復變函數(shù)-laplace變換

1、第九章第九章 拉普拉斯拉普拉斯變換變換1. Laplace變換的概念變換的概念 2. Laplace變換的性質變換的性質 4. Laplace變換的簡單應用變換的簡單應用 9.1 Laplace變換變換3. Laplace逆逆變換變換(1),)(2)Fourier 變換的兩個限制定義于 絕對可積的條件太強一、一、 Laplace變換的概念變換的概念 若積分是一個復變量,定義在設函數(shù)定義stf,), 0)( ,的某一個域內收斂在復平面內sdtetfst 0)( 0)()(dtetfsFst相應地記為變換,稱為),()()(tfsFtfL 的Laplace.數(shù)分別為象原函數(shù)和象函和記為的逆變換,為

2、)()()()(),()(1sFtfsFtfsFtf L(1)數(shù)則由此積分所確定的函( )( ) ( )( )00( )0( )( ) ( )tf tf t u t ef tttf tf tf t u t注 的拉普拉斯變換即為 ( 0) 的傅立葉變換；拉普拉斯變換只用到 在 部分，為方便起見一般約定在 時 ，即 等價于 .0,00,1)(變換的求單位階躍函數(shù)例1.Laplace tttu 0)(dtetustLsesdtestst1100 stu1)( L解：解：所以，所以，Re( )0s 這個積分在收斂，而且有求函數(shù)求函數(shù)例例2.2. 0)(0dtedteeetksstktktL()011

3、( )(Re()0)s k tf tesksksk L解：解：這個積分當Re(s-k)0時收斂，而且時收斂，而且ktetf )(kLaplace（ 為復數(shù)）的變換。11(Re0)1(Re0)i tssessi例如LL例例3為實數(shù)。為實數(shù)。變換，變換，的的求求kLapacekttfsin)( 解：00()()00sinsin21122iktiktststs ik ts ik teektktedtedtiedtedtii =L()0()0Re()Re()Re( )0s ik ts ik tsiksiksedtedt當 時 和 都收斂，而且有,10)(iksdtetiks iksdtetiks 10

4、)(所以22111sin2,Re( )0ktisiksikksskL2222cos,Re( )0cos3 ,Re( )092sin2 ,Re( )04sktsskstsstss同理可得 如 LLL ( )1tL例例( )( ) cosLaplacef ttt 求求 的的變變換換解解000 ( )( )( ) coscos1stststtf tf t edtttedtte =L0( )( )stF sf t edt 例4 計算積分2cos3 dtett+0解2cos3 9stsL得2222cos3 d913tssetts+0及由;連續(xù)的任一有限區(qū)間上分段在0)1( t,)(,)2(指數(shù)函數(shù)的增長

5、速度不超過某一時當tft 使得及即存在常數(shù),00 CM|( ) |Ctf tMe)0( t 0)()(dtetfsFst若函數(shù)若函數(shù)f(t)滿足下列條件：滿足下列條件：Laplace變換的存在定理變換的存在定理在半平面在半平面Re(s)C上一定存在，并且上一定存在，并且F(s)在在Re(s)C內是解析函數(shù)。內是解析函數(shù)。 則則f(t)的的Laplace變換變換二、二、 Laplace變換的性質變換的性質 , ),()(11sFtf L)()(22sFtf L)()()()(2121sFsFtftf L)()()()(2111211sFsFsFsF LLL- 1. 線性性質線性性質若若為常數(shù)為常

6、數(shù),則則)(21iktiktee L2121iktiktee LL iksiks112122kss )0)(Re( s22sinkskkt L)0)(Re( s例例1.同理可得同理可得cos ktL為實數(shù)。為實數(shù)。變換，變換，的的求求kLapacekttfcos)( 1( )( ),0()()sf tF saf atFaa2.相似性質若 則 LL 3.微分性質微分性質則若),()(sFtf L)0()()(fssFtf L(1) 象原象原函數(shù)的微分性質函數(shù)的微分性質則有若),()(sFtf L)0()0()()0()()(2fsfsFsftfstf LL)0(.)0()0()()()1(21)

7、( nnnnnffsfssFstfL)(Re(Cs 推論推論一般地，有一般地，有有時,當初值特別地,0)0(.)0()1( nff)()(ssFtf L)()(2sFstf L)()()(sFstfnn L( )( )f tF s此 性 質 可 以 將 的 微 分 方 程 轉 換 為 的 代 數(shù) 方 程變換的求例2.Laplacemttf )()為正整數(shù)1( m, !)()(mtfm 由于0)0(.)0()1( mff且)()()(mmmmtstfstfLLL 1!1mmmmtmssLLLsdtest110 L1! mmsmtL)0)(Re( s解：解：由微分性質有：由微分性質有：即即注意到注

