 10

24、，得=，即y = 15經(jīng)檢驗，x = 10，y = 15，z = 30是原方程組的解設(shè)甲隊做一天廠家需付元，乙隊做一天廠家需付元，丙隊做一天廠家需付元，根據(jù)題意，得 由可知完成此工程不超過工期只有兩個隊：甲隊和乙隊此工程由甲隊單獨完成需花錢元；此工程由乙隊單獨完成需花錢元所以，由甲隊單獨完成此工程花錢最少評析：在求解時，把，分別看成一個整體，就可把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來解例25 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成現(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩天，剩下的工程由乙獨做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天？解： 工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所

25、需天數(shù)，設(shè)為x天，那么乙單獨完成工程所需的天數(shù)就是(x3)天.設(shè)工程總量為1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依題意，得，解得 即規(guī)定日期是6天 例26 今年某大學(xué)在招生錄取時，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，2640名學(xué)生的成績數(shù)據(jù)分別由兩位教師向計算機(jī)輸入一遍，然后讓計算機(jī)比較兩人的輸入是否一致.已知教師甲的輸入速度是教師乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時輸完.問這兩位教師每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績？ 解： 設(shè)教師乙每分鐘能輸入x名學(xué)生的成績，則教師甲每分鐘能輸入2x名學(xué)生的成績，依題意，得：， 解得 x11 經(jīng)檢驗，x11是原方程的解，且當(dāng)x11時，2x22，符合題意即教師甲每分鐘能輸入22名學(xué)

26、生的成績，教師乙每分鐘能輸入11名學(xué)生的成績例27 甲乙兩人做某種機(jī)器零件。已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等。求甲、乙每小時各做多少個？解析：甲每小時做x個零件，做90個零件所用的時間是(90 x) 小時，還可用式子 小時來表示。乙每小時做(x-6)個零件，做60個零件所用的時間是 60(x-6) 小時，還可用式子 小時來表示。 等量關(guān)系：甲所用時間=乙所用時間 三、行程中的應(yīng)用性問題例3.1 甲、乙兩個車站相距96千米，快車和慢車同時從甲站開出，1小時后快車在慢車前12千米，快車比慢車早40分鐘到達(dá)乙站，快車和慢車的速度各是多少？所行距離速度時間快車9

27、6千米x千米/小時慢車96千米（x-12）千米/小時分析：等量關(guān)系：慢車用時=快車用時+ （小時）例3.2 甲、乙兩地相距828km，一列普通快車與一列直達(dá)快車都由甲地開往乙地，直達(dá)快車的平均速度是普通快車平均速度的1.5倍直達(dá)快車比普通快車晚出發(fā)2h，比普通快車早4h到達(dá)乙地，求兩車的平均速度分析：這是一道實際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時間，基本關(guān)系是路程= 速度時間。解：設(shè)普通快車車的平均速度為kmh，則直達(dá)快車的平均速度為1.5kmh，依題意，得=，解得，經(jīng)檢驗，是方程的根，且符合題意，即普通快車車的平均速度為46kmh，直達(dá)快車的平均速度為69kmh例3.3 A、B兩地相

28、距87千米，甲騎自行車從A地出發(fā)向B地駛?cè)?，?jīng)過30分鐘后，乙騎自行車由B地出發(fā)，用每小時比甲快4千米的速度向A地駛來，兩人在距離B地45千米C處相遇，求甲乙的速度。分析：所行距離速度時間甲（87-45）千米x千米/小時乙45千米（x+4）千米/小時等量關(guān)系：甲用時間=乙用時間+ （小時）例3.4 一隊學(xué)生去校外參觀他們出發(fā)30分鐘時，學(xué)校要把一個緊急通知傳給帶隊老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕隊伍若騎車的速度是隊伍行進(jìn)速度的2倍，這名學(xué)生追上隊伍時離學(xué)校的距離是15千米，問這名學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間？ 解： 設(shè)步行速度為x千米時，騎車速度為2x千米時，依題意，得：方程

29、兩邊都乘以2x，去分母，得30-15x，所以，x15檢驗：當(dāng)x15時，2x2150，所以x15是原分式方程的根，并且符合題意，騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘例3.5 農(nóng)機(jī)廠職工到距工廠15千米的生產(chǎn)隊檢修農(nóng)機(jī)，一部分人騎自行車先走，40分鐘后，其余的人乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)，已知汽車的速度是自行車的3倍，求兩車的速度 解： 設(shè)自行車的速度為x千米/小時，那么汽車的速度為3x千米/小時，依題意，得： 解得x15 經(jīng)檢驗x15是這個方程的解當(dāng)x15時，3x45即自行車的速度是15千米/小時，汽車的速度為45千米/小時例3.6 甲乙兩人同時從一個地點相背而行，1小時后分別到達(dá)各自的終點A與B

