離散性隨機(jī)變量的均值

1、2 3 1 離散型隨機(jī)變量的均值寧波北侖明港高級(jí)中學(xué)柳勛一、教學(xué)內(nèi)容解析離散型隨機(jī)變量的均值是隨機(jī)變量及其分布第三節(jié)第一小節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課是第一課時(shí) . 本節(jié)課主要的學(xué)習(xí)任務(wù)是從平均的角度引入離散型隨機(jī)變量均值的概念，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)際問(wèn)題建立取有限值的離散型隨機(jī)變量均值的概念，然后推導(dǎo)出離散型隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì)E aXbaE Xb 以及離散型隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的期望E XP 和服從二項(xiàng)分布期望E XnP取有限值的離散型隨機(jī)變量的均值是在學(xué)生學(xué)習(xí)完離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究離散型隨機(jī)變量取值特征的一個(gè)方面.學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容既是隨機(jī)變量分布的內(nèi)容的深化，又是后續(xù)內(nèi)容離散

2、型隨機(jī)變量方差的基礎(chǔ)，所以學(xué)好本節(jié)課是進(jìn)一步學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量取值特征的其它方面的基礎(chǔ) .離散型隨機(jī)變量的均值是刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量取值的平均水平的一個(gè)數(shù)字特征，是從一個(gè)側(cè)面刻畫(huà)隨機(jī)變量取值的特點(diǎn) .在實(shí)際問(wèn)題中，離散型隨機(jī)變量的均值具有廣泛的應(yīng)用性 .因此我以為本節(jié)課的重點(diǎn)是：取有限值的離散型隨機(jī)變量均值的概念 . 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：依據(jù)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)） 對(duì)本節(jié)課的要求，并考慮到學(xué)生的實(shí)際和學(xué)習(xí)能力，特將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：1.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題， 使學(xué)生體會(huì)離散型隨機(jī)變量均值的概念，理解離散型隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì)，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的離散型隨機(jī)變量的均值，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 .2

3、.通過(guò)離散型隨機(jī)變量均值概念的探究形成，經(jīng)歷建構(gòu)數(shù)學(xué)概念這一過(guò)程，第 1 頁(yè)使學(xué)生學(xué)會(huì)概括、抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，通過(guò)簡(jiǎn)單的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí) .重點(diǎn)：離散性隨機(jī)變量的均值概念以及求法難點(diǎn)：對(duì)離散型隨機(jī)變量的均值的理解，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。三、學(xué)生學(xué)情分析本節(jié)課之前，學(xué)生已有平均值、概率、離散型隨機(jī)變量及其分布列，二項(xiàng)分布及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，具備了學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)的知識(shí)儲(chǔ)備 .本節(jié)課是一節(jié)概念新授課，教材從學(xué)生熟悉的平均值出發(fā)，從身邊的實(shí)際問(wèn)題中抽象出了取有限值的離散型隨機(jī)變量均值的概念，這需要一定的概括和抽象能力.鑒于學(xué)生的概括、抽象能力不是太強(qiáng)，因此學(xué)生對(duì)概念的形成和理解會(huì)有一定的

4、困難 .基于以上認(rèn)識(shí)，我以為本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：離散型隨機(jī)變量均值概念的形成和理解。四、課堂策略分析：本節(jié)課從總體上講是一節(jié)概念教學(xué)課 .在教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生是一個(gè)積極的探索者，教師的作用是要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一種學(xué)生能夠主動(dòng)探究的情境，幫助學(xué)生形成科學(xué)的數(shù)學(xué)概念。基于這種考慮，結(jié)合本節(jié)課知識(shí)的邏輯關(guān)系，我設(shè)計(jì)了以下的學(xué)習(xí)順序：溫故知新 引入新課問(wèn)題引導(dǎo) 講授新課小試牛刀例題講解鞏固新知學(xué)以致用 提升自我課堂小結(jié)，鞏固反思五、教學(xué)過(guò)程 ：（一）、溫故知新引入新課：1、分布列 :設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 可能取得值為 x1， x2， ，x3 ， ， X 取每一個(gè)值 xi（i=1 ，2 ， ）的概率為 P X xi

5、Pi ，則稱表第 2頁(yè)Xx1x2xiPP1P2Pi為隨機(jī)變量 的概率分布，簡(jiǎn)稱 的分布列2、離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)： （1） Pi0,i1,2,3；（2 ） P1P2pi1（二）、問(wèn)題引導(dǎo)講授新課：教師：對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。但在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差。我們能否用一些量來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)變量的這些數(shù)字特征？問(wèn)題 1 ：如果你期中考試各門(mén)成績(jī)?yōu)椋?0 、81、79 、69 、85 、91

