第一章單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)定性分析

1、第一章 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)定性分析方法幾何法或相平面法一、單自由度非線性振動(dòng)例子 一般形式 0)(),(xfxxx 非線性阻尼力=0時(shí)，稱為非線性保守系統(tǒng)非線性恢復(fù)力1、幾何非線性 單擺的大擺動(dòng) 方程）DuffingLgLg(0! 7! 5! 3sin0sin3207530 2、物理非線性 非線性彈簧f(x)x線彈簧硬彈簧軟彈簧分段線性彈簧3、因慣性引起的非線性Nranraeamgsin22RaRaRaenrr 柯氏加速度垂直于該平面利用牛頓第二定律有：0sincossinsin)cossin(22RgmgRRm 4、非線性阻尼（1）干摩擦（2）流體阻尼 （3）滯后阻尼（材料阻尼） （4）負(fù)

2、阻尼 )()(xNsignx)()(xNsignxxxgx)()(Vx二、位形空間、相空間、相平面位形空間：用 為坐標(biāo)軸的N維正交坐標(biāo)系。軌跡相空間： 令 原二階微分方程組變?yōu)橐浑A微分方程組 以狀態(tài)變量作為坐標(biāo)軸，建立正交坐標(biāo)系，稱為相空間。在單自度自治系統(tǒng)中退化為相平面。 自治系統(tǒng)在相空間的曲線稱為相軌線。iqiq), 2 , 1(NiqxqxiNiiiiniixNitxxxfx)2, 2 , 1(),(21稱為狀態(tài)變量三、單自由度保守系統(tǒng)的定性分析 0)(0)(0 xfxxfx 或化為狀態(tài)方程：) 1 ()(xfyyx狀態(tài)空間為（x,y), 于是)3()(21)()2()(2HxUydxx

3、fydyyxfdxdy1、相軌線的某些普遍性質(zhì)（1）在平面上，（3）式代表等能量線，也是方程（1）的積分曲線，只有當(dāng)總能量大于勢(shì)能時(shí)，速度 才有實(shí)數(shù)解，而且y關(guān)于X軸對(duì)稱。（2） （2）式?jīng)Q定了相平面上的一個(gè)方向場(chǎng): f(x)=0 處有水平切線，y=0時(shí)，有豎直切線；當(dāng)f(x),y同時(shí)為零時(shí)，相軌線的斜率不定，稱這一點(diǎn)為奇點(diǎn)， 奇點(diǎn)的速度、加速度都為零，代表了平衡點(diǎn)，其它各點(diǎn)的斜率都是確定 的，稱為正常點(diǎn)，所以保定系統(tǒng)的相軌線在正常點(diǎn)是互不相交的。Hxyyxdxdyxyxx202202021210 xy奇點(diǎn)是穩(wěn)定的，自由振動(dòng)是周期的，稱為中心2、相軌線的局部性質(zhì)根據(jù)勢(shì)能函數(shù)U(x)的各處形態(tài)，

4、討論相軌線在奇點(diǎn)附近的局性質(zhì)（1）U(x)為單調(diào)函數(shù)(2)勢(shì)能函數(shù)有孤立的極大值 （鞍點(diǎn)）（3）勢(shì)能有孤立的極小值 （中心）21)(222)(22xxxUHdxTydxdtdtdxyxUHy周期T是總能量的函數(shù)（4）勢(shì)能函數(shù)有拐點(diǎn) （尖點(diǎn)）如果已知?jiǎng)菽芎瘮?shù)，還可通過U(x)對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)來確定奇點(diǎn)的性質(zhì)3、在整個(gè)相平面上相軌線的性質(zhì)四、相軌線的兩種作圖方法（1）等傾線法xmkyormykxmdxdyykxdxdykxyyxkxx,0 (2)李納爾特作圖法首先在相平面上作曲線yxxdxdyxxyyxxxx)()(0)( )(yxPA的斜率與相軌線在P點(diǎn)的斜率相同五、耗散系統(tǒng)相平面上的相軌線（1）奇點(diǎn)的分布與對(duì)應(yīng)保守系統(tǒng)的奇點(diǎn)分布完全相同，但奇點(diǎn)的類型可 能不同。（2）相軌線必穿過對(duì)應(yīng)保守系統(tǒng)的相軌線，且從高能量向低能量線前進(jìn)。（3）耗散系統(tǒng)沒有封閉的相軌跡，所以不存在周期運(yùn)動(dòng)