第四節(jié)對(duì)面積的積分ppt課件

1、第九章第九章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 第四節(jié)第四節(jié) 對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)),(zyx , 求求它它的的質(zhì)質(zhì)量量.1. 實(shí)例實(shí)例 所謂曲面光滑所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都即曲面上各點(diǎn)處都有切平面有切平面, ,且當(dāng)點(diǎn)在且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí)曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí), ,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng). .一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 前面已經(jīng)介紹了兩類曲線積分，對(duì)第一前面已經(jīng)介紹了兩類曲線積分，對(duì)第一類曲線積分類曲線積分 niiiiLsdsyx10),(lim),( 其物理背景是曲線型構(gòu)件的質(zhì)量，

2、在此質(zhì)量問其物理背景是曲線型構(gòu)件的質(zhì)量，在此質(zhì)量問題中若把曲線改為曲面，線密度改為面密度，小題中若把曲線改為曲面，線密度改為面密度，小段曲線的弧長(zhǎng)改為小塊曲面的面積，相應(yīng)地得和段曲線的弧長(zhǎng)改為小塊曲面的面積，相應(yīng)地得和式式 niiiiiS10),(lim 抽象概括得到對(duì)面積的曲面積分的概念抽象概括得到對(duì)面積的曲面積分的概念2. 對(duì)面積的曲面積分的定義并并作作和和 niiiif1),( iS , , 如如果果當(dāng)當(dāng)各各小小塊塊曲曲面面的的直直徑徑的的最最大大值值0 時(shí)時(shí), , 這這和和式式的的極極限限存存在在, ,則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(zyxf在在曲曲面面 上上對(duì)對(duì)面面積積的的曲曲

3、面面積積分分或或第第一一類類曲曲面面積積分分. .1.1.定義定義即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 記記為為 dSzyxf),(. dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.3.3.對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)則則及及可分為分片光滑的曲面可分為分片光滑的曲面若若,21 叫被積函數(shù)，叫被積函數(shù)，其中其中),(zyxf.叫叫積積分分曲曲面面 注注對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用面積面積 dSA質(zhì)量質(zhì)量 dSzyxM),(重心重心 dSdSxx dSdSyy dSdSzz轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 dSzyIx)(22 dSzxIy)(

4、22 dSyxIz)(22二、計(jì)算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面那么那么按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(那么那么.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面那那么么),(. 2zxyy ：若曲面若曲面這就是把對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的計(jì)算公式這就是把對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的計(jì)算公式簡(jiǎn)述為：一代、二換、三投影簡(jiǎn)述為：一代、二換、三投影代：將曲面的方

5、程代入被積函數(shù)代：將曲面的方程代入被積函數(shù)換：換面積元換：換面積元dS投影：將曲面投影到坐標(biāo)面得投影區(qū)域投影：將曲面投影到坐標(biāo)面得投影區(qū)域注：把曲面投影到哪一個(gè)坐標(biāo)面，取決于曲面方程注：把曲面投影到哪一個(gè)坐標(biāo)面，取決于曲面方程即方程的表達(dá)形式即方程的表達(dá)形式例例1 1 計(jì)算計(jì)算 dszyx)(, 其中其中 為平面為平面5 zy被柱面被柱面2522 yx所截得的部分所截得的部分.解解積分曲面積分曲面 ：yz 5 ,投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxydxdyzzdSyx221 dxdy2) 1(01 ,2dxdy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)

6、5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 例例2 計(jì)算計(jì)算 dSyx)(2222yxz 是錐面是錐面其中其中 與平面與平面 z = 1 所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面解解分成兩部分分成兩部分將將 10:221 zyxz 11:222 yxz 21, 在在 xoy 內(nèi)的投影區(qū)域內(nèi)的投影區(qū)域1:22 yxDoxyz1:2 z 1 1)(22 dSyx故故 Dyxdxdyzzyx22221)( Ddxdyyx)(222 20102222rdrrd 2)(22 dSyx DdSyx)(22220102 rdrrd 21)()(2222 dSyxdSyx 221 例例3

7、計(jì)算計(jì)算 dSyx221是介于平面是介于平面其中其中 z = 0 與與 z = H 之間的圓柱面之間的圓柱面222Ryx 解解)(:221在第一卦限的部分在第一卦限的部分令令 xRy 面的投影區(qū)域?yàn)槊娴耐队皡^(qū)域?yàn)樵谠趜ox1 RxHzDzx 00:由對(duì)稱性由對(duì)稱性 有有 12222141dSyxdSyx zxDzxdxdzyyR222114 HRdxxRRdzR002224RH 2 例例4 計(jì)計(jì)算算dSxyz |, 其其中中 為為拋拋物物面面 22yxz （10 z）. 解解xyz依對(duì)稱性知：依對(duì)稱性知：軸軸對(duì)對(duì)稱稱，關(guān)關(guān)于于拋拋物物面面zyxz22 被被積積函函數(shù)數(shù)| xyz關(guān)關(guān)于于xoz、

