高一物理相遇和追及問題含詳解

1、.相遇和追及問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、機(jī)動車的行駛安全問題：1、 反應(yīng)時間：人從發(fā)現(xiàn)情況到采取相應(yīng)措施經(jīng)過的時間為反應(yīng)時間。2、 反應(yīng)距離：在反應(yīng)時間內(nèi)機(jī)動車仍然以原來的速度v勻速行駛的距離。3、 剎車距離：從剎車開始，到機(jī)動車完全停下來，做勻減速運(yùn)動所通過的距離。4、 停車距離與安全距離：反應(yīng)距離和剎車距離之和為停車距離。停車距離的長短由反應(yīng)距離和剎車距離共同決定。安全距離大于一定情況下的停車距離。要點(diǎn)二、追及與相遇問題的概述1、 追及問題的兩類情況(1)速度小者追速度大者(2)速度大者追速度小者說明:表中的x是開始追及以后,后面物體因速度大而比前面物體多運(yùn)動的位移；x0是開始追及以前兩物體之

2、間的距離；t2-t0=t0-t1；v1是前面物體的速度,v2是后面物體的速度. 特點(diǎn)歸類：(1)若后者能追上前者，則追上時，兩者處于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度(2)若后者追不上前者，則當(dāng)后者的速度與前者相等時，兩者相距最近2、 相遇問題的常見情況(1)同向運(yùn)動的兩物體的相遇問題,即追及問題.(2)相向運(yùn)動的物體,當(dāng)各自移動的位移大小之和等于開始時兩物體的距離時相遇.解此類問題首先應(yīng)注意先畫示意圖,標(biāo)明數(shù)值及物理量;然后注意當(dāng)被追趕的物體做勻減速運(yùn)動時,還要注意該物體是否停止運(yùn)動了.【典型例題】類型一、機(jī)動車的行駛安全問題例1、為了安全，在高速公路上行駛的汽車之間應(yīng)保持必要的距離。

3、已知某高速公路的最高限速為v=120km/h。假設(shè)前方車輛突然停止運(yùn)動，后面汽車的司機(jī)從眼睛發(fā)現(xiàn)這一情況，經(jīng)過大腦反應(yīng)，指揮手、腳操縱汽車剎車，到汽車真正開始減速，所經(jīng)歷的時間需要0.50s（即反應(yīng)時間），剎車時汽車所受阻力是車重的0.40倍，為了避免發(fā)生追尾事故，在該高速公路上行駛的汽車之間至少應(yīng)保留多大的距離.【答案】156m【解析】勻減速過程的加速度大小為。勻速階段的位移,減速階段的位移，所以兩車至少相距。【點(diǎn)評】剎車問題實(shí)際上是勻變速直線運(yùn)動的有關(guān)規(guī)律在減速情況下的具體應(yīng)用，要解決此類問題，首先要搞清楚在反應(yīng)時間里汽車仍然做勻速直線；其次也要清楚汽車做減速運(yùn)動，加速度為負(fù)值；最后要注意

4、單位統(tǒng)一。舉一反三【變式】酒后駕車嚴(yán)重威脅交通安全其主要原因是飲酒會使人的反應(yīng)時間(從發(fā)現(xiàn)情況到實(shí)施操作制動的時間)變長，造成制動距離(從發(fā)現(xiàn)情況到汽車停止的距離)變長，假定汽車以108 km/h的速度勻速行駛，剎車時汽車的加速度大小為8 m/s2，正常人的反應(yīng)時間為0.5 s，飲酒人的反應(yīng)時間為1.5 s，試問：(1)駕駛員飲酒后的反制距離比正常時多幾米.(2)飲酒的駕駛員從發(fā)現(xiàn)情況到汽車停止需多少時間.【答案】(1)30 m(2)5.25 s【解析】(1)汽車勻速行駛v108 km/h30 m/s正常情況下剎車與飲酒后剎車，從剎車到車停止這段時間的運(yùn)動是一樣的，設(shè)飲酒后的剎車距離比正常時多

5、s，反應(yīng)時間分別為則代入數(shù)據(jù)得(2)飲酒的駕駛員從實(shí)施操作制動到汽車停止所用時間解得所以飲酒的駕駛員從發(fā)現(xiàn)情況到汽車停止所需時間解得類型二、追及問題一：速度小者追趕同向速度大者例2、一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試求：（1）汽車從路口開動后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠(yuǎn).此時距離是多少. 【答案】2s 6m【解析】：方法一：臨界狀態(tài)法汽車在追擊自行車的過程中，由于汽車的速度小于自行車的速度，汽車與自行車之間的距離越來越大；當(dāng)汽車的速度大于自行車的速度以后，汽車與自行車之間的距離

