導數(shù)中求參數(shù)的取值范圍

1、導數(shù)中求參數(shù)的取值范圍求參數(shù)取值范圍的方法1分離參數(shù)，恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題2分離參數(shù)，結(jié)合零點和單調(diào)性解不等式3將參數(shù)分成若干個區(qū)間討論是否滿足題意X1已知函數(shù)f X e -ax（ a R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）（I）討論函數(shù)x的單調(diào)性;（口）若 a 1，函數(shù) g x X m f XX在2, 上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.解：（I）函數(shù)的定義域為R,當a 0時,X在R上為增函數(shù);In a當a 0時，由,|na 時,0，二函數(shù),ln a上為減函數(shù),In a,時,0，二函數(shù)lna,上為增函數(shù)4分(U)當 a1時,x2在2,上為增函數(shù)；xxexx mem 1 0在2,上恒成m立，即卩X /xe 1X

2、e 12,上恒成立,X xeX2xe2,h，則2exex 12一eX 1 0 在2,上恒成立,2,上為增函數(shù)，即1ex 1 在 2,xeh上為增函數(shù)，2e2 1e2 12e2 1e2 112分2. (2016 全國甲卷)已知函數(shù) f(x) = (x+ 1)ln x a(x 1).當a = 4時，求曲線 尸f(x)在(1, f(1)處的切線方程；(2)若當x (1,+)時，f(x)>0,求a的取值范圍.解：(1)f(x)的定義域為(0,+).當 a= 4 時，f(x)= (x + 1)ln x 4(x 1),1f(1) = 0,(x) = In x + x 3, f' (1) =

3、2.故曲線y=f(x)在(1, f(1)處的切線方程為2x+ y 2= 0.a x1當 x (1,+x)時，f(x)> 0 等價于 In x x + 1 > 0.設 g(x) = In x a x 1x + 1 ，(x)=x-2ax2 + 2 1 a x + 1,g(1)=0. 當 a<2, x (1,+ x)時，x2+ 2(1 a)x+ 1 >x2 2x+ 1 >0,故 g' (x)>0, g(x)在(1,+x)上單調(diào)遞增，因此g(x)> 0; 當 a>2 時，令 g' (x) = 0 得 X1 = a 1 a 1 2 1 ,X

4、2= a 1 + a 1 2 1. 由 x2> 1 和 X1X2= 1 得 X1V 1,故當 x (1, X2)時,g' (x)v 0, g(x)在(1, X2)上單調(diào)遞減，因此g(x)v 0.綜上，a的取值范圍是(x, 2.3. (2016全國乙卷)已知函數(shù)f(x) = (x 2)ex+ a(x 1)2有兩個零點.(1)求a的取值范圍；設X1, X2是f(X)的兩個零點，證明：X1+ X2<2.解：(1)f' (x)= (x 1)ex+ 2a(x 1)= (x 1)(ex + 2a). 設a= 0,則f(x) = (x 2)ex, f(x)只有一個零點. 設 a&

5、gt;0,則當 x ( x, 1)時，f' (x)<0；當 x (1,+x)時,f' (x)>0,a2,所以f(x)在 ( x, 1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+x)內(nèi)單調(diào)遞增.又 f(1) = e, f(2)= a,取 b 滿足 b<0 且 b<lna3則 f(b)>2(b 2) + a(b1)2= a b >0,故f(x)存在兩個零點. 設 a<0,由 f' (x)= 0 得 x = 1 或 x = ln( 2a).e若 a2，則 ln( 2a)w 1,故當x (1，+ %)時,f' (x)>0,因此f(x)在(1,

6、+x)內(nèi)單調(diào)遞增.又當xw 1時，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個零點.e若 a< 2，則 ln( 2a)>1,故當 x (1,1 n( 2a)時,f' (x)<0;當 x (ln( 2a), +)時，f' (x)>0.因此f(x)在(1, ln( 2a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln( 2a),+)內(nèi)單調(diào)遞增.又當xw 1時，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個零點.綜上，a的取值范圍為(0,+).(2)證明：不妨設 X1VX2，由 知，X1 ( X, 1), X2 (1,+x), 2 X2 ( X, 1),又f(x)在(X, 1)內(nèi)單調(diào)遞減，所