8、yoz 坐標(biāo)面對(duì)稱坐標(biāo)面對(duì)稱有有 14成立成立，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSxyz 14 dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx 利利用用極極坐坐標(biāo)標(biāo) trxcos , trysin , rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 注注對(duì)面積的曲面積分有類似與三重積分的對(duì)稱性對(duì)面積的曲面積分有類似與三重

9、積分的對(duì)稱性 設(shè)設(shè)對(duì)稱于對(duì)稱于xoy （或（或yoz ，或，或 zox ）坐標(biāo)面）坐標(biāo)面假設(shè)假設(shè) fx , y , z ) 關(guān)于關(guān)于z或或 x ，或，或 y ）是奇函數(shù)）是奇函數(shù) 0),(dSzyxf則則假設(shè)假設(shè) fx , y , z ) 關(guān)于關(guān)于z或或 x ，或，或 y ）是偶函數(shù)）是偶函數(shù) 1),(2),(dSzyxfdSzyxf部部分分位位于于對(duì)對(duì)稱稱坐坐標(biāo)標(biāo)面面一一側(cè)側(cè)的的是是其其中中 1完全類似于三重積分的對(duì)稱性完全類似于三重積分的對(duì)稱性例例5 計(jì)算計(jì)算 dSzxyzxy)(為為其中其中 所所截截得得的的部部分分被被柱柱面面錐錐面面axyxyxz22222 解解面面的的投投影影區(qū)區(qū)域

10、域在在 xoy axyxD2:22 22yxz 2222yxyzyxxzyx dSzxyzxy)(故故 Ddxdyyxyxxy)(222 22cos2022)cos(sincossin2 ardrrrd 2244cos1641cossincossin2 da 2054cos28 da415264a 例例6 6 計(jì)計(jì)算算 xdS, 其其中中 是是圓圓柱柱面面 122 yx, 平平面面2 xz及及0 z所所圍圍成成的的空空間間立立體體的的表表面面. 解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx顯顯然然 011 DxdxdyxdS, , 01

11、112 DdxdyxxdS討討論論3 時(shí)時(shí), 將將投投影影域域選選在在xoz上上.（注注意意：21xy 分分為為左左、右右兩兩片片）（左右兩片投影相同）（左右兩片投影相同）xoz 3xdS 31xdS 32xdS xzDzxdxdzyyx2212 xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.例例7 7 計(jì)計(jì)算算dSzyx)(222 , 其其中中 為為內(nèi)內(nèi)接接于于球球面面2222azyx 的的八八面面體體azyx |表表面面. 解解被被積積函函數(shù)數(shù) ),(zyxf222zyx , 關(guān)關(guān)于于坐坐標(biāo)標(biāo)面面、原原點(diǎn)點(diǎn)均均對(duì)對(duì)稱稱 , 積積分分曲曲面面 也也具具有有對(duì)對(duì)

12、稱稱性性 , 故故原原積積分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面) 1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a 例例8 求均勻曲面求均勻曲面222yxaz 的重心坐標(biāo)的重心坐標(biāo)解解由對(duì)稱性由對(duì)稱性0,0 yx dSzdSzdxdyzzdSDyx 221):(222ayxD dxdyyxaaD 222rdrraada 2002222 a dxdyyxaayxazdSD222222 Ddxdya3a 2az 故故 重心坐標(biāo)為重心坐標(biāo)為)2,

13、0 , 0(a例例9 )0(22220 zazyx的均勻半球殼的均勻半球殼求密度為求密度為 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于對(duì)于z解解222:ayxD dSyxIz)(220 Dyxdxdyzzyx222201)( dxdyyxaayxD 222220)( 20022201ardrrarda3440a 例例10 計(jì)算計(jì)算 dSczbyax)(的整個(gè)表面的整個(gè)表面Rzzyx2:222 解解由奇偶對(duì)稱性由奇偶對(duì)稱性 0ydSxdS分分成成須須將將為為計(jì)計(jì)算算 zdS上半球面上半球面2221:yxRRz 下半球面下半球面2222:yxRRz dSczbyax)( 12 czdSczdS DdRc 234 cR ):(222RyxD 四、小結(jié)2、對(duì)面積的曲面積分的解法是將其化為投影、對(duì)面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計(jì)算域上的二重積分計(jì)算.1、 對(duì)面積的曲面積分的概念對(duì)面積的曲面積分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(li