線性常微分方程組ppt課件

1、ReviewO DE 常系數(shù)齊次線性的特征解法11( )(1) 0nnnnxa xaxa x1110. nnnnaaa特征根特征根重數(shù)重數(shù)線性無關(guān)解線性無關(guān)解 te1 ttkttteee,cos,sintttteeikki1cos,cos,cos,ttktttttetee1sin, sin,sinttktt tttteee11()實()實D O E 常系數(shù)非齊次線性的待定系數(shù)法11( )(1)( )nnnnxa xaxa xf t( )f tspecial solution ( )x t,( )tp t e polynomrealial,p( ),tp t e, real p real p(o

2、lynomial), ktq t t eqdeg( )deg( ),qpmultiplicity of as an eigenvaluek complex( ), , ktqq t t edeg( )deg( ),qpmultiplicity of k( )costp t et( )sinor tp t et( ), , realp t ( )cos( )sin,kttP ttQ tter, ealP Qdeg( )deg( ),deg( )deg( ),PpQpmultiplicity of , ki6.線性常微分方程組0111212122212( )( )( )( )( )( )( )(

3、)( )( )( )( )( ) ( )( ), (1.)nnmnmmijm nijm nttatatatatatatA tatatatA tatdA tA tatdtA s ds 矩陣解的疊加原理及存在唯一性定理函數(shù)可簡記為.分別定義其導數(shù)和積分為0( ).tijtm nas ds 利用上面的記號,一階非齊次線性常微分方程組1111122112211222221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnx tat xat xat xf tx tat xat xat xftxtat xat xat xft可以記作(

4、)( ) ( )( ), (1)x tA t x tf tT12( )( )( ),( ),( ) , ( ),ijnn natx tx tx tx tA t其中T12( )( ),( ),( ) .nf tf tftft( )0,f t 若則得到齊次線性方程組( )( ) ( ). (2)x tA t x t0(I)( ),( )(2),( )( )(2),(II)( )(1)(1)( ) Thm. (Thm. )( )( ),( )(2).( )( ),.tttttx tx ttttA tf tItI 若為齊次線性方程組的解 則也為的解,其中為任意常數(shù).若為非齊次線性方程組的特解,則的任意

5、一個解可以表示為其中為的一個解設(shè)矩陣函數(shù)和向量值函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù)則T120(,), ( )( )( ), ( ).nnx tA t xf tx tI 初值問題在區(qū)間 上存在唯一解,(2.2) 由解的疊加原理 齊次線性方程組的解集合是一個線性空間.我們需要知道這個解空間的維數(shù),并求出一組基.為此,需要引入向量值函數(shù)線性線性方程組解的結(jié)構(gòu)無關(guān)的概念.Def. 稱向量值函數(shù)T111211( )( ),( ),( ) ,nttttT212222( )( ),( ),( ) ,ntttt12( )( ),( ),( ) ,Tnnnnntttt12, ,nIc cc在區(qū)間 上線性相關(guān) 若存在不全為零的常

6、數(shù),tI 使得1 122( )( )( )0.nnctctct12,.nI 否則 稱在 上線性無關(guān)T1211121212221212 ( )( ),( ),( ) , ( 1,2, .)( )( )( )( )( )( ) det( )Def.( )( ),kkknknnnnnnnIttttkntttttttttWronsky 設(shè)區(qū)間 上有向量值函數(shù)稱以這些向量值函數(shù)為列的行列式為向量值函數(shù)的行12( ),( ).nW tWt 列式,記作 12 ( ),( ),Thm.,( )ntttI若向量值函數(shù)在區(qū)間 上線性12,( )0,.nWronskyWttI 相關(guān) 則行列式12,Pr,oof:,n