6、；那你的平均成績(jī)是多少？學(xué)生答：（90+81+79+69+85+91）6=82.5教師：得數(shù)是各門(mén)學(xué)科的平均數(shù)，也就是我們平常所說(shuō)的算術(shù)平均數(shù)，若有n 個(gè)數(shù)據(jù)求平均數(shù)，則有 xx1 x2xn ；n問(wèn)題 2 ：你的期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)?yōu)?80 ，平時(shí)表現(xiàn)成績(jī)?yōu)?70 ，學(xué)校規(guī)定：在你學(xué)分記錄表中，該學(xué)期的數(shù)學(xué)成績(jī)中考試成績(jī)占 70% 、平時(shí)成績(jī)占 30% ，你最終的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)槎嗌?？學(xué)生答： 80 70%+70 30%=77教師： 77 這個(gè)得數(shù)也是一種平均數(shù)，只是在計(jì)算平均數(shù)時(shí)，我們根據(jù)每個(gè)數(shù)據(jù)所占的比重不同在它的前面所乘的系數(shù)也不同，這樣得到的平均數(shù)我們叫做加權(quán)平均數(shù)。一般地，若有 n 個(gè)數(shù)據(jù) x

7、1 , x2 , , x 求他們的加權(quán)平均數(shù)，則有：第 3頁(yè)xa1 x1a2 x2an xn ， a1a2an1教師：權(quán)：稱棰，權(quán)衡輕重的數(shù)值；權(quán)數(shù)是起權(quán)衡輕重作用的數(shù)值；加權(quán)平均：計(jì)算若干數(shù)量的平均數(shù)時(shí)， 考慮到每個(gè)數(shù)量在總量中所具有的重要性不同，分別給予不同的權(quán)數(shù)。練習(xí)：某商場(chǎng)要將單價(jià)分別為18 元/kg 、24 元 /kg 、36 元/kg 的 3 種糖果按 3：2 ：1 的比例混合銷售，如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？321學(xué)生答： x題我們換個(gè)角度來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題，如果我們把混合糖果攪拌充分均勻，從中隨機(jī)選取一顆，記X 為這顆糖果所屬種類的單價(jià)（元/kg ），你能寫(xiě)

8、出 X 的分布列嗎？學(xué)生：也就是說(shuō)這個(gè)糖果是18 元/kg 的概率為 3 ，為 24元/kg的概率為 2 ，為6636元/kg的概率為 1 ，那：設(shè)混合糖果中各糖果的單價(jià)為隨機(jī)變量X，那么63 、 2、 1 ；相當(dāng)于的取值可能是： 18 、24 、36 ；取到各個(gè)值的概率分別為：666知道了該離散型隨機(jī)變量 X 的分布列：教師：在這里我們發(fā)現(xiàn)糖果X 182436的合理價(jià)格合理價(jià)格 =18 3 +24 2 +36 1 ，在分布P321列中也有所體現(xiàn)， 其實(shí)就是66666618 P(X=18)+24 P(X=24)+36 P(X=36) ，可以說(shuō)我們所得到的合理價(jià)格應(yīng)該就是 X 取值的一個(gè)加權(quán)平均

9、數(shù)，也稱之為離散性隨機(jī)變量的均值。教師：如果你買了1kg 這種混合糖果，你要付多少錢？學(xué)生： 23 元；教師：而你買的糖果的實(shí)際價(jià)值剛好是23 元嗎？學(xué)生：不一定，看運(yùn)氣；教師：買的糖果的實(shí)際價(jià)值其實(shí)相當(dāng)于做了一次抽樣第 4 頁(yè)問(wèn)題：如果你知道了一個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布列：Xx1x2xnPp1p2pn該隨機(jī)變量的平均取值應(yīng)該怎樣計(jì)算？學(xué)生答： x1p 1+x 2p2+ +x n p n教師：我們稱上式計(jì)算所得的加權(quán)平均數(shù)叫做離散型隨機(jī)變量X 的均值或者數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望，記為： EX= x 1p 1 +x 2 p 2 + +x n p n它反映了取值的平均水平。注意：該平均數(shù)與以往的平均數(shù)有哪