7、以 X1 + X2<2 等價于 f(X1)>f(2 X2),即卩 f(2 X2)<0.由于 f(2 X2)= X2e2 X2 + a(x2 1)2,而 f(X2)= (X2 2)ex2 + a(x2 1)2= 0,所以 f(2 X2) = X2e2 X2 (x2 2)ex2.設 g(x) = xe2x (x 2)ex,則 g' (x)= (x 1)(e2x ex).所以當 x>1 時，g' (x)<0，而 g(1)= 0,故當 x>1 時，g(x)<0.從而 g(x2) = f(2 X2)<0，故 X1 + X2<2.4.

8、已知函數(shù) f(x) = ax 1 In x(a R).(1)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；若函數(shù)f(x)在x = 1處取得極值，？ x (0,+x ), f(x)> bx 2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.1 ax1解：由已知得 f' (x) = a X=X (x > 0).入入當aw 0時，f' (x)w 0在(0, +x)上恒成立，函數(shù)f(x)在(0, +x )上單調(diào)遞減, f(x )在(0,+x )上沒有極值點.1當 a>0 時，由 f' (x)v0,得 0vx<-,a1由 f' (x)>0,得 x>-, a11

9、 f(x)在 0,-上單調(diào)遞減，在-，+x上單調(diào)遞增，aa1即f(x)在x =1所以f(x)在0, 1上單調(diào)遞增，在1，+ x上單調(diào)遞減.處有極小值.當a<0時，f(x)在(0,+)上沒有極值點，當a>0時，f(x)在(0,+)上有一個極值點.函數(shù)f(x)在x = 1處取得極值，1 In x f' (1) = 0,解得 a= 1,二 f(x)>bx 2? 1+ - g>b,x x1 In xIn x 2令 g(x)二 1+ J，貝U g (x)二 壬-，令 g' (x)= 0,得 x= eaa由(1)知，當a< 0時，f(x)在(0,+)上無最大值

10、；1當a>0時，f(x)在x = a處取得最大值，最大值為a.則g(x)在(0, e2)上單調(diào)遞減，在(e2,+)上單調(diào)遞增，1 1 g(x)min = g(e2) = 1 0 即 b< 1孑,1故實數(shù)b的取值范圍為一X, 1否.5. (2015 全國卷 U )已知函數(shù) f(x) = In x+ a(1 x).(1)討論f(x)的單調(diào)性；當f(x)有最大值，且最大值大于2a 2時，求a的取值范圍.1解：(1)f(x)的定義域為(0,+), f'(x) = - a.入若a<0,則f' (x)>0，所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.1若 a>0，則當

11、 x 0,-時，f' (x)>0;a1當 x,+ x 時，f' (x)<0.a111f = In + a 1 一 = In a+ a 1.aaa1因此 f：>2a 2等價于 In a+ a1<0.a令 g(a) = In a+ a 1,則g(a)在(0,+x)上單調(diào)遞增，g(1)= 0.于是，當 0<a<1 時，g(a)<0；當 a>1 時，g(a)>0.因此，a的取值范圍是(0,1).6. (2016 全國甲卷)已知函數(shù) f(x) = (x+ 1)ln x a(x 1).(1) 當a = 4時，求曲線 尸f(x)在(1，f

12、(1)處的切線方程；(2) 若當x (1，+)時，f(x)>0,求a的取值范圍.解：(1)f(x)的定義域為(0，+).當 a= 4 時，f(x)= (x + 1)ln x 4(x 1)，1f(1) = 0,(x) = In x + x 3, f，(1) = 2.故曲線y=f(x)在(1, f(1)處的切線方程為2x+ y 2= 0.a x1當 x (1,+x)時，f(x)> 0 等價于 In x x + 1 > 0.設 g(x) = In x a x 1-x + 1 ，1則 g' (x)=x2ax2 + 2 1 a x + 12=2, g(1)= 0.X + 1 2