7、I 在 上線性相關(guān),則存在不全為零的12, . .,nc ccsttI 常數(shù)1 122( )( )( )0.nnctctct12,ntI c cc 于是,是下面線性方程組的非零解.1 112 1211 212 2221122( )( )( )0( )( )( )0 ( )( )( )0nnnnnnnnnctctctctctctctctct12,( )0,.nWttI 故方程組的系數(shù)矩陣T1212120120(2) ( )( ),( ),( ) ,(1,2, .)I),.II) ,( )0,.III),( )0.(I)(II)(II)(III)Thm. . (IIIProof: kkknknnn

8、nttttknIWttItIWt 設(shè)齊次線性方程組有 個解則以下條件等價:在區(qū)間 上線性相關(guān)存在使得即上一定理,顯然 只要證0120)(I).,( )0.ntIWt 設(shè)存在使得 則方程組1 1102 120101 2102 220201102200( )( )( )0( )( )( )0 ( )( )( )0nnnnnnnnnctctctctctctctctct121 102 2001 12 201 12 2. 0, ( )( )( )0.( )( )( )( ), ( )(2),( )0. ( )0, ( )( )( )0(nnnnnnnc ccctctctx tctctctx tx tx

9、tctctctt有非零解 即存在不全為 的使得令 由解的疊加原理為齊次方程組的解 且滿足初值條件由解的存在唯一性定理,即).I12012012121201212,( ),.(1) ,( )0 ,( )0,. ,.(2) ,( )0 ,( )0,. ,Remark: ,nnnnnnnnCInntIWtWttIIWtWttI 設(shè)為 次齊次線性常微分方程組的 個解則在 上線性相關(guān)在.I上線性無關(guān),(2)至此 不難得出的解空間的結(jié)構(gòu). ( ) 1 ( )( ) ( ), Thm.Proof (2): .(2),(2)( )( ) , (kA tIn nx tA t x ttInnndxtA t x x

10、dt為區(qū)間 上連續(xù)的矩陣函數(shù),則 階齊次線性常微分方程組的解集合是一個 維線性空間我們要找出的 個線性無關(guān)的解 并證明的任意一個解都可以由這 個解線性表出. 設(shè)是初值問題012012).,0.,( )1.,knknntkWtIee 的唯一解其中為中列向量 第 個分量為1其它分量都為 則 由上一定理,在區(qū)間 上線性無關(guān).12101202001020010120,( )( ),( ),( )(2). ( )( )( )( )( )( )( ),( )(2)( )( ),( ),( ). ( )( )( )( )( )nnnnx tx t x tx ty tx ttx ttx tty ty tx t

11、x tx tx ty tx ttx t 其次 設(shè)是齊次方程組的一個解令則是方程組的解,且滿足初值條件 由解的存在唯一性定理, 2012( )( )( ),( ),nnntx ttx t 即可以由線性表出.T12111212122212(2) ( )( ),( ),( ) , (1,2, .)(2). ( )( )( )( )( )( )( )( )D( )( )(2e .)f.kkknknnnnnnnttttkntttttttttt齊次線性常微分方程組的 個線性無關(guān)解稱為的一個基本解組 稱矩陣 為齊次方程組的一個基本解矩陣(2)( ),(2)( )R( ) .emark: ntx tt cc已

12、知的一個基本解矩陣則的通解可以表示為其中為常向量( )( )0:ttttttttttttteeeeeeee和都例是方程組11. ,01 dxxdt的基本解矩陣 事實上1 11 1,0 10 1000tttttttttttttdddtdteeeeeeeeee( ).( )( ) det(0)10,det(0)10,( )( ),( )( )ttttttt 即的列向量都是方程組的解而的列向量都是的列向量的線性組合,因而也都是的解.又故和的列向量都構(gòu)成基本解組 而和都是基本解矩陣. ( )( ) ( ) (2). (2),( )(2Remar),( )2 k( ):.x tA t x ttTn nt

