常微分方程試題及答案

1、第十二章 常微分方程(A)一、是非題1任意微分方程都有通解。 ( X )2微分方程的通解中包含了它所有的解。 ( X )3函數(shù) y 3sinx 4 cos x是微分方程 y y 0的解。 ( O )4函數(shù) y x2 ex是微分方程 y 2y y 0的解。 ( X )5 微分方程 xy ln x 0 的通解是 y 1 ln x 2 C ( C 為任意常數(shù) ) 2( O )6ysin y是一階線性微分方程。 ( X )7y33x3y3xy 不是一階線性微分方程。 ( O )8y2y5y 0的特征方程為 r 2 2r 5 0。( O )9dy1xy xy 是可分離變量的微分方程。 ( O )dx、填

2、空題1在橫線上填上方程的名稱 y 3 ln xdx xdy 0 是可分離變量微分方程。 xy2 x dx y x2y dy 0是可分離變量微分方程。 xdy y ln y 是齊次方程。dx x xy y x2 sin x 是一階線性微分方程。 y y 2y 0 是二階常系數(shù)齊次線性微分方程。2 y sin xy x cosx 的通解中應含 3 個獨立常數(shù)。13 y e 2x 的通解是 1e 2x C1x C2 。414 y sin2x cos x的通解是 sin2x cosx C1x C2 。45 xy 2x2y 2 x3 y x4 1是 3 階微分方程。6微分方程 y y y 6 0 是 2

3、 階微分方程。7811 所滿足的微分方程是 yx2y 的通解為 yxCx2。9dxdy 0 的通解為x22x2 y2C。10dydx2yx15x 1 2 ，其對應的齊次方程的通解為 y C x12。x211方程 xy 1123 階微分方程0 的通解為 y Cxe 216x120x3 的通解為 yC1x C2x C3、選擇題1微分方程xyyxy3 y4y 0的階數(shù)是 ( D ) 。A3 B45 D 22 微分方程x5 1 的通解中應含的獨立常數(shù)的個數(shù)為A3 B5 C4 D3下列函數(shù)中，哪個是微分方程dy2xdx0的解(2A y 2x B y x2 C 2x D24微分方程 y 3y3 的一個特解

4、是 (C2D3A y x3 1 B y x 2 3 C y5 函數(shù) y cosx 是下列哪個微分方程的解 (A y y 0 B y 2y 0 C ynDcosx6 y C1ex C2e x是方程 y y 0的( A ) ，其中 C1， C2為任意常數(shù)A通解 B 特解 C 是方程所有的解 D 上述都不對 7y y滿足 y|x 0 2的特解是( B ) 。xA y ex 1 B y 2ex C y 2 e2 D y 3 ex 8微分方程 y y sin x 的一個特解具有形式 ( C ) 。a cosxA y* asin xC y* x asin x bcosxy acosx bsin x9下列微

5、分方程中， ( A )是二階常系數(shù)齊次線性微分方程。A y 2y 0 By xy 3y2 0C 5y 4x 0 Dy 2y 1 010微分方程 yy 0滿足初始條件 y 0 1的特解為 ( A )Aex B ex 1C ex 1 D11在下列函數(shù)中，能夠是微分方程 y y 0 的解的函數(shù)是 ( C )A y 1 B y x C y sinx D y exy x 應 滿 足 的 關 系 是y 2x ，y1 312過點 1,3 且切線斜率為2x的曲線方程 y13下列微分方程中，可分離變量的是 (B) 。AdyyeB dy k xab y ( k, a, b 是常數(shù) )dxxdxCdysin y x

6、D y xy2 yx edx14方程y 2y 0 的通解是 (C ) 。Aysin x B 2x y 4 eC yC2x x e D y eA y2x B y 2x C y 2x ，y 1 3 D15微分方程 dxdy x0滿足 y|x 34的特解是 ( A ) 。yAx2 y225B3x 4y CC x2 y222C D x2 y2 716微分方程dy1y0 的通解是y ( B ) 。dxxA C B CxC 1 CDxCxx17微分方程yy0的解為 ( B)。A ex BexCxx e eD ex18下列函數(shù)中，為微分方程 xdxydy 0 的通解是 ( B )Cx2 y 0A x y C

