證明所給矩陣為交矩陣ppt課件

1、11TT () (), ,1,2, ; nikkjijknkijkijka aa ai jnAAAE證明矩陣的各列 或行 元素滿足正交條件或根據(jù)正交矩陣的定義，先求出，然后計算方方法法一一：方方法法二二：一、證明所給矩陣為正交矩陣TTTTTTTTTTTTTTT , ,2 .() 22 ()()22 ) (nn設(shè) 是階列向量是階單位矩陣證明是正交矩陣證明：先證明，然后根據(jù)正交矩陣的定義證例 1.明a EAEaaa aAAAAEAEaaEaaAa aa aA AAAEaaEaaa aa aTTTTTTTTTTTTT2TTTTTTTTTT22()()22 ()()44 ()()()0 ()()44

2、()() Eaaaaa aa aaaaaa aa aEaaa a a aa aa aa0a aa a a aa a aaA AEaaaaEa aa aA，故是正交矩陣。將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組，可將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組，可以先正交化，再單位化；也可同時進展正交化與以先正交化，再單位化；也可同時進展正交化與單位化。單位化。 1 2 3111100 ,010001, 已知向量是線性無關(guān)向量組 求與之等價的正交單例 2.位向量組。二、將線性無關(guān)向量組化為正交單位向量組1121221121112T1211222113112233211322121122(1) (2) , 0,1,

3、( 1 0)2(3) ,11,2,3kkkkkkk 先正交化，再單位化取令使得與 正交,故,令且法一：與解正交得T1113333123T111T222T333 ( 1) .(4) ,22 ( 0 0)22666 ( 0)6633333 ( ) ;6662 故將單位化 得T1111121121T122T22222(1) ( 0 0)22(2) ,211 ,( 1 0)222666( 0) 663kk 同時進行正交化與單位化取令使得與 正解二：交故法得31 1223321113222T3T333(3) ,26 ,261 1 1 ( 1)3 3 33333( )6662kkkk 令且與, 正交得故第

4、一步計算第一步計算 A 的特征多項式；的特征多項式；第二步求出特征多項式的全部根，即得第二步求出特征多項式的全部根，即得 A 的全部特征值；的全部特征值；第三步將每一個特征值代入相應(yīng)的線性第三步將每一個特征值代入相應(yīng)的線性方程組，求出根底解系，即得該特征值的方程組，求出根底解系，即得該特征值的特征向量。特征向量。三、特征值與特征向量的求法23243202 423. 324( )22(8).(1)423 ( ) ,.ff例3. AAEAA計算 階矩陣的全部特征值和特征向量第一步，計算的特征多項式第二步，求出特征多項式的全部根 即解的全部特征值：12311123123123T11111 ( )0,

5、8,1, .8,()05240 28204250(2 1 2) . 8 (0)fxxxxxxxxxxkk AAEA令解之得求的全部特征值第三步：求出 的全部特征向量當求對應(yīng)線性方程組的一組基礎(chǔ)解系。即化簡求得此方程組的一組基礎(chǔ)解系所以 對于的全部特征向量為的實數(shù)232123123123TT23232322331,() :4240, 220,4240,: (1 0 1) (1 2 0) 1 (,xxxxxxxxxxkkk k EA0A同理對求相應(yīng)線性方程組的一個基礎(chǔ)解系求解得此方程組的一個基礎(chǔ)解系于是 的屬于的全部特征向量為：是不全112233.),kkkA為零的實數(shù)從而， 的全部特征向量為11

6、2111111 , , .( ) ( )niinff 例 4.PAPAAAPPAP APEP APP PP APEA PEAP設(shè)階方陣 的全部特征值為屬于的特征向量為求的特征值與特征向量首先證明 與有相同的特征值只需證明它們有相同的特征多項式解：四、知A的特征值，求與A相關(guān)矩陣的特征值112111111111111111, ,()0,()()(),()()()0,()()(),niiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiAPPAEAEAPPAPPPPEA PPEAPEA PPPPPEAPAPPPPAPPP P AP就是的全部特征值其次求屬于 的特征向量即又即故是屬.i于 的特征向量T1110