8、意到所以所以, 0)()(2 tyty , 0)0( y )0(y0)()0()0()(22 sYysysYs )()(tysYL 22)( ssYtsYty sin)()(1 L例例3. 求解微分方程求解微分方程解：對方程兩端取解：對方程兩端取Laplace變換，并利用線性性質變換，并利用線性性質 及微分性質，有及微分性質，有其中，其中，代入初值，即得代入初值，即得則若),()(sFtf L)()(ttfsFL )(Re(Cs (2) 象函數(shù)的微分性質象函數(shù)的微分性質sinkttL求例4.,sin22kskkt L因為22222)(2sinkskskskdsdktt L2222222)(co

9、skskskssdsdkttL 同理可得：同理可得：解：解：由象函數(shù)的微分性質可知由象函數(shù)的微分性質可知)(Re()()1()()(CstftsFnnn L一般地，有.cos)(22變換的求例5.Laplacetttf 2221cos (1 cos2 )2ttttLL 4121222sssdsd32326)4()3224(2 ssss解：解：則若),()(sFtf L)()(1)(0 sFsdttftL 4.積分性質積分性質象原函數(shù)的積分性質 )(1)(.000sFsdttfdtdtntttn 次次L一般的有象函數(shù)的積分性質：象函數(shù)的積分性質：則若),()(sFtf L sdssFttf)()

10、(L)()(1 sdssFttfL或或 0)(則有存在,若特別地,dtttf)()()(00 dssFdtttf次次nsssndssFdsdsttf )(.)(L一般地，有。，即得令事實上0)()()(0 sdssFdtettfttfsstL tdttt0sinL求例6.,sin ttL先求,11sin2 stL由于2sin1arctanarctan12sstdssstsL解：解：由象函數(shù)積分性質，有由象函數(shù)積分性質，有0sin1sin1arctan2tttdtststsLL0200sin1arctan12tdtdssts再由積分性質，可得再由積分性質，可得00( )( )f tdtF s d

11、st另外由 得：。計計算算積積分分例例 07dtteebtatbsaseeeebtatbtat 11:LLL由于由于解解:利利用用像像函函數(shù)數(shù)積積分分性性質質得得11lnatbtsseesasbdslntsasbsbsaL 0dteteeteestbtatbtatL而而abdtteesbtatln, 00 則則令令則若),()(sFtf L)()(asFtfeat L)(Re(cas 4. 位移性質位移性質a其中 為一復常數(shù)sin,kteteatmat LL求例8.1! mmsmtL22sinkskkt L1)(! mmatasmteL22)(sinkaskkteLat 解：利用位移性質及公式

12、：解：利用位移性質及公式： ( )( ),0,( )0,f tF stf t若當時則對任意非負L有實數(shù) , )()(sFetfs L1( )() ()seF sf tu tL5. 延遲性質延遲性質)(tf)(tft.而得軸向右平移距離的圖象沿的圖象是由 ttftf)()( 0( )0,()()tf tf tf tt時，此時，注意:性質中要求當在時為零,故應理解為 tttututf,1,0)(),()(其中,本性質也可敘述為: 對任意非負實數(shù)有)()()(sFetutfs L.變換的求例9.Laplace tttu,1,0)(stu1)( L sestu 1)(L由延遲性質，有由延遲性質，有解：

13、解： 由于由于 ()2( )( )sin ,f tf tu ttL例10. 設求11sin2 stL () ()sin()222f tu ttLLsin2tesL 122 ses 解：解：由于由于所以所以周期函數(shù)的拉普拉斯變換 是周期為( )f tT的周期函數(shù),即()f tT( )(0)f tt 可以證明:若當 在一個周期上連續(xù)或分段連續(xù)時,則有( )f t ( )f t01( )1 t Tss Tf t edteL6 6 .卷積性質卷積性質 卷積的概念卷積的概念則定義時如果當, 0)()(,210 tftft tdtfftftf02121)()()(*)( 的卷積。與為)()(21tftft

14、tetetfttf*)()(21即求的卷積,和求例11. tttdeet0* ttttdee00 ttet0 tet 1解：根據定義，有解：根據定義，有)(*)()(*)(1221tftftftf (交換律)(1)123123( )*( )*( )( )*( )*( )f tf tf tf tf tf t(2)(結合律) 1231213( )*( )( )( )*( )( )*( )f tf tf tf tf tf tf t(3)(分配律) 卷積具有以下性卷積具有以下性質質,變換存在定理中的條件滿足Laplace設)(),(21tftf112212( )( ),( )( ),( )*( )f

15、tF sf tF sf tf t且則變換一定存在,且LL的Laplace)()()(*)(2121sFsFtftf L)(*)()()(21211tftfsFsF L2. 卷積定理卷積定理或或且中的條件,變換存在定理滿足若Laplace),.,2 , 1()(nktfk )()(sFtfkk L),.,2 , 1(nk 則有則有)()()()(*)(*)(2121sFsFsFtftftfnn L222( ),( )(1)sF sf ts例.若求11) 1()(22222 sssssssF因為解：解：所以所以)()(1sFtf LttssssLcos*cos11221 tdt0)cos(cos

