向量極化恒等式研究

1、向量的不合常理性質(zhì)的研究向量以其既能體現(xiàn)“形”的直觀的位置特征，又具有“數(shù)”的良好的運(yùn)算性質(zhì)，為廣大師生所喜歡。但向量又不同于數(shù)量，也不同于線段，它是多方的綜合體。對于初學(xué)者來講，向量的難度就在于它存在著多條與我們已經(jīng)接受和應(yīng)用了十幾年的數(shù)量的運(yùn)算及幾何變換格格不入的法則，存在著一些不合學(xué)生以往邏輯的性質(zhì)；對于使用向量時出現(xiàn)的各種錯誤也往往出現(xiàn)在這幾條與我們固有的、想當(dāng)然的不相一致的性質(zhì)、定理上，不妨把這些性質(zhì)、定理稱為“不合常理的性質(zhì)”。不合常理1向量不是有向線段，卻用有向線段表示根據(jù)向量的定義，向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向線段來表示，但有向線段又不等同于向量，有向線段有起點(diǎn)、大

2、小、方向三要素，而向量只有大小和方向，與起點(diǎn)無關(guān)。一個向量可用多條有向線段表示，自由向量的可移動性決定了多條不同起點(diǎn)的有向線段表示的可能是同一個向量，從而有向線段與向量就如同“形”與“神”的關(guān)系，不管“形” 的位置如何變動，但“神”始終不變，使得利用向量在解題過程中可以有眾多的選擇機(jī)會。在利用某個向量進(jìn)行證明及運(yùn)算時，可使用它的多個不同“外殼”，以達(dá)到解題目的，當(dāng)然就更需要學(xué)生有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化思想和化歸能力。向量與有向線段的區(qū)別還體現(xiàn)在平行（共線）的關(guān)系上，有向線段有平行和共線之分，這符合學(xué)生的平面幾何中對直線的理解。不合常理2向量有大小，卻不可比較大小不合常理3零向量方向任意，卻可平行不可垂直不

3、合常理4向量運(yùn)算滿足交換律，分配律卻不滿足結(jié)合律、消去律錯誤分析：不合常理5向量有坐標(biāo)，但坐標(biāo)卻與向量無關(guān)如上文常見錯誤2就是對向量與坐標(biāo)的關(guān)系認(rèn)識不清，而所謂自由向量的可移動性，這使得向量要過原點(diǎn)有點(diǎn)可遇而不可求，這就增添了已知條件作圖的難度，當(dāng)然我們可以不顧一切把向量的起點(diǎn)都放在原點(diǎn)。不合常理6不合常理7書上寫a、b、c，我卻不可寫a、b、c不合常理8不合常理9不合常理10直線的方向向量的夾角卻不一定是直線的夾角對于兩條直線求夾角的問題，可以轉(zhuǎn)化為求兩條直線所在的方向向量的夾角，但兩條直線方向向量的夾角卻不一定是兩條直線的夾角，可能是直線夾角的補(bǔ)角。對于以上羅列的十條“不合常理”的性質(zhì)和定

4、理，是學(xué)生在使用向量時出錯的主要原因所在，只有教師在平時的教學(xué)工作中加以認(rèn)真總結(jié)分析，才能達(dá)到防患于未然，使學(xué)生在喜歡用向量解題的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，達(dá)到正確靈活的應(yīng)用向量，使向量的工具性體現(xiàn)得淋漓盡致。極化恒等式在解題中的應(yīng)用向量是高中數(shù)學(xué)一個非常重要的內(nèi)容，它集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性，又有幾何的直觀性，是形象思維與抽象思維的有機(jī)結(jié)合。近幾年來，在新課程的引領(lǐng)下，各省市高考試題涌現(xiàn)了一些以向量為背景的好題，有些省市甚至是以向量為突破口來實(shí)現(xiàn)高考試題命制的創(chuàng)新。它們以向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算為載體，綜合考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，推理論證能力，以此做為壓軸試題來提高考生的區(qū)分度?；谏鲜鲈?，除了掌握向量的基本運(yùn)算之外，還有必要掌握向量中一些常見的解題方法，比如向量的極化恒等式(平面向量的積化和差公式)。本文介紹向量的極化恒等式及其相關(guān)應(yīng)用。該公式將向量的數(shù)量積與和中點(diǎn)相關(guān)的線段聯(lián)系起來，在解決一些向量試題時能更多地從幾何的角度分析，大大減少計算量，凸出體現(xiàn)了多思少算，彰顯思維品質(zhì)。1