線(xiàn)性代數(shù)復(fù)習(xí)

1、線(xiàn)性代數(shù)復(fù)習(xí)一、行列式1、概念：余子式，代數(shù)余子式（對(duì)方陣而言）2、重要性質(zhì)：kA =kn A （A為n階矩陣）；行列式的倍加行（列）變換其值不變；3、克拉默法則：方程組Ax二B, xj=Dj/D （D是系數(shù)矩陣行列式，Dj是常數(shù)項(xiàng)替換系數(shù)矩陣 第j列后得到的矩陣的行列式）二、矩陣1、概念：系數(shù)矩陣、增廣矩陣、單位矩陣（I、E）、對(duì)角矩陣、上（下）三 角矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣、（反）對(duì)稱(chēng)矩陣、伴隨矩陣、逆矩陣2、重要性質(zhì):（kA）-l=k-lA-lA-l = A -1（A*）*= A n-2AA*A= |A|E矩陣的初等變換：初等矩陣前乘為行變換；后乘為列變換。初等倍乘矩陣Ei（c）,表示將A的笫i行

2、（列）乘c。初等倍加矩陣Eij（c）,表示將A的第i行（列）乘c加至第j行（列）。初等對(duì)換矩陣Eij表示將A的第i和第j行互換。A可逆，（A,E）對(duì)A,E同時(shí)做同樣的初等行變換（E, A-3、分塊矩陣求行列式A 0 其中A, B為方陣。Q = A B o0 B0 A 其中 A, B 為 m, n 階方陣。Q =（-l）mn A B。B 0A B Q = A D-CA-1B 。C D三、線(xiàn)性方程組1、概念：線(xiàn)性相關(guān)（線(xiàn)性無(wú)關(guān)）、秩、極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組、自由未知量2、重要性質(zhì)： 判斷多個(gè)向量間的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系：系數(shù)ki不全為零，Ekiai=O （定義）向量組有一部分向量線(xiàn)性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線(xiàn)性相關(guān)。

3、各向量組成的矩陣A=（aTl, aT2,aTn）的行列式為0。向量組bl, b2,bt能被al, a2,as線(xiàn)性表示且t>s,則bl, b2,bt線(xiàn) 性相關(guān)。 必能否被al, a2, a3 (或更多向量)向量組線(xiàn)性表示？(aTl,aT2, aT3) (xl, x2, x3)T= aT4,有解即能線(xiàn)性表示,解即為對(duì)應(yīng)各向量系 數(shù)。 矩陣的秩矩陣Am*n的秩等于行秩、等于列秩、恒不大于minm, n o矩陣的初等變換、轉(zhuǎn)置不改變矩陣的秩。r (A) =r (PA) (AQ) (PAQ),其中Am*n, P是m階可逆矩陣、Q是n階可逆矩 陣。A (n階矩陣)為滿(mǎn)秩矩陣的充要條件是|A|0o (

4、即A為奇異矩陣?A的秩不 為n) o矩陣秩的運(yùn)算：r(A) + r(B)r(A+B) r(AB)min r (A), r(B) 齊次線(xiàn)性方程組有解的條件齊次線(xiàn)性方程組Ax二0有非零解：r(A)<n(n是未知數(shù)的個(gè)數(shù)/A的列數(shù))。有非零解時(shí)，解的數(shù)量為 無(wú)窮多個(gè)。只有零解：r(A)=A的列數(shù)/ A H0。探Am*n, r (A) =r<n,則Ax二0存在基礎(chǔ)解系且其中包含了 n-r個(gè)解向量。 非齊次線(xiàn)性方程組有解的條件非齊次線(xiàn)性方程組Ax二b有唯一解：r (A)二r (A, b)二n (n是未知數(shù)的個(gè)數(shù)/A的列數(shù))有無(wú)窮解:r (A) =r (A, b) <n無(wú)解：r(A)&l

