數(shù)學(xué)建模試卷2010(答案)

1、華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)建模考試卷（半開卷）20102011學(xué)年度第一學(xué)期成績(jī)一二三四五六合計(jì)分?jǐn)?shù)101020202020100學(xué)號(hào)專業(yè)班級(jí)姓名 一、怎樣解決下面的實(shí)際問(wèn)題，包括需要哪些數(shù)據(jù)資料，要作些什么觀察、試驗(yàn)以及建 立什么樣的數(shù)學(xué)模型等。（10分）（1）估計(jì)一批電飯煲的壽命；（2）高層辦公樓有四部電梯，早晨上班時(shí)間非常擁擠，試制訂合理的運(yùn)行計(jì)劃。解：（1）從一批電飯煲中取一定數(shù)量的樣本，測(cè)得其平均壽命，可作為該批電飯煲壽命的估 計(jì)值。為衡量估計(jì)的精度，需要從樣本壽命確定該批電飯煲壽命的概率分布，即可得到 估計(jì)值的置信區(qū)間。還可試驗(yàn)用提高電壓的辦法加速壽命測(cè)試，以縮短測(cè)量時(shí)間。（2）統(tǒng)計(jì)在各層上

2、班的人數(shù)，通過(guò)數(shù)據(jù)或計(jì)算確定電梯運(yùn)行時(shí)間，以等待的人數(shù)與時(shí)間 乘積為目標(biāo)，建立優(yōu)化模型，確定每部電梯運(yùn)行的樓層（有的從大廳直接運(yùn)行到高層）19 席分配，m = 2,n 2 - 3,n3 = 4 再用Q值法分配第十席:2P12352= 9204仃61 22133329240.75 “2 “213 3 14322% 兔 14 4 1 = 9331.20二、學(xué)校共有1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿 舍。學(xué)生們要組織一個(gè)10人的委員會(huì)，試用以下方法分別分配各宿舍的委員數(shù)。（10 分）1. Hamilton 方法2. Q值方法3. 其它方法或你自己提出的方法 解：

3、1. Hamilton 方法:宿舍學(xué)生人數(shù)按比例分配參照慣例A2352.353B3333.333C4324.324總計(jì)100010102.Q值法：先按比例計(jì)算結(jié)果將整數(shù)部分的Q3最大，第十席分配給C宿舍，即：n, = 2,n2 = 3,n3 = 5。3.略三、人體注射葡萄糖溶液時(shí)，血液中葡萄糖濃度 g（t）的增長(zhǎng)率與注射速率r成正比，與人 體血液容積V成反比，而由于人體組織的吸收作用，g（t）的減少率與g（t）本身成正比。分 別在以下假設(shè)下建立模型，并討論穩(wěn)定情況。 （20分）（1）人體血液容積V不變；（2） 由于排泄等因數(shù)V的增加有極限值，即dV t = i Vj-V ，其中1 0,V1 0

4、均為dt常數(shù)。解：（1）V為常數(shù)時(shí)：基本模型為：警*如k10,k20為常數(shù) 令：f gl=k©-k2g=0 平衡解：g。="k2V3#dV（t）訓(xùn)-v）dt令: f g，V =klV k20平衡點(diǎn)：go,Vo 二F g,V Vi V =0ffra = fg go,Vo-k2 b = fv go ,Vo - ki 亍V 1c = Fg g°,Vo =o d = Fv go,Vo'p =k2 亠 | >0q =k2" 0平衡點(diǎn)（g0,V0 ）= “1' ,Vt是穩(wěn)定的IkzVi丿k1rk2V1,Vi丿kiV?卩k2Vfgo -k2 :