13、 T齊次方程組 的基本解組和基本解矩陣都不唯一 這是因為基本解組實際上是的解空間的一組基 而線性空間有不同的基.事實上 設(shè)是的一個基本解矩陣為任意一個可逆矩陣 則也是的一個基本解矩陣反之,任給(2)的兩( ),( ), . ,( )( ) .ttT Tsttt T 個基本解矩陣必存在可逆矩陣（ 由唯一確定）( )(2),(2)( )( ) ,.:(1) ( )( ) ( ),( ),. ( )( ) ( )( ), ntx tt ccx tt u tu tnx tA t x tf t 設(shè)為的基本解矩陣 則的通解為其中 為中任意常向量是這樣一種方法假設(shè)的通解為其中為 維向量值函數(shù) 待定再將該通解

14、表達式代常數(shù)變易組法入方程 (1)( ),(1).u t進而確定從而得到的通解3.常數(shù)變易法11( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ).( )(2),( )( ) ( ),( ) ( )( ),( )( ) ( ), (3)( )( )( )t u tt u tA tt u tf tttA ttt u tf tu tt f tttu t 利用常數(shù)變易法可得 注意到是的基本解矩陣 即有 即 其中是的逆矩陣.于是, 01( ) ( ), .ttncs f s dsc其中為任意常向量于是有下面的定理:0001011( )(2),(1)( )( )( )( ) ( ),. (1)(

15、)( )( )( )( )( ) ( ).Thm.ttnntttx tt cts f s dscx tx tttts f s ds 設(shè)是齊次方程組的一個基本解矩陣則非齊次方程組的通解為 其中為任意常向量 且的滿足初值條件的解為 T11011, (0)( 1,1) .01011( )010. ( )( )(0)( )( ) (:0:)0tttttttttttsedxxxdttdxtxdtx ttts f s dstteeeeeeeeee 求解初值問題前面的例子已驗證是的一個基本解矩陣由常數(shù)變易法得初值問題的解11例1解0200() 2,.00ttttttttsttsttsedsetetedste

16、eeeeeee01+4. ODEn以方程組的觀點看 階線性(1)12,nnyx yxyxn記則 階線性方程( )(1)11( )( )( )0(4)nnnnxa t xat xa t x ( )(1)11( )( )( )( )(5)nnnnxa t xat xat xf t 可以化為( )(6)yA t y ( )( ).(7)yA t yg t 12101000010 ( ),0001( )( )( )( )nnnA tatatata t其中TT12(,) , ( )(0,0,0,( ) .nyy yyg tf t12112112( )(1)(2) ( ), det().det()0ODE

17、 Remar k0.:nnnnnnnnnnA tAIAaaaaIAnxa xa xaxa x若為常系數(shù)矩陣時也就是說就是原 階常系數(shù)線性的特征方程12121212(1)(1)(1)Remark ,(4)(.:)(6)nnnnnnnt 是的解空間的一組基是的基解矩陣1211220120121201 ,(4),(5)( )( )( )( )( ),( )( )( )( )( )(5). ,( ),Thm( ),.nnnnntkktknIx tctctctx tc ccWsx ttf s dsW sW sWs 設(shè)是齊次方程在區(qū)間 上的一個基本解組 則非齊次方程的通解為 其中為任意常數(shù) 而 是的一個特

18、解 這里為,( )( ).nkWronskyWsW snk的行列式 而是的第行第 列元素的代數(shù)余子式(1)12,(roof4)P:nnyx yxyxn令化 階微分方程01( )( )( )( ) ( ),tty tt cts g s ds .nc其中為任意常向量上式中取第一個分量,得11220( )( )( )( )( ),n nx tctctctx t12,nc cc其中為任意常數(shù).12(5)(6)(7). ,(4),n 為方程組因為的基本解組 則121212(1)(1)(1)( )nnnnnnt(6). ,(7)是的基本解矩陣 由常數(shù)變易法的通解為00001112T12( )( ) ( )

