圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的定義：圓的定義：平面內(nèi)到平面內(nèi)到定點(diǎn)定點(diǎn)的距離等于的距離等于定長(zhǎng)定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。的點(diǎn)的集合。定點(diǎn)定點(diǎn)定長(zhǎng)定長(zhǎng)圓心圓心半徑半徑rC求：圓心是求：圓心是C( (a, ,b) )，半徑是，半徑是r 的圓的方程的圓的方程xOyMMCr特點(diǎn)：明確給出了圓心坐標(biāo)和半徑。特點(diǎn)：明確給出了圓心坐標(biāo)和半徑。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為C( (a, ,b) )，半徑是，半徑是r 的圓的方程的圓的方程2 22 22 2rbyax)()( 特別地，若圓心在原點(diǎn)則圓的方程為特別地，若圓心在原點(diǎn)則圓的方程為x2 2 + y2 2=r 2 2 解：解：設(shè)設(shè)MM (x , y)是圓上任

2、意一點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，由兩點(diǎn)間的距離公式得由兩點(diǎn)間的距離公式得由題意可得由題意可得r MC rbyax2 22 2)()( (x-3)2 2+(y-4)2 2=5x2 2+y2 2 =9練習(xí)一練習(xí)一2、寫(xiě)出下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑：、寫(xiě)出下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑：(1) (x-1)2 2 + y2 2 = 6(2) (x+1)2 2+(y-2)2 2= 9(3) (x+a)2 2+y2 2=a2 2(- -1,2)3(- -a,0)|a|1、寫(xiě)出下列各圓的方程：、寫(xiě)出下列各圓的方程：( (1) )圓心在原點(diǎn)圓心在原點(diǎn), ,半徑是半徑是3( (2) )圓心在點(diǎn)圓心在點(diǎn)C( 3 , 4 ), 半

3、徑是半徑是5 5(1 1,0)6（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,1)，圓心在點(diǎn)，圓心在點(diǎn)C(8,-3)228325xy例題例題222561325xy223 1 4 3716534r 求以求以C(1，3)為圓心，并且和直線為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的相切的圓的方程圓的方程解：解：已知圓心已知圓心C(1，3)，因圓心到切線的距離等于半，因圓心到切線的距離等于半 徑徑所求圓的方程為：所求圓的方程為：CxyOr練習(xí)二練習(xí)二 解解 ：因?yàn)閳A的半徑：因?yàn)閳A的半徑所以所求圓的方程是所以所求圓的方程是13)02()63(22 ABr13)2() 3(22yx（2 2）已知點(diǎn)）已知點(diǎn)A A（2 2，3

4、 3），），B(4B(4，9 9），），以線段以線段ABAB為直徑為直徑 求符合下列條件的圓的方程求符合下列條件的圓的方程（1）圓心在（）圓心在（3，2），過(guò)點(diǎn)（），過(guò)點(diǎn)（6，0）解：依題意，圓心坐標(biāo)為（圓心坐標(biāo)為（3，6），）， 圓的圓的 直徑為直徑為102)93()42(22AB所以所求圓的方程是所以所求圓的方程是10)6()3(22yx 例例1. 寫(xiě)出圓心為寫(xiě)出圓心為 ，半徑長(zhǎng)等于，半徑長(zhǎng)等于5的圓的的圓的方程，并判斷點(diǎn)方程，并判斷點(diǎn) ， 是否在這是否在這個(gè)圓上個(gè)圓上)3, 2( A)7, 5(1M) 1, 5(2M 解：解：圓心是圓心是 ，半徑長(zhǎng)等于，半徑長(zhǎng)等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方