7、TTT ,( ) (1) (2) ,(1)( )() ( ).nnnTnfEaaaff例5.AAAAAAAAEAEAEAAA-1設(shè)是階方陣 其特征多項式為求：求的特征多項式當非奇異時 求的特征多項式.與有相同的特征多項式五、求方陣A的特征多項式121111212111000(2),111( )()()()1.nnnnnnAfaaaaa AAAEA-1-1-1-1設(shè)是 的全部特征值 則是的全部特征值 故的特征多項式為13223123212332 3 3 1,1,2, 5, ; 5 ( )5, , ()(13 ) ( )5 nif xxxfif 1.6. 例ABAABAEAAAAAAAAA設(shè)是 階

8、矩陣，它的個特征值為設(shè)求利用的行列式與特征用特征根計算方陣的行列式解：值的重要關(guān)系來計算。令因為是的全部特征值；所以是的全部特征值。故六、關(guān)于特征值的其它問題123123123( )() () ()( 4)( 6)( 12)288. 5 ( )5 , 1,1,2, ( ) () , () , ()5( )(1) ( 1) (2)72 .ffffggggggggg AAEAAEAAAEA下面求令因為的所有特征值為所以的所有特征值為方法一：12312323222 1,1,2, 1 ( 1)22.5(5 ), |5,| 1,1,2,( )(1)(1)(2),5(5)(5 1)( 5288,5288/

9、472.|1)(AAAEAfEAf AABAAAAEBAAEBBAEA方法二：方法三因因為 的所有特征值為所以為的所有特但：征值為故又352)72,5572.( 1)AEEA 2212 ,0,; , 0,. , (1) 8? (2) ,1,? (1) 1,1, 8 kkkkkkknk 2.例 7. AEAEAAEAEAAAEEAAAEAAEAEA當是的特征值時不可逆當不是的特征值時可逆設(shè)為階方陣若，是否可逆設(shè)是的特征值 且是否可逆用方陣的特征值，來討解：的特征值為故論的可逆性不 , 8 1 .kk AEAEA是的特征值 從而可逆。一般地，對，均可逆(2) 1 1 10 ( 1)0 ()( 1)

10、 0 ()( 1) 0 .nn AEAEAEAEAAEAEEAAEAEAEAE因為，所以不是的特征值，于是又故均為可逆矩陣七、判別方陣A可否對角化 nnAA矩陣可對角化的充要條件是有個互異的特征值或有個線性無關(guān)的特征向量。00 0 11 22 0 (1) ?(2), 0 (), nni jnaaaaji例 8.AAA設(shè)是階下三角陣，在什么條件下 可對角化如果且至少有一證明不可對角化。 1121 22 1 2 11 22 11 22 000 (1) ( )()()().( )0, ()()()0, (1) (, ,1,2, ) nnnnnnnniiiijaaaaaaaaafaaafainij i

11、 jn AAAEAA令即得的所有特征值：當解：時，即當 aaiijjA時，可對角化。112 11 111 11 11 1111 11 11 11 (,) (1) (1) ()(2) niiiiidiaginaaaaaaaaaa APP APAP APEAPE PPPE若可對角化，則存在可用反逆矩陣 ，使是的特征值，由可知，所以這與至少有一個證法：0 0000 () , jjiA矛盾 故不可對角化。*321. 2 , 2. 1, 1,2,23 1 1 014 13. 4 3 0130 10 2002 2 1 (),n AAAABAAABAAABA設(shè)是階方陣，是的伴隨矩陣，則方陣的特征值是特征向量是三階方陣的特征值為則的特征值為設(shè)、，且的特征值為和二重 2 0 02 004. 0 0 1 00 0 010 1 yxxyBAB那么的特征值為已知矩陣與相似，則八、綜合練習1233 0 1 2 13 , (1) 1 2 3 (2) 2 6.,12 20 0 010 ,0 1 0000 0 1(1);(2),7. 1, 2,1,23,(ttyxxyA5.AABABPP APBBAAA設(shè)是矩陣的特征值 求的值對應(yīng)于的所有特征向量。設(shè)矩陣 與 相似 其中求 和 的值求可逆陣使得已知三階矩陣 的特征值為設(shè)矩陣試求21);(2)3.BBAE矩陣 的特征值及其相似對角矩陣行列式及的值132