7、 B x2 y2 C C Cx y 0 D19微分方程 2ydy dx 0 的通解為 ( A ) 。A y2 x C B y x C C y x C D y x C20微分方程 cos ydy sin xdx 的通解是 ( D ) 。Asin xcosy CB cosysin xCCcosxsin y CD cosxsin yC21yex 的通解為 y( C )。Ax eB e xC e xC1x C2D e x C1x C22按照微分方程通解定義， ysin x的通解是 （A ) 。Asin x C1x C2B sin xC1C2Csin xC1x C2D sinxC1 C2四、解答題1驗證

8、函數(shù) y C e3x e2x（C為任意常數(shù)）是方程 dy e2x 3y的通解， dx并求出滿足初始條件 y|x 0 0的特解。2求微分方程 xy2 1dx y1 x2 dy 0的通解和特解。 y|x 0 1解： 1 y2C ， 2x2 y2 11 x23求微分方程 dy y tan y 的通解 dx x x解： sin y Cx 。x4求微分方程xyy x 的特解。y|x 1 2解： y2 2x2 ln x 25求微分方程 yy cosx e sinx 的通解6求微分方程 dy y sin x 的通解 dx x1解： y sin x xcos x Cx7求微分方程7x 1 y 2y x 1 2

9、 0的特解。y|x 0 12解： y 2 x33 1 21 2 x 1 38求微分方程y22yx 滿足初始條件 x 0，y 1， y 3的特解。x1解： y esin xxC解： y x 3 3x 19求微分方程 y 2yy 滿足初始條件 x 0，y 1， y 2的特解。解： arctan y x 或 y4tan x10 驗 證 二 元 方 程 x 2xy y 2 C 所 確 定 的 函 數(shù) 為 微 分 方 程x 2y y 2x y 的解。11求微分方程 ex y ex dx ex y ey dy 0 的通解。解： e x 1 ey 1 C12求 dy y tan x secx ， y |x

10、0 0 的特解。dx x 0 解： y xcosx13驗證 y1 cos x ，y2 sin x都是 y 2 y 0的解，并寫出該方程的通解。14求微分方程 y22 y x2x的通解解： y Cx2 x 2 ln x115求微分方程 y 1 y ex 0 滿足初始條件 y 1 0 的特解。 xx解： y e exx16求微分方程 dy2 x1yx 1 3 的通解。dx解： y x 1 2x12C217求微分方程xdxydy 0 滿足條件 y 0 1的特解。1y1x解： 2 y3 x33y22x518求微分方程yy2y0的通解。解： y C1exC2e2x19求微分方程y2y5y0的通解。解：

11、y e x C1 cos2x C2 sin2x20求微分方程y4y4y0的通解。解：y C1 C2x e 2x21試求 y x的經(jīng)過點 M 0,1 且在此點與直線 y x 1相切的積分曲線。2解：1 3 1 1y x x 162(B)、是非題1可分離變量微分方程不都是全微分方程。 ( X )2若 y1 x ， y2 x 都是 y P x y Q x 的特解，且 y1 x 與 y2 x 線性無關， 則通解可表為 y x y1 x C y1 x y2 x 。 ( O )3函數(shù) y e 1x e 2x 是微分方程 y 1 2 y 1 2 y 0的解。 ( O )4曲線在點 x,y 處的切線斜率等于該

12、點橫坐標的平方，則曲線所滿足的微 分方程是 y x2 C( C是任意常數(shù) )。( X )5微分方程 y e2x y ，滿足初始條件 y|x 0 0的特解為 ey 12e2x 1、填空題1 y1 cosx與 y2sin x 是方程 y y0的兩個解，則該方程的通解為y C1 cosx C2 sinx2微分方程2y3y 0 的通解為 yC1ex C2e3x 。3微分方程2yy 0 的通解為 yC1x C2x e 。4微分方程e2x的通解是 y 81e2xC1x2C2x C3 。5微分方程y 的通解是 y C1exC2 。6微分方程dydx2xy 的通解是 y C2xe。三、選擇題1微分方程4y 4

