動點(diǎn)存在性問題

1、 第一講 動點(diǎn)存在性問題一考情分析中考分值在近年中考中，考察了存在性問題?？疾榉绞酱嬖谛詥栴}一般都是以最后一道壓軸題出現(xiàn)的，幾乎都是函數(shù)、代數(shù)、幾何的綜合題目，集多個(gè)知識點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題，綜合性強(qiáng)，能力要求高二知識回顧1、題型分類在中考中，存在性問題一般分為四類：1.是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）；2.是否存在四邊形（平行四邊形、直角梯形和等腰梯形）；3.是否存在三角形與已知三角形相似或者全等；4.是否存在三角形與已知三角形的面積之間有數(shù)量關(guān)系。2、方法歸納 在解決動點(diǎn)存在性問題時(shí)，一般先假設(shè)其存在，得到方程，如果有解，則存在，反之，則不存在。而在列方程時(shí)，一般要用到特

2、殊三角形以及特殊平行四邊形的性質(zhì)、相似、解直角三角形等知識點(diǎn)，需要注意的是，列方程時(shí)，一定要遵循：用兩種不同的方法表示同一個(gè)量，否則，將會得到“1=1”之類的恒等式。對于是否存在三角形，一般按頂點(diǎn)分為三類情況。而對于是否存在平行四邊形則有兩種形式的題目：如果已知三個(gè)定點(diǎn)，就有三種情況，一般利用平移坐標(biāo)法即可求出答案；如果只有兩個(gè)定點(diǎn)就應(yīng)該按與邊平行以及與對角線平行兩種情況考慮了。對于等腰梯形，就應(yīng)該考慮腰長在下底邊上的投影了。對于是否存在三角形與已知三角形相似或者全等，則與是否存在三角形一樣，分三類情況，當(dāng)然，如果有一個(gè)角是一個(gè)定角（比如直角），則就分為兩類情況。類型一：是否存在三角形（等腰三

3、角形、直角三角形）ABQCPD圖1（A）【典型例題1】如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90°，BC16，DC12，AD21。動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個(gè)單位長的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（秒）。當(dāng)t為何值時(shí)，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？（C）【典型例題2】如圖2，在等腰梯形中，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，.（1）求點(diǎn)到的距離；（2）點(diǎn)為線段上的一個(gè)動點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，過作交折線于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè).當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖3）

4、，的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長；若改變，請說明理由；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖4），是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由.（B）【典型例題3】如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為 (1，0)。求該拋物線的解析式；動點(diǎn)P在x軸上移動，當(dāng)PAE是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)P。練習(xí)（B）1如圖6，在梯形中，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動；動點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為秒（1）求的長（2）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形 ADC

5、BMN圖6（C）2如圖，在中，分點(diǎn)別是邊ABCDERPHQ圖7的中，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動設(shè)，（1）求點(diǎn)到的距離的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由（B）3已知拋物線，交x軸于A、B兩點(diǎn)(A在B的左邊)，交y軸于C點(diǎn)，且y有最大值4 (1)求拋物線的解析式； (2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使PBC是直角三角形?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由類型二：是否存在四邊形（平行四邊形、直角梯形和等腰梯形）OBxyAMC1圖9（B）【典

6、型例題4】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸是直線，頂點(diǎn)是（1） 求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2） 經(jīng)過兩點(diǎn)作直線與軸交于點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（C）【典型例題5】如圖，拋物線與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2（1）求A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)G是拋物線上的動點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由（A）【典

7、型例題6】梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿AD邊，以1厘米/秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始，沿CB邊，以3厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動。已知P、Q兩點(diǎn)分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動。假設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，問：（1）t為何值時(shí)，四邊形PQCD是直角梯形？（2）t為何值時(shí)，四邊形PQCD是等腰梯形搭配練習(xí)（B）1已知拋物線：（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).（2）將拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到拋物線，求拋物線的解析式.（3）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為P，軸上有一動點(diǎn)M，在、這兩

8、條拋物線上是否存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、P、M、N四點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)P為一邊的平行四邊形，若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（B）2已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函數(shù)的解析式及圖象的對稱軸；(2)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以每秒0.1個(gè)單位的速度沿線段BC向C點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)以相同的速度沿線段OA向A點(diǎn)運(yùn)動，其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABPQ為等腰梯形。類型三：是否存在三角形與已知三角形相似或者全等（B）【典型例題7】如圖14，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x 軸