6、便開始縮小。很顯然，當(dāng)汽車的速度與自行車的速度相等時，兩車之間的距離最大。設(shè)經(jīng)時間t兩車之間的距離最大。則方法二：圖象法在同一個v-t圖象中畫出自行車和汽車的速度-時間圖線，如圖所示。其中表示自行車的速度圖線，表示汽車的速度圖線，自行車的位移等于圖線與時間軸圍成的矩形的面積，而汽車的位移則等于圖線與時間軸圍成的三角形的面積。兩車之間的距離則等于圖中矩形的面積與三角形面積的差，不難看出，當(dāng)t=t0時矩形與三角形的面積之差最大。此時 ，方法三：二次函數(shù)極值法設(shè)經(jīng)過時間t汽車和自行車之間的距離，則當(dāng)時兩車之間的距離有最大值，且【點(diǎn)評】(1)在解決追及相遇類問題時，要緊抓“一圖三式”，即：過程示意圖，

7、時間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式，另外還要注意最后對解的討論分析(2)分析追及、相遇類問題時，要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往對應(yīng)一個臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的臨界條件(3)解題思路和方法舉一反三【變式1】小轎車在十字路口等綠燈亮后，以1m/s2的加速度啟動，恰在此時，一輛大卡車以7m/s的速度從旁超過，做同向勻速運(yùn)動，問（1）小轎車追上大卡車時已通過多少路程.（2）兩車間的距離最大時為多少.【答案】98m 24.5m【變式2】甲、乙兩車同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，向同一方向運(yùn)動，其中甲以10 m/s的速度勻速行駛，乙以2 m/s2的加

8、速度由靜止啟動，求：(1)經(jīng)多長時間乙車追上甲車.此時甲、乙兩車速度有何關(guān)系.(2)追上前經(jīng)多長時間兩者相距最遠(yuǎn).此時二者的速度有何關(guān)系.【答案】(1)10 s2倍(2)5 s相等【解析】(1)乙車追上甲車時，二者位移相同，設(shè)甲車位移為x1，乙車位移為x2，則x1x2，即，解得，因此.(2)設(shè)追上前二者之間的距離為，則由數(shù)學(xué)知識知：當(dāng)時，兩者相距最遠(yuǎn)，此時.類型三、追及問題二：速度大者減速追趕同向速度小者例3、火車以速度勻速行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距S處有另一列火車沿同方向以速度（對地、且）做勻速運(yùn)動，司機(jī)立即以加速度緊急剎車，要使兩車不相撞，應(yīng)滿足什么條件.【答案】【解析】方法一：設(shè)兩車

9、恰好相撞(或不相撞)，所用時間為t，此時兩車速度相等 解之可得：即，當(dāng)時，兩車不會相撞。方法二：要使兩車不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為：對任一時間t，不等式都成立的條件為由此得【點(diǎn)評】分析解決兩物體的追及、相遇類問題，應(yīng)首先在理解題意的基礎(chǔ)上，認(rèn)清兩物體在位移、速度、時間等方面的關(guān)聯(lián)，必要時須畫出運(yùn)動關(guān)聯(lián)的示意圖。這類問題的特殊之處是常與極值條件或臨界條件相聯(lián)系。分析解決這類問題的方法有多種，無論哪一種方法，分析臨界條件、解決相關(guān)的臨界條件方程或用數(shù)學(xué)方法找出相關(guān)的臨界值，是解決這類問題的關(guān)鍵和突破口。舉一反三【變式1】汽車正以10m/s的速度在平直公路上前進(jìn)，突然發(fā)現(xiàn)正前方s 處有一輛自行車以4m/

10、s的速度做同方向的勻速直線運(yùn)動，汽車立即關(guān)閉油門做勻減速運(yùn)動，加速度大小為6m/s2，若汽車恰好不碰上自行車，則s大小為多少.【答案】3m【變式2】甲乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運(yùn)動,t=0時刻同時經(jīng)過公路旁的同一個路標(biāo).在描述兩車運(yùn)動的v-t圖中(如圖),直線ab分別描述了甲乙兩車在020 s的運(yùn)動情況.關(guān)于兩車之間的位置關(guān)系,下列說法正確的是( )A.在010 s內(nèi)兩車逐漸靠近B.在1020 s內(nèi)兩車逐漸遠(yuǎn)離C.在515 s內(nèi)兩車的位移相等D.在t=10 s時兩車在公路上相遇【答案】C【解析】由題圖知乙做勻減速運(yùn)動,初速度v乙=10 m/s,加速度大小a乙=0.5 m/s2;甲