13、X X + 1 2 當 a<2, x (1,+x)時，x2+ 2(1 a)x+ 1>x2 2x+ 1>0,故 g' (x)>0, g(x)在(1,+x)上單調(diào)遞增，因此g(x)> 0; 當 a>2 時，令 g' (x) = 0 得 X1 = a 1 a 1 2 1 ,X2= a 1 + a 1 2 1. 由 x2> 1 和 X1X2= 1 得 X1V 1,故當 x (1, X2)時,g' (x)v 0, g(x)在(1, X2)上單調(diào)遞減，因此g(x)v 0.綜上，a的取值范圍是(x, 2.7. (2016 山東高考)設 f(x

14、) = xIn x ax2 + (2a 1)x, a R.(1) 令g(x)= f' (x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 已知f(x)在x = 1處取得極大值，求實數(shù)a的取值范圍.解：(1 )由 f' (x) = In x 2ax+ 2a,可得 g(x)= In x 2ax+ 2a, x (0,+ x).11 2 ax所以 g (x) =_ 2a=.xx當 a< 0, x (0,+x)時，g'(x)> 0,函數(shù) g(x)單調(diào)遞增;1當a>0, x 0, 2時，g' (x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，1x 2,+x時，g' (x)

15、v0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.所以當a<0時，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+x)；1 1當a>0時，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為0, 2，單調(diào)減區(qū)間為2，+(2)由(1)知，f' (1)= 0.當a< 0時，f' (x)單調(diào)遞增，所以當x (0,1)時，f' (x)v 0, f(x)單調(diào)遞減；當 x (1,+x)時，f' (x)>0, f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)在x= 1處取得極小值，不合題意.1 1 當 0vav2時,2a> 1，1由知f' (x)在0,2a內(nèi)單調(diào)遞增，1 可得當 x (0,1)時，f' (x)v 0,

16、當 x 1, 2a 時，f' (x) >0.1所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在1,2a內(nèi)單調(diào)遞增，所以f(x)在x= 1處取得極小值，不合題意.1 1 當a=2時，石=1,f' (x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減,所以當x (0,+x)時，f' (x)< 0, f(x)單調(diào)遞減，不合題意.1 1 當 a>2時,0v v 1,1當 x 2a，1 時，f' (x)>0, f(x)單調(diào)遞增，當 x (1,+x)時，f' (x)v0, f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)在x= 1處取極大值，符合題意.綜上可知，實數(shù)a的

17、取值范圍為2，+ m .8. (2016 海口調(diào)研)已知函數(shù) f(x) = mx Jm, g(x) = 3ln x.入(1)當m = 4時，求曲線y=f(x)在點(2, f(2)處的切線方程；若x (1, ,e(e是自然對數(shù)的底數(shù))時，不等式f(x) g(x)v 3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.44解：當 m = 4 時，f(x) = 4x-, f' (x) = 4+ *xxf' (2)= 5,又f二6,所求切線方程為y6= 5(x 2),即 y= 5x 4.由題意知，x (1, e時，mx x 3ln xv 3恒成立 x即 m(x2 1)v3x+ 3xln x 恒成立,Ix (

18、1, e,.°. x2 1>0,則mv3x+ 3xln xx2 1恒成立.3x + 3xln x令 h(x)=x, x (1, e,則 mV h(x)min .3 x2+ 1 x 63 x2+ 1 In x + 6h ' (x) =xP= x2PTx (1, e, h ' (x)v0,即h(x)在(1, , e上是減函數(shù).當 x (1, e時，h(x)min = h( e)= 2 m的取值范圍是一x, 22 .9. (2017 福建省質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x)= ax ln(x + 1), g(x)= eT x 1 曲線 y =f(x)與y= g(x)在原點處的切

19、線相同.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；若x > 0時，g(x)> kf(x)，求k的取值范圍.1解：(1)因為 f' (x)= a(x> 1), g' (x)= ex 1,依題意，f' (0) = g' (0), 即卩 a 1 = 0,解得 a= 1,1 x所以 f ' (x) = 1 4 =丄 4 , 'x+ 1 x+ 1當一1V xv 0 時，f' (x) V 0;當 x>0 時，f' (x)> 0.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+x).(2)由知，當x= 0時，f(x)取得最小值0,所以 f(x)>0,即 x>ln(x + 1)，從而 eX>x + 1.設 F(x) = g(x) kf(x) = ex + kln(x + 1) (k + 1)x 1,kk貝U F ' (x)二