13、y 0 的兩個線性無關解是 ( C ) 。2xAe2x 與 2 e2x B e 2x與 x e 2x C e2x與 x e2x D e 2x與 42x e2 下列方程中，不是全微分方程的為 ( C )A 3x2 6xy2 dx 6x2 y 4y2 dyey dxx ey2ydyC y x 2y dx x2dy 0y dxxdy3下列函數(shù)中，哪個函數(shù)是微分方程g 的解 ( CA s gt B s gt 2 C s12gt12gt4下列函數(shù)中，是微分方程 y 7y12y 0的解 ( C )A y x3 B yx2 C y e3x D 2xye5方程 1 x2 y xy0 的通解是 ( D ) 。A

14、y C 1 x2 BCy 1Cx2 C y12x3 CxDy12xCxe 26微分方程 y ln xdxx ln ydy滿足 y|x 1 1的特解是( A ) 。A ln 2 x ln 2 yln2 x ln2y 1C ln 2 x ln 2 y 0 Dln2x ln2 y 17微分方程 1 x2 dy1 y2 dx 0的通解是 ( A )A arctan x arctan yC B tanx tan y CC ln x ln y C Dcot x cot y C8微分方程 y sin x 的通解是 ( C )A y sin xBC ysin xC1x C29方程 xy y 3的通解是 (C3

15、A y C 3 B y 3 xx四、解答題1求微分方程 y 9y 24xysinxDysinx C1x C2A) 。CCCC y3 D y3xx6 cos3x 2sin3x 的通解。解： y C1 x cos3x2C2 2x x sin x3x2求微分方程 y 7y 6y sin x 的通解。1解： y C1e6x C2ex 1 7cosx 5sin x743求微分方程 3x2 2xy y2 dx x2 2xy dy 0 的通解。解： y2 xy x2 Cx(C)、是非題1只要給出 n 階線性微分方程的 n 個特解，就能寫出其通解。 X2已知二階線性齊次方程 y P x y Q x y 0的一

16、個非零解 y ，即可 求出它的通解。 ( O )二、填空題1微分方程 y 4y 5y 0的通解是 y e2x C1cosx C2 sinx 。2已知 y 1，y x ，yx2 某二階非齊次線性微分方程的三個解，則該方程的通解為 y e2x C1cosx C2sin x3微分方程 y2y2yex 的通解為 yxe C1 cosxC2 sin x 1 。、選擇題1微分方程yy12的通解為 () 。xxx1AarctanxCB1 arctan x C C1 arctan xC D arctan x Cxxx2微分方程yy1的通解是 ( ) 。A y C ex B y C ex 1 C y C ex

17、1 D y C 1 ex3 xyy|x 1 y0 3的解是( )11A y 31 B y 31 x C y 1 D y 1 xxx721x22C724微分方程 ddxy xy tan yx的通解為( )Asin y Cx B siny1xC sin CxD x1sinxxCx yy Cx5已知微分方程 y p x y x51 2 的一個特解為 y*2x371 2 ，則此微分方程的通解是 ( ) 。C C x2 2 7 212 x 1 2 D x 1227x 1 21136微分方程 yy ex 1 的一個特解應具有形式( 式中 a ，b 為常數(shù) )( )A aexb B axex b C aex

18、 bxD axex bx四、解答題1設 y ex 是微分方程 xy p x y x 的一個解，求此微分方程滿足條件 y|x ln2 0的特解。解：代入 y ex 到方程 xy p x y x 中，得 p x xe x xxy e 1e x xC e ， y e 1 y 1xln 2 ， y 01C e 2 。x yex1e1 e 2 。2 已知 y1x 2x xe e ，y2 xex e x，y3 xex e2x e x是某二階線性非齊次原方程為 xyxexxyx微分方程的三個解，求此微分方程。解： y1 y3 e x ， y3 y2 e2x 2e x 均是齊次方程的解且線性無關。C1e x C2 e2x 2e x 是齊次方程的通解。當 C1 2 ，C2 1時，齊次方程的特解為 e2xex 、 e2x都是齊次方程的解且線性無關。 C1e x C2e2x 是齊次方程的通解。由此特征方程之根為 -1 ，2，故特征方程 r 2 r 2 0。相應的齊次方程為 y y 2 y 0 故所求的二階非齊方程為 y y 2 y f xy1是非齊次