10、里不同？它是加權(quán)平均。根據(jù)什么來(lái)確定權(quán)數(shù)？所取值的概率。思考 :若YaXb (a、b 是常數(shù) )，X 是隨機(jī)變量，則Y 也是隨機(jī)變量，它們的分布列為Xx1x2xnYax1 bax2 baxn bPp 1p2pn于是 EY ( ax1 b) p1(ax2 b) p2(ax n b) pn由此，我們得到了期望的一個(gè)性質(zhì) : E(aX b) aEX b（三）、小試牛刀（基礎(chǔ)訓(xùn)練）1 、隨機(jī)變量 X 的分布列是X357P0.50.30.2（1）則 E(X)=第 5頁(yè)（ 2）若 Y=2X+1 ，則 E(Y)=2 、隨機(jī)變量 X 的分布列是X46810Pa0.1b0.2E(X)=7 ，則 a=b=（四）、

11、例題講解鞏固新知：例 1 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得 1 分，罰不中得 0 分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為 0.7 ，則他罰球 1 次的得分 X 的均值是多少？小結(jié)：兩點(diǎn)分布變式、籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1 分，罰不中得 0 分已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7 ，他連續(xù)罰球 3 次；（1）求他得到的分?jǐn)?shù)X 的分布列；（2）求 X 的期望。小結(jié)：二項(xiàng)分布基礎(chǔ)訓(xùn)練：一袋子里裝有大小相同的3 個(gè)紅球和 2 個(gè)黃球，從中有放回的取5次，則取到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是（用數(shù)字作答）（五）、學(xué)以致用提升自我1 .一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20 個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4 個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)

12、是正確答案，每題選擇正確答案得 5 分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分 100 分，學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為 0.9 ，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從 4 個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)。求學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望。2 根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25, 有大洪水的概率為第 6頁(yè)0. 01 該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失 60 000 元，遇到小洪水時(shí)要損失 10000 元為保護(hù)設(shè)備，有以下 3 種方案：方案 1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3 800元方案 2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2 000元但圍墻只能防小洪水方案 3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水試比較哪一種方案好

13、解：用 X1 、X2 和 X3 分別表示三種方案的損失采用第 1 種方案，無(wú)論有無(wú)洪水，都損失3 800 元，即X1=3800.采用第 2 種方案，遇到大洪水時(shí)，損失2 000 + 60 000=62 000元；沒(méi)有大洪水時(shí)，損失2 000元，即同樣，采用第3 種方案，有于是，EX13 800 ,EX262 000 P (X2 = 62 000 ) + 2 00000P (X2 = 2 000 )= 62019 0. 01 + 2019(1-0.01) = 2 600 ,EX3 = 60000 P (X 3 = 60000) + 10 000 P(X3 =10 000 ) + 0 P (X 3

14、 =0) = 60 000 0.01 + 10000 0.25=3100 .采取方案 2 的平均損失最小，所以可以選擇方案2 .值得注意的是，上述結(jié)論是通過(guò)比較“平均損失”而得出的一般地，我們可以這樣來(lái)理解“平均損失” ：假設(shè)問(wèn)題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案 2 將會(huì)使損失減到最小由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對(duì)于個(gè)別的一次決策，采用方案2 也不一定是最好的第 7頁(yè)（六）、課堂小結(jié)，鞏固反思：1 、一般地，若離散型隨機(jī)變量X 的概率分布為Xx1x2xnPp1p2pn則均值（或數(shù)學(xué)期望） ： EXx1 p1 x2p2xn pn，反 映了隨機(jī)變量取值的平均水平；2、若 Y

15、 aX b ，則 EY aEXb3、若 X 服從兩點(diǎn)分布，則 E XP4、若 X : B（n,p ）（二項(xiàng)分布），則 E XnP六、課例的點(diǎn)評(píng)本節(jié)課教師能合理組織學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究，對(duì)學(xué)生的即時(shí)評(píng)價(jià)具有發(fā)展性和激勵(lì)性，做到重組教材，力求讓學(xué)生經(jīng)歷探究學(xué)習(xí)的全過(guò)程。主要的學(xué)習(xí)任務(wù)是從平均的角度引入離散型隨機(jī)變量均值的概念，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)際問(wèn)題建立取有限值的離散型隨機(jī)變量均值的概念，然后推導(dǎo)出離散型隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì)E aX b aE Xb 以及離散型隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的期望E X P 和服從二項(xiàng)分布期望 E XnP 。學(xué)生能夠自學(xué)的內(nèi)容， 教師讓學(xué)生自學(xué)；學(xué)生能夠自己表達(dá)的，教師鼓勵(lì)學(xué)生去表達(dá)；學(xué)生自己能做的，教師放手讓學(xué)生去做。本節(jié)課能夠有效地組織和引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展以探究為特征的研究性學(xué)習(xí)，環(huán)環(huán)相扣，使接受與探究相輔相成，學(xué)生的學(xué)習(xí)境界更高，學(xué)習(xí)效果更好。離散型隨