倒立擺系統(tǒng)的建模

1、系統(tǒng)的建模及性能分析倒立擺系統(tǒng)的構(gòu)成及其參數(shù)1倒立擺系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)本設(shè)計所用到的倒立擺模型直線一級倒立擺系統(tǒng)。整個系統(tǒng)是由6大部分所 組成的一個閉環(huán)系統(tǒng)，包括計算機(jī)、數(shù)據(jù)采集卡、電源及功率放大器、直流伺服 電機(jī)、倒立擺本體和兩個光電編碼器等模塊。如圖2.1所示：圖2.1倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組成示意圖Fig 2.1 Structure of the lin ear sin gle in verted pen dulum system2系統(tǒng)主要組成部分簡介直線一級倒立擺裝置如圖2.2所示13:圖2.2直線一級倒立擺裝置Fig 2.2 Straight lin ear 1-stage in verted

2、 pen dulum deviceQua nser倒立擺系統(tǒng)包含倒立擺本體、數(shù)據(jù)采集電控模塊以及控制平臺等三 大部分，其中控制平臺是由裝有 Qua nser專用實時控制軟件的通用PC機(jī)組成。1.直線倒立擺主體倒立擺主體是由Quanser直線運動控制伺服單元IP02與直線一級擺桿組成, 并配有專用的小車直線軌道。這里主要介紹下Qua nser直線運動控制伺服單元IP02（即倒立擺運動小車）及導(dǎo)軌的組成：圖2.3伺服單元IP02的組成Fig 2.3 Servo un it IP02 parts編號名稱英文(01)IP02小車IP02 Cart(02)不銹鋼滑軌Stai nl ess Steel S

3、haft(03)齒輪導(dǎo)軌Rack(04)小車位移齒輪Cart Position Pinion(05)小車電機(jī)傳動齒輪Cart Motor Pinion(06)小車電機(jī)傳動齒輪軸Cart Motor Pin io n Shaft(07)擺桿傳動軸Pen dulum Axis(08)IP02小車位移編碼器IP02 Cart En coder(09)IP02擺桿角度編碼器IP02 Pen dulum En coder(10)IP02小車位移編碼器接口IP02 Cart En coder Co nn ector(11)IP02擺桿角度編碼器接口IP02 Pen dulum En coder Conn

4、ector(12)電機(jī)接口Motor Conn ector(13)直流伺服電機(jī)DC Motor(14)變速器Pla netary Gearbox(15)直線滑軌支撐軸Lin ear Beari ng(16)擺桿連接套Pen dulum Socket(17)IP02配重模塊IP02 Weight圖2.4系統(tǒng)導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)圖Fig 2.4 System guide rail structure編號名稱英文(22)導(dǎo)軌末端擋板Rack End Plate(23)導(dǎo)軌固定螺絲Rack Set Screw(24)小車運動限位Track Disc ontinuity直線一級倒立擺系統(tǒng)的倒立擺的擺桿連接在IP02

5、小車的擺桿連接套上，IP02小車由電機(jī)通過齒輪傳動機(jī)構(gòu)在導(dǎo)軌上來回運動，保持?jǐn)[桿平衡。系統(tǒng)的直流電機(jī)采用的是Faulhaber 2338S006型號的無刷直流電機(jī)，這種電機(jī)不僅具有結(jié)構(gòu)簡 單、運行可靠的優(yōu)點，而且還比傳統(tǒng)的直流電機(jī)具有更快的反應(yīng)速度。電機(jī)還配有Faulhaber的變速箱，可以提供3.71:1的減速比。(2) .數(shù)據(jù)采集模塊電控箱安裝了本系統(tǒng)用到的各種電氣元件，其中包括了有5針數(shù)字I/0接口的數(shù)據(jù)采集卡、開關(guān)電源、電源及功率放大器、指示燈和開關(guān)等。控制信號需要 通過電源及功率放大器對控制信號進(jìn)行處理，然后再輸送至小車的直流伺服電 機(jī)。(3) .控制平臺控制平臺主要由以下部分組成：

6、通用PC機(jī)；實時控制軟件QUARC控制平臺的是倒立擺伺服系統(tǒng)的核心，是實現(xiàn)系統(tǒng)閉環(huán)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。它通過 PC機(jī)的USB接口接收數(shù)據(jù)采集卡傳輸過來的位移和角度數(shù)據(jù)， 進(jìn)一步處理得到 小車速度和擺桿角速度，同時將輸入量根據(jù)所設(shè)計的控制算法計算出控制量，控 制小車的運動，維持倒立擺的平衡。而控制平臺的實時控制軟件QUARC可以和 MATLAB/Simulink完美聯(lián)動，操作起來非常的方便。MATLAB是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù) 據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境。而Simulink是MATLAB最重要的組件之一，它提供一個動態(tài)系統(tǒng)建模、仿

7、 真和綜合分析的集成環(huán)境。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，而只需要通過簡單 直觀的鼠標(biāo)操作，就可構(gòu)造出復(fù)雜的系統(tǒng)。Simulink具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程 清晰及仿真精細(xì)、貼近實際、效率高、靈活等優(yōu)點，并基于以上優(yōu)點Simuli nk已被廣泛應(yīng)用于控制理論和數(shù)字信號處理的復(fù)雜仿真和設(shè)計。同時有大量的第三方軟件和硬件可應(yīng)用于或被要求應(yīng)用于Simuli nk。3系統(tǒng)性能參數(shù)小車及配重質(zhì)量M=0.94kg ；擺桿質(zhì)量m=0.230kg；擺桿長 L=0.6413m；擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度l=0.3302m；重力加速度g=9.81N/s202.2 一級倒立擺系統(tǒng)的模型建立2.2.1 Lagra nge