19、( ).,( )0( )( )( )( ) ( )0( )( )( )( ) ( ),( ),( )( )( )ttttttnnts g s dsx tW sW stts g s dsdsW sW sf stW s W sW sf s dW s 下面證明的第一個分量就是定理中的事實上0001,( )( )( )( ).( )ttntkktksW sx ttf s dsW s上式的第一個分量為12(1)12,(4)(5)Remar(6)(7).,(4k :)nnnyx yxyxn 令,化 次微分方程為方程組設(shè)為的基本解組,則121212(1)(1)(1)( )nnnnnntT12(6).(7)

20、( )( ) ( ),( )( ),( ),( ) .(7):( ) ( )( ).ny tt u tu tu t u tutt u tg t 是方程組的基本解矩陣而的通解必定形如其中代入方程組得 將上式按分量寫出來,即1 12 21 12 2(2)(2)(2)1122(1)(1)(1)11220,0, (8)0,.n nn nnnnnnnnnnnuuuuuuuuuuuuf (5),(5)用常數(shù)變易法解高階非齊次線性方程時 設(shè)有解1122( )( )( )( )( )( )( ),nnx tu ttu ttu tt12( ),( ),( ),(8). (8)nu t u tut其中待定 且滿足

21、方程組由中12( ),( ),( ),nnnu t utut個方程就可以確定 個未知函數(shù)(5).從而求出非齊次方程的通解11221122( )( ) ( )( )( ),( ) ( )( )( )0.x tc t x tc t x tc t x tc t x t 回憶第二節(jié)中用常數(shù)變易法求二階非齊次方程時曾假設(shè)非齊次方程的通解 滿足條件 上面的分析說明,這一假設(shè)條件是必要的. (9)() ( ),0. (9) 5. tnxAxAn nx te rrr設(shè)常系數(shù)齊次線性常微分方程組 為矩陣 有非平凡解形如 其中為常向常系數(shù)齊次線性常微分方程組量,代入的特征得法.方程組, .0,.ttte rAe

22、rerArrArA消去得因為所以 為矩陣 的特征值,而 為 的對應于特征值 的特征向量( )(9). ,(9),.tArAx te rA 反之,若 為矩陣 的特征值, 為 的對應于特征值的特征向量,則是方程組的解 因此 求解方程組矩陣 的特征值至關(guān)重要 det()0(Def.9),IA稱為方程組的特征方程 它的根稱為方程組的特征根.(9)(1,2, ),(1,2, ). ( ) (1,2, )(Th9)m. kkkkktAn nnr knAkntrkne為矩陣,若常系數(shù)齊次方程組有 個實的線性無關(guān)的特征向量且分別對應于的(不同或相同的)實特征值則為方程組的一個基本解組.12121212 ,(

23、)(1,2, )(9),( )00., Proof: ,(0)det( ,)0. kkknnnnttr knnWronskyWttr rrWr rre首先是方程組的 個解.要證它是基本解組,只要證行列式 在處不等于 因線性無關(guān) 有 (1,2,),(1,2,)(9)Remark:kktAr kmmrkmme設(shè) 是系數(shù)矩陣 的重根,而是與 對應的 個線性無關(guān)的特征向量.則 是方程組的 個線性無關(guān)的解.這一點與單個齊次線性微分方程的情況有很大區(qū)別.()() ,()( cossin,)( sincos),() ( cossinRem)( sincoark:s)(9)ittttittttiAraibraibatbtiatbtraibatbtiatba bteeeeeeee(若是實系數(shù)矩陣 的一對共軛復根,是與之對應的這里為向特征向量則 是方程組量的兩個線.)( cossin),Im()( sincos)(9)Re(ttttratbtratbteeee性無關(guān)的復解由解的疊加原理, 是方程的兩個線性無關(guān)的實解.3:35,.5xAxA解其中例 求T331321231235 . (1,) .10cos5( )cos5sin501sin5sin5( )cos5cos5sin5( ).sin5cos5: ttttAirittettetttetctctx tectct有一對復特征根它們對應