16、tdtt0)2cos(cos21 )sincos(21)2sin(21cos210tttttt 221)134(1ssL求例13.222211(413)(2)3 sss解：解：22223)2(33)2(391 ss根據位移性質，有根據位移性質，有test3sin3)2(32221 L)3sin(*)3sin(91)134(122221tetessLtt dteett)(3sin3sin91)(202 ttdte02)(3sin3sin91 ttdtte023cos)36cos(2191 tttte023cos6)36sin(181 )3cos33(sin5412tttet 拉普拉斯逆變換 10

17、2js tjf tF s e dstj 右端的積分稱為拉氏反演積分.它是一個復變函數(shù)的積分,但計算比較麻煩.利用留數(shù)定理求拉氏逆變換121( )Re( ),( )0,1( )Re ( ),2njnststkkjF sscs sssF sF s e dss F s esj 設除在半平面內有限個孤立奇點外是解析的，且當時，則有1( )Re ( ), (0)nstkkf ts F s est即212122211( )( )(2)(1)21( )( )Re ( ), (0)( )Re ( ),2Re ( ),1()(1)(2)nstkkststststtttssF sf tssssF sf ts F

18、s estf ts F s es F s eeeeetess例 已知，求解 由于 ， 分別為像函數(shù) 的簡單極點與二階極點，由 及留數(shù)計算法則有 11F ss s例例 已已知知( )f t求求 11111F ss sss解解：利利用用部部分分分分式式法法求求解解 1tf te 所所以以三、三、Laplace變換的簡單應用變換的簡單應用 求解線性常微分方程的步驟：求解線性常微分方程的步驟：(1) 對微分方程取對微分方程取Laplace變換轉化為代數(shù)方程變換轉化為代數(shù)方程;(2) 解代數(shù)方程得到象函數(shù)解代數(shù)方程得到象函數(shù);(3) 對象函數(shù)取對象函數(shù)取Laplace逆變換，得象原函數(shù)，即逆變換，得象原

19、函數(shù)，即 微分方程的解。微分方程的解。0)(4)( tyty求例1.4)0(, 2)0(的解滿足 yy),()(sYty L設對方程兩端兩端取Laplace變換，則 解解:0)(4)0()0()(2 sYysysYs利用初始條件，得利用初始條件，得0)(442)(2 sYssYs4442442)(222 ssssssY取取Laplace逆變換，得逆變換，得ttsYty2sin22cos2)()(1 L為所求特解。為所求特解。.求例2.的特解滿足1)0(, 2)0(223 yyeyyyt解：解： ( )( ),y tY s設對方程取變換,得:LLaplace112)(2)0(3)(3)0()0(

20、)(2 ssYyssYysysYs代入初始條件，得：代入初始條件，得：7212)()23(2 sssYss)2)(1)(1(552)(2 ssssssY21371141131 sss取取Laplace逆變換，得逆變換，得ttteeety237431)( 例例3. 求解微分方程組：求解微分方程組：,2)(2)(3)()()()( ttetytxtyetytxtx1)0()0( yx解：解：得并代入初始條件,變換,對方程兩邊取令Laplace),()(),()(tysYtxsXLL 112)(2)(31)(11)()(1)(ssYsXssYssYsXssX求得求得11)()( ssYsX取取Lap

21、lace逆變換，得原方程組的解為：逆變換，得原方程組的解為：tetytx )()( tdftattf0)()sin()(: 求解積分方程例4.)0( a解：解：0( )*sin( )sin()tf ttftd由于所以原方程為所以原方程為ttfattfsin*)()( 令令( )( ( ),F sf t L因因,1)(2st L11sin2 stL所以，對方程兩邊取所以，對方程兩邊取Laplace變換，并由卷積定理得變換，并由卷積定理得),(11)(22sFssasF 4211)(ssasF取取Laplace逆變換，得原方程的解為：逆變換，得原方程的解為：433! 36)(stttatf L其中

22、，其中，例5求求方方程程20 yyy滿滿足足邊邊界界條條件件(0)0,(1)4yy 的的解解. .解解 ( )( )Laplacey tY s 令令 ，對對方方程程兩兩端端取取變變換換，得得L2( )(0)(0)2( )2 (0)( )0s Y ssyysY syY s (0)0y 代代入入 ，解解得得2(0)( ).(1)yY ss 取取逆逆變變換換得得 1( )( )(0)ty tY syte L(1)4y 將將 代代入入上上式式得得14(1)(0)(0)4yyeye 從從而而求求得得方方程程滿滿足足邊邊界界條條件件的的解解為為1( )4ty tte 例6解解10(0)0,40(0)1, (0)0 xyzxyzxyzyz 求求方方程程組組 滿滿足足初初始始條條件件 的的特特解解. . ( )( ), ( )( ), ( )( )x tX sy tY sz tZ s令令 LLLLaplace對對方方程程組組的的每