5、程是：方程是：)3, 2( A25) 3()2(22yx 把把 的坐標(biāo)代入方程的坐標(biāo)代入方程 左右兩邊相等，點(diǎn)左右兩邊相等，點(diǎn) 的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點(diǎn)的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點(diǎn) 在這個(gè)圓上；在這個(gè)圓上；)7, 5(1M25) 3()2(22yx1M1M) 1, 5(2M2M2M 把點(diǎn)把點(diǎn) 的坐標(biāo)代入此方程，左右兩邊的坐標(biāo)代入此方程，左右兩邊不相等，點(diǎn)不相等，點(diǎn) 的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點(diǎn)的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點(diǎn) 不不在這個(gè)圓上在這個(gè)圓上 怎樣判斷點(diǎn)怎樣判斷點(diǎn) 在圓在圓 內(nèi)呢？?jī)?nèi)呢？還是在圓外呢？還是在圓外呢？),(000yxM222)()(rbyaxAxyoM1M2M3 從上題知道，

6、判斷一個(gè)點(diǎn)在不在某個(gè)圓上，只需將這個(gè)從上題知道，判斷一個(gè)點(diǎn)在不在某個(gè)圓上，只需將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)帶入這個(gè)圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在點(diǎn)的坐標(biāo)帶入這個(gè)圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在這個(gè)圓上，反之如果不成立則不在這個(gè)圓上這個(gè)圓上，反之如果不成立則不在這個(gè)圓上 怎樣判斷點(diǎn)怎樣判斷點(diǎn) 在圓在圓 內(nèi)呢？?jī)?nèi)呢？還是在圓外呢？還是在圓外呢？),(000yxM222)()(rbyaxAxyoM1M2M3 可以看到：點(diǎn)在圓外可以看到：點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑點(diǎn)到圓心的距離大于半徑 r ； 點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑點(diǎn)到圓心的距離小于半徑 r 待定系數(shù)法待定系數(shù)法解：設(shè)所求圓的方程為解

7、：設(shè)所求圓的方程為：222)()(rbyax因?yàn)橐驗(yàn)锳(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圓上都在圓上222222222(5)(1)(7)( 3)(2)( 8)abrabrabr 235abr 22(2)(3)25xy 所求圓的方程為所求圓的方程為例例2：求過(guò)三點(diǎn)：求過(guò)三點(diǎn)A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圓的方程的圓的方程例例3：求過(guò)三點(diǎn)：求過(guò)三點(diǎn)A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圓的方程的圓的方程圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)半徑：圓心到圓上一點(diǎn)半徑：圓心到圓上一點(diǎn)xyOEA( (5, ,1) )B( (7,-,-3) )C( (2,

8、-,-8) )幾何方法幾何方法例例3：求過(guò)三點(diǎn)：求過(guò)三點(diǎn)A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圓的方程的圓的方程定義方法定義方法設(shè)圓心坐標(biāo)為P(a,b), 由AP=BP, AP=CPP120圓心：兩條直線的交點(diǎn)圓心：兩條直線的交點(diǎn)半徑：圓心到圓上一點(diǎn)半徑：圓心到圓上一點(diǎn)xyOCA( (1, ,1) )B( (2,-,-2) ):10l xy 弦弦ABAB的垂的垂直平分線直平分線例題例題3 3： 已知圓心為已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1, 1)和和B(2, 2)，且圓心且圓心C在直線上在直線上l：x y+1=0，求圓心為，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例題例題3： 已知圓

9、心為已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1, 1)和和B(2, 2)，且圓心且圓心C在直線上在直線上l：x y+1=0，求圓心為，求圓心為C的圓的標(biāo)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)方程 分析分析：已知道確定一個(gè)圓只需要確定圓心的位置與半徑大：已知道確定一個(gè)圓只需要確定圓心的位置與半徑大小圓心為小圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1, 1)和和B(2, 2)，由于圓心，由于圓心C與與A, B兩點(diǎn)的距離相等，所以圓心兩點(diǎn)的距離相等，所以圓心C在線段在線段AB的垂直平分線的垂直平分線 上又上又圓心圓心C在直線在直線l 上，因此圓心上，因此圓心C是直線是直線l與直線與直線 的交點(diǎn)，半徑的交點(diǎn)，半徑長(zhǎng)等于長(zhǎng)等于|CA|或