5、0 二平衡點(diǎn)g0= -是穩(wěn)定的#四、某甲（農(nóng)民）有一塊土地，若從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)可收入1萬(wàn)元；若將土地租給某乙（企業(yè)家）用于手工業(yè)生產(chǎn)，可收入 2萬(wàn)元；若租給某丙（旅店老板）收入達(dá) 3萬(wàn)元；當(dāng)旅 店老板請(qǐng)企業(yè)家參與經(jīng)營(yíng)時(shí)，收入達(dá) 4萬(wàn)元。為促成最高收入的實(shí)現(xiàn)，試用 Shapley值 方法分配各人的所得。（20分）解：此問(wèn)題為3人合作對(duì)策。I 一 1,2,3 ?定義特征函數(shù):v妙"0,v 1 產(chǎn) 1,v 2 i=v 3 "0,v 1,2= 2,v 1,3= 3,v 2,3= 0,v 1=4計(jì)算1：s11,2 1,3 1,2,3 v(s)1234V(S- 1)0000v(s)- v(

6、s- 1)12341 s 11223w( s )1/3 :1/61/6:1/3w( s ) v(s)- v(s- 1 1/31/31/24/341114w s Iv s - v s- : 1 = 3 3 2 4 = 2.5計(jì)算2：s21,2 2,3 1,2,3 v(s)0204v(s- 2)0103v(s)- v(s-2)0101s1223w( s)1/3 11/61/6r 1/3w( s ) v(s)- v(s- 201/601/3w s Iv s -v1 1一）叫丁0.5計(jì)算3：s31,3 2,3 1,2,3 v(s)0304v(s- 3)0102v(s)- v(s-3)0202s1223

7、w( s)1/3 :1/61/6r 1/3w( s ) v(s)- v(s- 301/302/3#3 v八sdS3w s| ： v s ?v s3 1 = £ £ = 133分配向量為：門v = 2.5,0.5,1即：甲應(yīng)分得25000元，乙應(yīng)分得5000元，丙應(yīng)分得10000元。#五、雨滴的速度V與空氣密度P粘滯系數(shù)卩和重力加速度g有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定 義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為 粘滯系數(shù)。用量綱分析法給出速度 v的表達(dá)式。（20分）解：解法:設(shè) f v, ：；i,g =0,量綱：V - LT，丨門-LM,I - LJM

8、T，gl LT，-3-1量綱矩陣:有 m-r = 4-3=1y2=0- 2 y4個(gè)基本解。T111y = 21 丄丄、333J即：二二方g虧入為無(wú)量綱常數(shù)。#解法二：設(shè) V 二，JlAg：3入為無(wú)量綱常數(shù)。則：LT 4 二 L”：【一訕：2T ：2L：3T3LT=L； 1 A 上3僦：1 亠 2丁 -：2：3比較方程兩邊:解出:一：2 一2： 3-1#即：V 二，3 J 3 g3 二，3六、賽艇是一種靠槳手劃槳前進(jìn)的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。T. A.McMahon收集了各種賽艇1964 1970年四次2000米比賽的最好成績(jī)(包括1964年 和1968年的兩次奧運(yùn)會(huì)和兩次世

9、界錦標(biāo)賽)，他認(rèn)為比賽成績(jī)與槳手?jǐn)?shù)量之間存在著某1種聯(lián)系，即仁“"9，其中t為比賽成績(jī)，n為槳手?jǐn)?shù)量。試用以下數(shù)據(jù)對(duì) T. A. McMahon 的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，并完成模型。(20分)艇種(n)2000 米成績(jī) t (min)1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.42 :6.486.13P 6.32八人5.875.925.825.735.84解：設(shè)tan®a B為待定常數(shù)a、b的估計(jì)值為：' XTYiYi d遲(Xi X )i d=lnt = In 一八 Inn = Y = a bX艇種(n)2000 米成績(jī) t ( min)XYX-XY-Y1234平均單人7.167.257.287.177.210.00001.9755-1.03970.0974雙人6.876.926.956.776.880.69311.9286-0.34660.0505四人6.336.426.486.136.32：1.38631.84370.3466-0.0344八人5.875.925.825.735.842.07941.76471.03