9、上截得的線段AB的長為6.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使QAB與ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由 搭配練習(xí)（C）如圖，已知拋物線yx2bxc與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)， A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），過點(diǎn)C的直線yx3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)，過P作PHOB于點(diǎn)H若PB5t，且0t1（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是_ _，b_ _，c_ _；（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由類型四：是否存在三角形與已知三角形

10、的面積之間有數(shù)量關(guān)系（C）【典型例題8】如圖16，有兩個(gè)形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點(diǎn)A與點(diǎn)E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90°，EG4cm，EGF90°，O 是EFG斜邊上的中點(diǎn)如圖17，若整個(gè)EFG從圖的位置出發(fā)，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在EFG 平移的同時(shí)，點(diǎn)P從EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動，EFG也隨之停止平移設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x（s），F(xiàn)G的延長線交 AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm2)（不考慮點(diǎn)P與G、F重合的情況）（1）當(dāng)x為何值時(shí)，OPAC

11、?（2）求y與x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍（3）是否存在某一時(shí)刻，使四邊形OAHP面積與ABC面積的比為1324？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由（參考數(shù)據(jù)：1142 12996，1152 13225，1162 13456或4.42 19.36，4.52 20.25，4.62 21.16）搭配練習(xí)（C）如圖，在梯形ABCD中，點(diǎn)由B出發(fā)沿BD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；同時(shí)，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s，交于Q，連接PE若設(shè)運(yùn)動時(shí)間為（s）（）解答下列問題：（1）當(dāng)為何值時(shí)，？（2）設(shè)的面積為（cm2），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在

12、某一時(shí)刻，使？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，說明理由學(xué)習(xí)心得四復(fù)習(xí)建議 動點(diǎn)問題主要是以幾何圖形為載體，運(yùn)動變化為主線，集多個(gè)知識點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題，是學(xué)生的中考路上最大的“攔路虎”，而存在性問題又是動點(diǎn)問題中最難的一類題型。不過，由于此類型題目的基本解題思路及方法是確定的，對于中等及中等以上學(xué)生一般是很容易掌握的，難點(diǎn)在于，解題過程中的細(xì)節(jié)處理上。建議考生以本課程提供的四大類題型（8個(gè)小題型）中的8道例題，分類學(xué)習(xí)各題型的解題的解題方法和常用技巧，并輔以適量的中考真題。五課后作業(yè)基礎(chǔ)訓(xùn)練題（A類）1.如圖所示，在梯形中，點(diǎn)是線段上一定點(diǎn)，且=8動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿的路線運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)

13、停止在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，使為等腰三角形的點(diǎn)有 個(gè)2.（1）將拋物線y12x2向右平移2個(gè)單位，得到拋物線y2的圖象，則y2= ； （2）如圖，P是拋物線y2對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，直線xt平行于y軸，分別與直線yx、拋物線y2交于點(diǎn)A、B若ABP是以點(diǎn)A或點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求滿足條件的t的值，則t 3.如圖，在鈍角三角形ABC中，AB6cm，AC12cm，動點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，動點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止點(diǎn)D運(yùn)動的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動的速度為2cm/秒如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似時(shí)，運(yùn)動的時(shí)間是 （ ）A3秒或4.8秒 B3秒 C4.5秒 D4

14、.5秒或4.8秒4如圖8，AB是O的直徑，弦BC=2cm，F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn)，ABC=60°若動點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著ABA方向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)(0t3)，連結(jié)EF，當(dāng)t值為_s時(shí)，BEF是直角三角形提高訓(xùn)練（B類）1如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O移動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A移動,設(shè)點(diǎn)P、Q移動的時(shí)間為t秒(1) 求直線AB的解析式；(2) 當(dāng)t為何值時(shí)，APQ與AOB相似？ (3) 當(dāng)t為何值時(shí)，APQ的面積為個(gè)平方單位？2如圖24， 已知拋物線（a0）與軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B (3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(1) 求拋物線的解析式；(2) 設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)M ，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由3如圖，直角梯形ABCD中，ABDC，動點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動過點(diǎn)M作直線lAD，與線段CD的交點(diǎn)為E，與折線A-C-B的交點(diǎn)為Q點(diǎn)M運(yùn)動的時(shí)間為t（秒）（1）當(dāng)時(shí)，求線