5、t;r(A, b)3、齊次(非齊次)線(xiàn)性方程組有非零解的結(jié)構(gòu) 求基礎(chǔ)解系的步驟：I將系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換化為簡(jiǎn)化階梯矩陣(不能有兩行非零起始值位 于同一列)?！?非零行的首個(gè)非零元所在列的對(duì)應(yīng)未知量為約束未知量，其余列對(duì)應(yīng)的未 知量為自曲未知量(引申：約束未知量即構(gòu)成列向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，其 他自山未知量均可用約束未知量線(xiàn)性表示)。III根據(jù)自山未知量所在列的位置確定xi的個(gè)數(shù)，賦其中一個(gè)xi=l,其他為 0依次進(jìn)行下去，得到多組基礎(chǔ)解系，便確定一般解Ekixi (ki為任意常 數(shù))。 非齊次線(xiàn)性方程組中求一般解：確定自由未知量后，取所有xi二0,求得一個(gè)特解x0；特解與該方程對(duì)應(yīng)的

6、齊 次線(xiàn)性方程組的多組基礎(chǔ)解系加起來(lái)構(gòu)成一般解xO-Ekixio四、向量空間與線(xiàn)性變換1、概念：自然基（標(biāo)準(zhǔn)基）、過(guò)渡矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交矩陣（n階矩陣）2、重要性質(zhì):（l）yl=al Ixl+a21x2+anlxn; y2=al2xl+a22x2+an2xn; y2=al2xl+a22x2+an2xn;xl, x2,xn是一組基；則yl, y2,yn線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是系數(shù)矩陣A滿(mǎn) 足|A 二0。依次性質(zhì)得到：（yl,y2,yn） = （xl,x2,xn）A, A稱(chēng)為x到y(tǒng)的過(guò)渡矩陣。從而：要求解aTl, aT2, , aTs（形成A矩陣）到bTl, bT2,bTn（形成 B矩陣）的過(guò)渡矩

7、陣，即求Ax二B的解X。易知：過(guò)渡矩陣可逆。 A是正交矩陣：A-1二AT；A是n階正交矩陣?A的列向量組為Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。如：0 0 10的轉(zhuǎn)置矩陣是0 1 0 0 ,兩者的乘積為單位矩陣E4*4o1 00000100 10010000 00100013、施密特正交化方法ill al, a2, a3構(gòu)造一組標(biāo)準(zhǔn)正交基nl, n2, n3的方法：bl=al;b2=a2-bl*(a2,bl)/(bl,bl);b3=a3- b2*(a3,b2)/(b2,b2)- bl*(a3,bl)/(bl,bl).再將bl ,b2 ,b3單位化得到nl,n2,n3。(以上表達(dá)式中(a2,bl)表示內(nèi)積)五、

8、特征值和特征向量矩陣的對(duì)角化1、概念：特征值、特征向量、特征方程、相似矩陣、相似標(biāo)準(zhǔn)形2、重要性質(zhì): An*n,若存在X和非零向量x使Ax= X x,稱(chēng)X是A的特征值。特征值入滿(mǎn)足方程入I-A二0。(特征方程)矩陣A屬于不同特征值的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣或可相似對(duì)角化的矩陣，其秩就是非零特征值的個(gè)數(shù)。 E Xi=Eaii (主對(duì)角元之和)二tr(A)(矩陣的跡)nxi= A(以上二性質(zhì)可作為驗(yàn)證計(jì)算得到的X的準(zhǔn)確性)矩陣的特征值滿(mǎn)足線(xiàn)性性質(zhì)(入-A; kA-kA; Xm-Am; X-l-A-1 (A可逆時(shí))A和AT的特征值相同。 PAP-1二B?A、B;矩陣相似具有傳遞性。矩陣A1

9、A2的相似矩陣可表示為同一相似過(guò)程的兩個(gè)因子的相似矩陣之積。 矩陣可對(duì)角化：即指n階矩陣和對(duì)角陣相似。A =PAP-lo充要條件：n階矩陣A有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。3、判斷方陣An和能否對(duì)角化、求特征值和特征向量、求P、T和A的方 法： 由方程XI-A二0求出X的值(特征值)； 將得到的單個(gè)或多個(gè)X分別代入方程(Xl-A)x=O,這是一個(gè)齊次線(xiàn)性方程 組，求解x的基礎(chǔ)解系，即得到特征向量和其個(gè)數(shù)，從而判定A能否對(duì)角化。 若A能夠?qū)腔瑒t一定有n個(gè)特征向量xl,x2,xn；它們組成一個(gè)新 的矩陣P二(xl, x2,xn),由A=PAP-1求出A。( A的各項(xiàng)實(shí)際上就是A的特征 值 A, 1,