11、做勻速直線運(yùn)動,速度v甲=5 m/s.當(dāng)t=10 s時v甲=v乙,甲乙兩車距離最大,所以010 s內(nèi)兩車越來越遠(yuǎn),1015 s內(nèi)兩車距離越來越小,t=20 s時,兩車距離為零,再次相遇.故ABD錯誤.因515 s時間內(nèi)v甲=乙,所以兩車位移相等,故C正確.類型四、相遇問題例4、在某市區(qū)內(nèi)，一輛小汽車在公路上以速度向東行駛，一位觀光游客正由南向北從斑馬線上橫過馬路。汽車司機(jī)發(fā)現(xiàn)游客途經(jīng)D處時，經(jīng)過0.7s作出反應(yīng)緊急剎車，但仍將正步行至B處的游客撞傷，該汽車最終在C處停下，如圖所示。為了判斷汽車司機(jī)是否超速行駛以及游客橫穿馬路的速度是否過快，警方派一車胎磨損情況與肇事汽車相當(dāng)?shù)木囈苑ǘㄗ罡咚俣?/p>

12、行駛在同一馬路的同一地段，在肇事汽車的起始制動點(diǎn)A緊急剎車，經(jīng)14.0后停下來。在事故現(xiàn)場測得17.5，14.0，2.6肇事汽車的剎車性能良好，問：（1）該肇事汽車的初速度是多大" （2）游客橫過馬路的速度是多大"【答案】21m/s 1.53 m/s【解析】（1）警車和肇事汽車剎車后均做勻減速運(yùn)動，其加速度大小，與車子的質(zhì)量無關(guān)，可將警車和肇事汽車做勻減速運(yùn)動的加速度a的大小視作相等。對警車，有；對肇事汽車，有，則，即，故 21/。（2）對肇事汽車，由得，故肇事汽車至出事點(diǎn)B的速度為14.0/。肇事汽車從剎車點(diǎn)到出事點(diǎn)的時間 1，又司機(jī)的反應(yīng)時間t00.7，故游客橫過馬路的

13、速度m/s1.53/?！军c(diǎn)評】研究物體的運(yùn)動，首先要分析清楚物體的運(yùn)動過程。特別是當(dāng)物體有多個運(yùn)動階段時，必須明確問題所研究的是運(yùn)動的哪一個階段。當(dāng)問題涉及多個物體的運(yùn)動時，應(yīng)先分別獨(dú)立研究各個物體的運(yùn)動，然后找出它們之間的聯(lián)系。舉一反三【變式1】羚羊從靜止開始奔跑，經(jīng)過50m的距離能加速到最大速度25m/s，并能維持一段較長的時間。獵豹從靜止開始奔跑，經(jīng)過60m的距離能加速到最大速度30m/s，以后只能維持這速度4.0s。設(shè)獵豹距離羚羊x時開始攻擊，羚羊則在獵豹開始攻擊后1.0s才開始奔跑，假定羚羊和獵豹在加速階段做勻加速運(yùn)動，且均沿同一直線奔跑，求：（1）獵豹要在從最大速度減速前追到羚羊，

14、x值應(yīng)在什么范圍.（2）獵豹要在其加速階段追到羚羊，x值應(yīng)在什么范圍.【答案】(1） 31.875m x 55m （2）x 31.875m 【變式2】一輛值勤的警車停在公路邊，當(dāng)警員發(fā)現(xiàn)從他旁邊以10 m/s的速度勻速行駛的貨車嚴(yán)重超載時，決定前去追趕，經(jīng)過5.5 s后警車發(fā)動起來，并以2.5 m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動，但警車的行駛速度必須控制在90 km/h以內(nèi)問：(1)警車在追趕貨車的過程中，兩車間的最大距離是多少.(2)警車發(fā)動后要多長時間才能追上貨車.【答案】(1)75 m(2)12 s【變式3】甲乙兩車在一平直道路上同向運(yùn)動,其v-t圖象如圖所示,圖中OPQ和OQT的面積分別為s

