第十二章可分離變量的方程ppt課件

1、一階方程的一般形式為一階方程的一般形式為0),( yyxF本節(jié)主要研究能把導數(shù)解出來的一階方程本節(jié)主要研究能把導數(shù)解出來的一階方程),(yxfdxdy 的解法的解法 這個方程雖然簡單，也常常很難求這個方程雖然簡單，也常常很難求出解的有限表達式出解的有限表達式幾特殊類型的一階微分方程的解法。幾特殊類型的一階微分方程的解法。所以本節(jié)只討論所以本節(jié)只討論特殊類型的一階方程的求解特殊類型的一階方程的求解一階方程有時也可以寫成如下的對稱形式一階方程有時也可以寫成如下的對稱形式0),(),(dyyxQdxyxP它既可視為以它既可視為以 x 為自變量以為自變量以 y 為未知函數(shù)的方程為未知函數(shù)的方程),()

2、,(yxQyxPdxdy 也可以視為以也可以視為以 y 為自變量為自變量 以以 x 為未知函數(shù)的方程為未知函數(shù)的方程),(),(yxPyxQdydx很重要的觀點很重要的觀點考慮方程考慮方程xdxdy2 或寫成或寫成xdxdy 2 兩邊積分得兩邊積分得cxy 2 但并不是所有的一階方程都能象上面但并不是所有的一階方程都能象上面那樣采取兩邊積分的方法來求它的通解那樣采取兩邊積分的方法來求它的通解如如22xydxdy 困難就在于方程的右端含有未知函數(shù)困難就在于方程的右端含有未知函數(shù)積分積分 dxxy22求不出來求不出來為了解決這個問題為了解決這個問題 方程的兩邊同乘以方程的兩邊同乘以 dxy21使方

3、程變?yōu)槭狗匠套優(yōu)閤dxdyy212 這樣變量這樣變量 x , y 已經分離在等式的兩端已經分離在等式的兩端兩邊積分得兩邊積分得 cxy 21或或cxy 21可以驗證可以驗證 cxy 21是方程的通解是方程的通解注注y = 0 也是方程的解，但不包含在通也是方程的解，但不包含在通解中解中 稱為奇解稱為奇解一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 這類方程的特點是這類方程的特點是經過適當整理，可使方程的只含有一個變量和經過適當整理，可使方程的只含有一個變量和其微分其微

4、分解法解法設設函函數(shù)數(shù))(yg和和)(xf是是連連續(xù)續(xù)的的, dxxfdyyg)()(分離變量法分離變量法設設函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù), CxFyG )()(為微分方程的解為微分方程的解.求解步驟求解步驟分離變量分離變量兩邊積分兩邊積分得到隱式通解或通積分得到隱式通解或通積分(或寫成y(x)(y) 討論下列方程那些是可分離變量的微分方程討論下列方程那些是可分離變量的微分方程: 微分方程分離變量是否可分離變量 y2xy 3x25xy0 (x2y2)dxxydy=0 y1xy2xy2 y10 xyxyyxy是不是不是是是是y1dy2xdxdy

5、(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10 xdx例例1. 求微分方程求微分方程的通解.解解: 分離變量得分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為任意常數(shù) )或說明說明: 在求解過程中在求解過程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解變形變形, 因此可能增、減解.( 此式含分離變量時丟失的解 y = 0 )yxxy23dd二、典型例題二、典型例題練習練習 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12ln

6、Cxy .2為所求通解為所求通解xcey 例例2. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu那么yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù) )所求通解:練習練習:.dd的通解求方程yxexy解解 分離變量分離變量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C

7、0 )解解,dtdM衰變速度衰變速度由題設條件由題設條件)0(衰衰變變系系數(shù)數(shù) MdtdMdtMdM , dtMdM,lnlnctM ,tceM 即即00MMt 代入代入00ceM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律衰變規(guī)律M0Mto例例5 5 某車間體積為某車間體積為12000立方米立方米, 開始時空氣中開始時空氣中含有含有 的的 , 為了降低車間內空氣中為了降低車間內空氣中 的含量的含量, 用一臺風量為每秒用一臺風量為每秒2000立方米的鼓風機立方米的鼓風機通入含通入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時以同樣的同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出風量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風機開動問鼓風

8、機開動6分分鐘后鐘后, 車間內車間內 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0解解 設鼓風機開動后設鼓風機開動后 時刻時刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內內,2CO的通入量的通入量,03. 02000 dt2CO的排出量的排出量),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改變量的改變量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 00

9、7. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車間內車間內 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO例例6.成正比,求解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為對方程分離變量,mtvkmgvdd然后積分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件, 得)(ln1gmkC代入上式后化簡, 得特解并設降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,)1 (tmkekgmvmgvk設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關系. kmgv t 足夠大時三、小結三、小結分離變量法步驟分離變量法步驟:1.分

10、離變量分離變量;2.兩端積分兩端積分-隱式通解隱式通解.注注 分離變量時，注意檢查是否有漏解，特別分離變量時，注意檢查是否有漏解，特別是寫成對稱形式的方程因為要同除須保證是寫成對稱形式的方程因為要同除須保證分母不等于分母不等于0）思考題思考題求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考題解答思考題解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 為所求解為所求解.練練 習習 題題一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectanse

11、c22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. . 二、二、求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. . 三、質量三、質量克克為為1的質點受外力作用作直線運動的質點受外力作用作直線運動, ,這外力這外力和時間成正比和時間成正比, ,和質點運動的速度成反比和質點運動的速度成反比. .在在10 t秒時秒時, ,速度等于速度等于秒秒厘厘米米/50, ,外力為外力為2/4秒秒厘厘米米克克 , ,問從運動開始經過了一分鐘后的速度是多少問從運動開始經過了一分鐘后的速度是多少? ?四、 小船從河邊四、 小船從河邊處處點點 0出發(fā)駛向對岸出發(fā)駛向對岸( (兩岸為平行直線兩岸為平行直線).).設設a船船速速為為, ,船行方向始終與河岸垂直船行方向始終與河岸垂直, ,設河寬設河寬h為為, ,河中任意點處的水流速度與該點到兩岸距離河中任意點處的水流速度與該點到兩岸距離的乘積成正比的乘積成正比( (比例比例k系系數(shù)數(shù)為為).).求小船的航行路求小船的航行路線線 . .練習題答案練習題答案一、一、1 1、Cyx tantan