30、；若從原地出發(fā)，但是互換彼此的目的地，則甲將在乙到達(dá)A之后35分鐘到達(dá)B，求甲與乙的速度之比。分析：等量關(guān)系：甲走OB的時間-乙走OA的時間=35分鐘四、輪船順逆水應(yīng)用問題例41 輪船順流、逆流各走48千米，共需5小時，如果水流速度是4千米/小時，求輪船在靜水中的速度。分析：順流速度=輪船在靜水中的速度+水流的速度逆流速度=輪船在靜水中的速度-水流的速度路程速度時間順流48千米(x+4)千米/小時逆流48千米(x-4)千米/小時等量關(guān)系：順流用時+逆流用時=5（小時）例42 輪船在順?biāo)泻叫?0千米的時間與在逆水中航行20千米所用的時間相等，已知水流速度為2千米時，求船在靜水中的速度。解析：順

31、水航行30千米的時間= 逆水中航行20千米的時間，即=設(shè)船在靜水中的速度為千米時，又知水流速度，于是順?biāo)叫兴俣?、逆水航行速度可用未知?shù)表示，問題可解決解： 設(shè)船在靜水中速度為千米時，則順?biāo)叫兴俣葹榍讜r，逆水航行速度為千米時，依題意，得=，解得經(jīng)檢驗，是所列方程的根 即船在靜水中的速度是10千米時五、濃度應(yīng)用性問題例5 要在15%的鹽水40千克中加入多少鹽才能使鹽水的濃度變?yōu)?0%分析：設(shè)加入鹽千克濃度問題的基本關(guān)系是：=濃度溶液溶質(zhì)濃度加鹽前404015%15%加鹽后404015%20%解：設(shè)應(yīng)加入鹽千克，依題意，得=100(4015%) = 20(40)，解得經(jīng)檢驗，是所列方程的根，即

32、加入鹽2.5千克六、耕地問題1、塊面積相同的小麥試驗田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000Kg和15000Kg,已知第一塊試驗田的每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000Kg,分別求這塊試驗田每公頃的產(chǎn)量。2、某農(nóng)場原有水田400公頃，旱田150公頃，為了提高單位面積產(chǎn)量，準(zhǔn)備把部分旱田改為水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，問應(yīng)把多少公頃旱田改為水田。3、 退耕還林還草是我國西部實施的一項重要生態(tài)工程，某地規(guī)劃退耕面積69000公頃，退耕還林與退耕還草的面積比是5：3，設(shè)退耕還林的面積是X公頃，那么應(yīng)滿足的分式方程是什么？七數(shù)字問題例1：一個分?jǐn)?shù)的分子比分母小6,如果分子分母

33、都加1,則這個分?jǐn)?shù)等于,求這個分?jǐn)?shù).例2：一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是2，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，所得到的新的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)之比是7：4，求原來的兩位數(shù)。例3：一個分?jǐn)?shù)的分母加上5，分子加上4，其結(jié)果仍是原來的分?jǐn)?shù)，求這個分?jǐn)?shù)。例4：一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小2，個位上的數(shù)字加上8以后去除這個兩位數(shù)時，所得到的商是2，求這個兩位數(shù)。分式方程應(yīng)用題課后練習(xí)1. 營銷類應(yīng)用性問題1、一個批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發(fā)價付款，購買300枝以下，（包括300枝）只能按零售價付款。小明來該店購買鉛筆，如果給八年級學(xué)生每人購買1枝，那

34、么只能按零售價付款，需用120元，如果購買60枝，那么可以按批發(fā)價付款，同樣需要120元，（1） 這個八年級的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)？（2） 若按批發(fā)價購買6枝與按零售價購買5枝的款相同，那么這個學(xué)校八年級學(xué)生有多少人（3） 這個八年級的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)？（4） 若按批發(fā)價購買6枝與按零售價購買5枝的款相同，那么這個學(xué)校八年級學(xué)生有多少人？2、某工廠去年贏利25萬元，按計劃這筆贏利額應(yīng)是去、今兩年贏利總額的20%，今年的贏利額應(yīng)是多少？3、某商廈進(jìn)貨員預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用8萬元購進(jìn)這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求，商廈又用17.6萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍

35、，但單價貴了4元，商廈銷售這種襯衫時每件定價都是58元，最后剩下的150件按八折銷售，很快售完，在這兩筆生意中，商廈共贏利多少元。4、一個批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發(fā)價付款，購買300枝以下，（包括300枝）只能按零售價付款。小明來該店購買鉛筆，如果給八年級學(xué)生每人購買1枝，那么只能按零售價付款，需用120元，如果購買60枝，那么可以按批發(fā)價付款，同樣需要120元，5、某商店銷售一批服裝，每件售價150元，可獲利25%，求這種服裝的成本價。6、某商店甲種糖果的單價為每千克20元，乙種糖果的單價為每千克16元，為了促銷，現(xiàn)將10千克的乙種糖果