10、或|CB|ll 解解：因?yàn)橐驗(yàn)锳(1, 1)和和B(2, 2)，所以線段，所以線段AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)D的坐標(biāo)的坐標(biāo)),21,23(直線直線AB的斜率的斜率:31212ABk因此線段因此線段AB的垂直平分線的垂直平分線 的方程是的方程是l)23(3121xy即即033 yx圓心圓心C的坐標(biāo)是方程組的坐標(biāo)是方程組01033yxyx的解的解例題例題3： 已知圓心為已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1, 1)和和B(2, 2)，且圓心且圓心C在直線上在直線上l：x y+1=0，求圓心為，求圓心為C的圓的標(biāo)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)方程 解解：解此方程組，得解此方程組，得. 2, 3yx所以圓心所以圓心C的坐標(biāo)是

11、的坐標(biāo)是)2, 3(圓心為圓心為C的圓的半徑長(zhǎng)的圓的半徑長(zhǎng)5)21 ()31 (|22 ACr所以，圓心為所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是25)2() 3(22yx練習(xí)三練習(xí)三上， 1、圓心在直線圓心在直線02 yx且與直線且與直線01 yx切于點(diǎn)（切于點(diǎn)（2，-1）, 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 上，且與坐標(biāo)軸相切，上，且與坐標(biāo)軸相切， 2、圓心在直線圓心在直線 835 yx求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 22122yx164422yx或11122yx（3）求圓的方程的方法：求圓的方程的方法： 找出圓心、半徑找出圓心、半徑； 待定系數(shù)法。待定系數(shù)法。 (1) (1) 圓

12、心為圓心為C (a,b)，半徑為，半徑為r r 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( x a ) 2 2 + ( y b ) 2 2 = r 2 2 當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí) a=b=0 a=b=0 ，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x 2 2 + y 2 2 = r 2 2( (2) ) 由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有 a , b , r 三個(gè)參數(shù)，三個(gè)參數(shù)，因此必須具備因此必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件三個(gè)獨(dú)立的條件才能確定圓；才能確定圓；124p習(xí)題4.1 ：A組 3、4。 3. 已知：一個(gè)圓的直徑的兩端點(diǎn)是已知：一個(gè)圓的直徑的兩端點(diǎn)是A(x1，y1) 、B(x2，y2).

13、證明：圓的方程是證明：圓的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 ABC P解法一解法一：求圓心、求半徑求圓心、求半徑解法二解法二：P點(diǎn)滿足點(diǎn)滿足PAPB即即12211xxyyxxyy解法三解法三：P點(diǎn)滿足點(diǎn)滿足 即即222ABBPAP22212212222222121)()()()()()(yyxxyyxxyyxx機(jī)動(dòng)練習(xí)題機(jī)動(dòng)練習(xí)題. .根據(jù)條件求圓的方程根據(jù)條件求圓的方程（1 1）圓心為（）圓心為（-2-2，3 3），半徑為），半徑為4;4; (2 ) (2 )過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A(-1,5),A(-1,5),以以C(0,2)C(0,2)為圓心的圓為圓心的圓; ;（3 3）已知）已知p p1 1(4,9)(4,9)，p p2 2(6,3)(6,3)，以線段，以線段p p1 1 p p2 2為直為直徑的圓徑的圓; ;（4 4）以點(diǎn)）以點(diǎn)A A（-5-5，4 4）為圓心，且與）為圓心，且與x x軸相切的軸相切的圓的方程圓的方程; ; (5) (5)圓心為圓心為(2,2),(2,2),與與x x軸軸,y,y軸都相切的圓軸都相切的圓. .例例2. 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（待定系數(shù)法）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（待定系數(shù)法