10、 X 2,，A. n) 若八二TAT-1,則按不同特征值對(duì)應(yīng)的多個(gè)特征向量分組進(jìn)行施密特正交 化、單位化處理，再將各向量并列寫(xiě)作正交矩陣T。六、二次型1、概念：二次型、正定矩陣2、重要性質(zhì)：把一般的二次型 f (xl, x2,xn) = E xixj (i, j=l, 2,n)化為yl,y2,yn的純平方項(xiàng)之代數(shù)和Ey2i的基本方法，從矩陣的角度而言，是對(duì)于 一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A,尋找一個(gè)可逆矩陣C,使得CTAC成為對(duì)角形。 若對(duì)于任意的非零向量x=（xl, x2,xn）T,恒有xTAx>0,則稱(chēng)xTAx為正 定二次型，A為正定矩陣。當(dāng)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)，xTAx是正定二次型；且A的n個(gè)特征值

11、全大于零。正定矩陣A是滿(mǎn)秩矩陣，且A-1也是正定矩陣。 判定二次型的正定性；【任何二次型都可以用配方法判定其正定性；II可以用賦值法判定某二次型非正定；Ilin階矩陣A的n個(gè)順序主子式全大于零。（順序主子式：自左上角開(kāi)始取 方陣，取1*1、2*2、k*k方陣的行列式即為k階順序主子式。n階方陣中這樣 的主子式能取n個(gè)） 二次型正定的性質(zhì)：I xTAx>0 （定義）IIA的主對(duì)角元aii>0； A二0。3、化二次型（Exixj）為標(biāo)準(zhǔn)形（Ey2i）的方法： 寫(xiě)出二次型對(duì)應(yīng)的方陣An*n,注意寫(xiě)成實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的形式。 求出矩陣的特征值和特征向量；將特征向量按組進(jìn)行施密特正交化和單位 化；

12、將各向量并列形成正交矩陣Q;由八二QAQ-1求出Ao 做正交變換x二Qy,將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形。簡(jiǎn)捷方法：xTAx二yT(QTAQ)y=入 lyl2+入2y22+ 入nyn2,其中 A 1,X2,，'n是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的n個(gè)特征值，也是對(duì)角矩陣八的各項(xiàng)diag(Xl,A 2, Xn)o (這些特征值的先后順序可以對(duì)換，但必須先后一一對(duì)應(yīng))附1：各種矩陣對(duì)比矩陣表示方式規(guī)格行列式秩求解公式轉(zhuǎn)置矩陣AT任意IAT =|A| (方陣 時(shí))r (AT)二 r (A)逆矩 陣A-1方陣A-l I 工0r (Al)=r (A)A-1二 A*/|Ai系數(shù) 矩陣A任意A二0時(shí)齊次方程有非零解r(A)<

13、;n時(shí)齊次方程有非零 解增廣矩陣(A, b)任意r=r (A, b)二n時(shí)非齊次 方程有唯一解對(duì)角矩陣A、diag ()方陣A=PAP-1滿(mǎn)秩矩陣方陣不為零r(An*n)=n可逆矩陣、正定矩陣滿(mǎn)秩對(duì)稱(chēng)矩陣aij=aji方陣A 二QAQ-l正交矩陣r方陣1或T滿(mǎn)秩列向量組為Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基相似矩陣AB方陣A 二 Br (A)二 r (B)B=PAP-1A、B具有相同的特征值正定矩陣A=PTP方陣A >0滿(mǎn)秩A 二CTACA的特征值全大于零附二：矩陣行列式和零的關(guān)系A(chǔ)二0的充分必要條件：<=> A不可逆（乂稱(chēng)奇異）<=> A的列（行）向量組線(xiàn)性相關(guān)<=> r（A）<n<=> Ax二0有非零解<=> A有特征值0<=> A不能表示成初等矩陣的乘積 |A|HO的充分必要條件：<=> A可逆（非奇異矩陣）<=>存在同階方陣B滿(mǎn)足AB二E （或BA二E）（可逆的性質(zhì)）<=> r （A）