36、和一包甲種糖果混合后銷售，如果將混合后的糖果單價定為每千克17。5元，那么混合銷售與分開銷售的銷售額相同，這包甲糖果有多少千克？7、總價9元的甲種糖果和總價是9元的乙種糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲種糖果便宜1元，比乙種糖果貴元，求甲、乙兩種糖果每千克各多少元？8、甲種原料和乙種原料的單價比是2：3，將價值2000元的甲種原料有價值1000元的乙混合后，單價為9元，求甲的單價。9、小明和同學(xué)一起去書店買書，他們先用15元買了一種科普書，又用15元買了一種文學(xué)書，科普書的價格比文學(xué)書的價格高出一半，因此他們買的文學(xué)書比科普書多一本，這種科普和文學(xué)書的價格各是多少？10、甲種原料和乙種原料的

37、單價比是2：3，將價值2000元的甲種原料有價值1000元的乙混合后，單價為9元，求甲的單價。2. 工程問題1、某車間需加工1500個螺絲，改進(jìn)操作方法后工作效率是原計劃的倍，所以加工完比原計劃少用9小時，求原計劃和改進(jìn)操作方法后每小時各加工多少個螺絲？2、某運(yùn)輸公司需要裝運(yùn)一批貨物，由于機(jī)械設(shè)備沒有到位，只好先用人工裝運(yùn)，6小時后完成一半，后來機(jī)械裝運(yùn)和人工同時進(jìn)行，1小時完成了后一半，如果設(shè)單獨采用機(jī)械裝運(yùn)X小時可以完成后一半任務(wù)，那么應(yīng)滿足的方程是什么 ？3、某車間加工1200個零件，采用新工藝，工效是原來的1.5倍，這樣加工同樣多的零件就少用10小時，采用新工藝前后每時分別加工多少個零

38、件？4、某人現(xiàn)在平均每天比原計劃多加工33個零件，已知現(xiàn)在加工3300個零件所需的時間和原計劃加工2310個零件的時間相同，問現(xiàn)在平均每天加工多少個零件。5、一臺甲型拖拉機(jī)4天耕完一塊地的一半，加一天乙型拖拉機(jī)，兩臺合耕，1天耕完這塊地的另一半。乙型拖拉機(jī)單獨耕這塊地需要幾天？6、A做90個零件所需要的時間和B做120個零件所用的時間相同，又知每小時A、B兩人共做35個機(jī)器零件。求A、B每小時各做多少個零件。7、某 市為治理污水，需要鋪設(shè)一段全長3000米的污水輸送管道，為了盡量減少施工對城市交通造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加25%，結(jié)果提前30天完成了任務(wù)，實際每天鋪設(shè)多長管道

39、？8、有一工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，如果甲單獨工作，剛好能夠按期完成；如果乙單獨工作，就要超過規(guī)定日期3天.現(xiàn)在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙單獨完成，剛好在規(guī)定日期完成，求規(guī)定日期是幾天？9、某水泵廠在一定天數(shù)內(nèi)生產(chǎn)4000臺水泵，工人為支援四化建設(shè)，每天比原計劃增產(chǎn)，可提前10天完成任務(wù)，問原計劃日產(chǎn)多少臺？10、某車間需加工1500個螺絲，改進(jìn)操作方法后工作效率是原計劃的倍，所以加工完比原計劃少用9小時，求原計劃和改進(jìn)操作方法后每小時各加工多少個螺絲？3.行程問題1、走完全長3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到達(dá)，那么速度應(yīng)達(dá)到多少？2、從甲地到乙地有兩條公路：一條是全長

40、600Km的普通公路，另一條是全長480Km的告訴公路。某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路從甲地到乙地所需的時間是由普通公路從甲地到乙地所需時間的一半，求該客車由高速公路從甲地到乙地所需要的時間。3、從甲地到乙地的路程是15千米，A騎自行車從甲地到乙地先走，40分鐘后，B騎自行車從甲地出發(fā)，結(jié)果同時到達(dá)。已知B的速度是A的速度的3倍，求兩車的速度。4、假日工人到離廠25千米的瀏覽區(qū)去旅游；一部分人騎自行車，出發(fā)1小時20分鐘后，其余的人乘汽車出發(fā)，結(jié)果兩部分人同時到達(dá)，已知汽車速度是自行車的3倍，求汽車和自行車速度5、我部隊到某橋頭阻擊敵人，出發(fā)時敵人離橋頭24千米，我部隊離橋頭30千米，我部隊急行軍速度是敵人的1.5倍，結(jié)果比敵人提前48分鐘到達(dá)，求我部隊的速度。6、某中學(xué)到離學(xué)校15千米的某地旅游，先遣隊和大隊同時出發(fā)，行進(jìn)速度是大隊的1.2倍，以便提前半小時到達(dá)目的地做準(zhǔn)備工作。求先遣隊和大隊的速度各是多少？7、我軍某部由駐地到距離30千米的地方去執(zhí)行