8、方程建立模型由于倒立擺的多變量、非線性的特點，同時也為了減少實驗設(shè)計的盲目性， 先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后才進(jìn)行仿真實驗和實時控制。 使用牛頓運動定理來 求解這樣一個復(fù)雜的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，勢必會產(chǎn)生大量的微分方程的計算。并且， 在實際系統(tǒng)中，當(dāng)質(zhì)點存在約束情況的時候，計算量將會更大。所以，在本設(shè)計 中，采用的是Lagrange方程來推導(dǎo)倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)模型。Lagra nge方程是以能量觀點建立起來的運動方程式，為了列出系統(tǒng)的運動方 程式，只需要從兩個方面去分析，一個是表征系統(tǒng)運動的動力學(xué)量一一系統(tǒng)的動 能和勢能，另一個是表征主動力作用的動力學(xué)量一一廣義力。因此用Lagra nge方程來求解系

9、統(tǒng)的動力學(xué)方程可以大大簡化建模過程。將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，并將倒立擺的物理 模型分解為小車和擺桿的兩部分分別進(jìn)行受力分析。如圖2.5所示。圖2.5直線一級倒立擺分析圖Fig 2.5 Lin ear in verted pen dulum an alysis chart圖2.5中，F(xiàn)為加在小車上的力，M為小車質(zhì)量，m為擺桿質(zhì)量，I為擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度，x為小車位置， 為擺桿與垂直向上方向的夾角為了方便在數(shù)學(xué)上推導(dǎo)和處理問題，可作出如下假設(shè)：（1）擺桿在運動中是不變形的剛體；（2）齒型帶與輪之間無相對滑動，齒型帶無拉長現(xiàn)象;（3）忽略空氣阻力；由n個關(guān)節(jié)部件組成

10、的機(jī)械系統(tǒng)，其Lagra nge方程應(yīng)為:dTTVD Fqdtqiqiqiqi(2-1)其中，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，表示系統(tǒng)中線位移和角度的變量；T為倒立擺系統(tǒng)的動能，V為倒立擺系統(tǒng)的勢能，D為倒立擺系統(tǒng)中的耗散能那么，可以根據(jù)分析得出，上式中小車和擺桿的各部分能量的表達(dá)式為:To - Mx22(2-2)V。D。0(2-3)T -Ic 2 -m-(x Isin )2 f (I cos )22 dtdt(2-4)Di-b（2-5）V1 mgl cos（2-6）這里，To,Vo,Do分別代表小車的動能，勢能及耗散能；Ti,Vi,Di分別代表擺桿的動能，勢能及耗散能。所以，由上面各式，可以得到：TTo

11、 T-；Mx2 彳 Ic 2 (x Isin )2 d； (I cos )222 dtdtV Vo V mglcos(2-8)當(dāng)qi x的時候，即對小車而言:D DoD1 ¥ 2(2-9)就)(Mm)xml cosmls in 2(2-10)0-Vx(2-11)而，當(dāng)qj 的時候，即對擺桿而言:I c ml (x cosxsin(2-12)mlxsinmglsi n(2-13)根據(jù)上面各式綜合，可以得到直線一級倒立擺的系統(tǒng)動力學(xué)方程為：M m ml cos x 0mls inxu2ml cos Ic ml0 bmgl sin(2-14)這里，進(jìn)行線性化處理。根據(jù)分析可知，在接近平衡位

12、置時，與l相比很小，即<<1。則可進(jìn)行近似處理：cos1，sin，sin0因此，將(2-14)式簡化后得到的動力學(xué)方程：M mmlx00 xumlIc ml20bmgl因為擺體繞支點的轉(zhuǎn)動慣量I與擺體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量Ic關(guān)系為:I I c ml2(2-16) 將(2-16)代入到式(2-15)后，可以得到：M mmlmlIx000 xb000 xmgl0 u0(2-17)M m ml00000設(shè) Q=.，P=W=Z=mlI0b ，0mgl ，0 ，則有：xxxQPWZu(2-18)變換(2-18)得至U：1 x I x 1Q 1P Q W Q 1Zu(2-19)012)b02002n

13、(Imlm2glx nI mlI(Mm)Mml2I(Mm)Mml2xI(Mm)Mml2u00010nmlbmgl(Mm)nml0I(Mm)Mml2I(Mm)Mml20I(Mm)Mml2(2-20)xx100 0x0yu001 00所以，接下來就可以得出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。 要用到的直線一級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程：代入相關(guān)數(shù)據(jù)，可以得到所xx(2-21)所以，代入小車的實際各項參數(shù)值，可以得出小車的狀態(tài)空間方程。即：x0100 x0x00.002411.725470 x1.00503u0001000.0055626.5819902.32597(2-23)1000x00102.2.2 系統(tǒng)的性能分析對于一個連續(xù)的時間系統(tǒng)AxCxBuDu系統(tǒng)的完全可控性的充分必要條件2 n 1是： Sc A AB A B .A B ，該系統(tǒng)可控矩陣滿秩，即 rank Sc=n。系統(tǒng)的輸出可控性充要條件是：當(dāng)且僅當(dāng)矩CB CAB CA2B . CAn 1B D