15、1和s2(s2>s1).初始時,甲車在乙車前方s0處( )A.若s0=s1+s2,兩車不會相遇B.若s0<s1,兩車相遇2次C.若s0=s1,兩車相遇1次D.若s0=s2,兩車相遇1次【答案】ABC【解析】在T時刻,甲乙兩車速度相等,甲車的位移s2,乙車的位移s1+s2,當(dāng)甲車在前方s0=s1+s2時,T時刻乙車在甲車的后方s2處,此后乙車速度就比甲車小,不能與甲車相遇,A正確;如果s0=s1,說明T時刻乙車剛好趕上甲車,但由于速率將小于甲車,與甲車不會相遇第二次,C正確;如果s0<s1,說明T時刻,乙車已經(jīng)超過了甲車,但由于速度將小于甲,與甲車會相遇第二次,B正確;如果s0

16、=s2,T時刻乙車在甲的后方s2-s1處,此后乙車速度就比甲車小,不能與甲車相遇,D不正確.【鞏固練習(xí)】解答題：1、在十字路口，汽車以的加速度從停車線啟動做勻加速運(yùn)動，恰好有一輛自行車以的速度勻速駛過停車線與汽車同方向行駛，求：什么時候它們相距最遠(yuǎn).最遠(yuǎn)距離是多少.在什么地方汽車追上自行車.追到時汽車的速度是多大.2、甲、乙兩個同學(xué)在直跑道上練習(xí)4100m接力，他們在奔跑時有相同的最大速度。乙從靜止開始全力奔跑需跑出25m才能達(dá)到最大速度，這一過程可看作勻變速運(yùn)動。現(xiàn)甲持棒以最大速度向乙奔來，乙在接力區(qū)伺機(jī)全力奔出。若要求乙接棒時奔跑達(dá)到最大速度的80%，則：（1）乙在接力區(qū)須奔出多大距離.（

17、2）乙應(yīng)在距離甲多遠(yuǎn)時起跑.3、甲、乙兩車相距為s，同時同向運(yùn)動，乙在前面做加速度為a1、初速度為零的勻加速運(yùn)動，甲在后面做加速度為a2、初速度為v0的勻加速運(yùn)動，試討論兩車在運(yùn)動過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系。4、在水平直軌道上有兩列火車A和B相距s。A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動；而B車同時做初速度為0、加速度大小為a的勻加速直線運(yùn)動，兩車運(yùn)動方向相同。要使兩車不相撞，求A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件。5、甲、乙兩車在同一條平直公路上行駛，甲車以v1=10m/s的速度做勻速運(yùn)動，經(jīng)過車站A時關(guān)閉油門以a1=4m/s2的加速度勻減速前進(jìn)。2s后乙車與甲車同方向以a2=

18、1m/s2的加速度從同一車站A出發(fā)，由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動。問乙車出發(fā)后經(jīng)多長時間追上甲車.6、高速公路給人們出行帶來了方便，但是因?yàn)樵诟咚俟飞闲旭偟能囕v的速度大，霧天往往出現(xiàn)十幾輛車追尾連續(xù)相撞的車禍。已知轎車在高速公路正常行駛速率為120km/h。轎車剎車產(chǎn)生的最大加速度為8m/s2，如果某天有霧，能見度（觀察者與能看見的最遠(yuǎn)目標(biāo)間的距離）約為37m，設(shè)司機(jī)的反應(yīng)時間為0.6s，為安全行駛，轎車行駛的最大速度是多少.7、小球1從高H處自由落下，同時小球2從其下方以速度v0豎直上拋，兩球可在空中相遇，試就下列兩種情況討論v0的取值范圍。（1）在小球2上升過程兩球在空中相遇；（2）在小球

19、2下降過程兩球在空中相遇。8、 如圖所示，AB、CO為互相垂直的丁字形公路，CB為一斜直小路，CB與CO成60°角，CO間距300。一逃犯騎著摩托車以45km/h的速度正沿AB公路逃竄。當(dāng)逃犯途徑路口O處時，守候在C處的公安干警立即以1.2m/s2的加速度啟動警車，警車所能達(dá)到的最大速度為120km/h。若公安干警沿COB路徑追捕逃犯，則經(jīng)過多長時間在何處能將逃犯截獲"若公安干警抄CB近路到達(dá)B處時，逃犯又以原速率掉頭向相反方向逃竄，公安干警則繼續(xù)沿BA方向追趕，則總共經(jīng)多長時間在何處能將逃犯截獲"（不考慮摩托車和警車轉(zhuǎn)向的時間）【答案與解析】解答題：1、10s

20、25m 100m 10m/s解析：兩車速度相等時相距最遠(yuǎn)，設(shè)所用時間為t，最遠(yuǎn)距離設(shè)汽車追上自行車所用時間為t，此時， 此時距停車線距離， ，此時汽車速度，2、16m 24m解析: （1）設(shè)兩人奔跑的最大速度為v0，則在乙從靜止開始全力奔跑達(dá)到最大速度的過程，以及乙接棒時奔跑達(dá)到最大速度的80%的過程，分別應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動速度位移關(guān)系式，有 ，由以上兩式可解得乙在接力區(qū)須奔出的距離，。 （2）設(shè)乙在距甲為x0處開始起跑，到乙接棒時跑過的距離為，所經(jīng)歷的時間為t，則甲、乙兩人在時間t內(nèi)通過的位移有如下關(guān)系：，又由平均速度求位移的公式可知乙的位移，從而由以上兩式可解得 3、答案見解析。解析:這里

21、提供兩種解法。解法一（物理方法）：由于兩車同時同向運(yùn)動，故有（1）當(dāng)2時，可得兩車在運(yùn)動過程中始終有。由于原來甲車在后，乙車在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時間后甲車必然追上乙車。由于甲車追上乙車時，所以甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次。（2）當(dāng)時，因此甲、乙兩車也只能相遇一次。（3）當(dāng)時，的大小關(guān)系會隨著運(yùn)動時間的增大而發(fā)生變化。剛開始a1t和a2t相差不大且甲有初速度v0，所以。隨著時間的推移，a1t和a2t相差越來越大，當(dāng)時，接下來，則有。若在之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于，甲車就沒有機(jī)會超過乙車，即兩車不相遇；若在時，兩車剛好相遇，隨后由于，甲車又要

22、落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在之前，甲車已超過乙車，即已相遇一次，隨后由于，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時，再相遇一次，則兩車能相遇兩次。解法二(數(shù)學(xué)方法）： 設(shè)經(jīng)過時間t兩車能夠相遇，由于，相遇時有，則，所以。（1）當(dāng)時，t只有一個解，則相遇一次。（2）當(dāng)時，所以。t只有一個解，則相遇一次。（3）當(dāng)時，若，t無解，即不相遇； 若，t只有一個解，即相遇一次； 若，t有兩個正解，即相遇兩次。4、解析： 要使兩車不相撞，A車追上B車時其速度最多只能與B車速度相等。設(shè)A、B兩從相距s到A車追上B車時，A車的位移為xA，末速度為vA，所用時間為t；B車的位移為xB，末速度為vB，運(yùn)動過程如

23、圖所示?，F(xiàn)用四種方法求解。解法一（利用位移公式和速度公式求解）：對A車有 ，。對B車有 ，。兩車有，追上時，兩車剛好不相撞的條件是 ，由以上各式聯(lián)立解得 。故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是，解法二（利用速度公式和速度位移關(guān)系式求解）：兩車剛好不相撞的臨界條件是：即將追上時兩車速度相等。設(shè)此速度為v，A車追上B車前，A車運(yùn)動的時間為 ，B車運(yùn)動的時間為 ,因?yàn)?，所以，即。A車的位移 ， B車的位移 ，因?yàn)?，所以。即兩式?lián)立解得。故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是，。解法三（利用判別式解）：由解法一可知，即，整理得。這是一個關(guān)于時間t的一元二次方程，當(dāng)根的判別式0時，t無實(shí)數(shù)解，即兩車不相撞。故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是，。解法四（用速度圖象解）：如圖所示，先作A、B兩車的速度圖象。設(shè)經(jīng)過時間t兩車剛好不相撞，則對A車有，對B車有，由以上兩式聯(lián)立解得。經(jīng)時間t兩車的位移之差，即為原來兩車間的距離s，它可用速度圖象中陰影部分的面積表示，由速度圖象可知。故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是。5、5s解析 : 這里提供兩種解法。解法一（公式法）：甲、乙兩車自同一地點(diǎn)于不同時刻開始運(yùn)動，乙車出發(fā)時甲車具有的速度為m/sm/s=2 m/s，此時離甲車停止運(yùn)動的時間s=0.5s。根據(jù)題設(shè)