方程的意義 (2)

1、方程的意義教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析  教學(xué)內(nèi)容：人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第四單元第5354頁(yè)“方程的意義”。 教學(xué)目標(biāo)： 1借助生活情景理解方程的意義用含有未知數(shù)的等式表示兩件事情是等價(jià)的。 2經(jīng)歷從生活情景到方程模型的建構(gòu)過(guò)程，感受方程思想的核心之一，即建模。 3培養(yǎng)學(xué)生觀察、描述、分類(lèi)、抽象、概括、應(yīng)用等能力。 教學(xué)重點(diǎn)：準(zhǔn)確從生活情景中提煉方程模型，然后用含有未知數(shù)的等式來(lái)表達(dá)，理解方程的意義。 教學(xué)難點(diǎn)：理解方程的意義，即用數(shù)學(xué)符號(hào)表示兩件事情是等價(jià)的。 教學(xué)準(zhǔn)備：flash課件，天平，不同質(zhì)量的食物若干。 教學(xué)過(guò)程： 一、游戲引入，激發(fā)興趣 師：今天

2、，我們先來(lái)玩?zhèn)€游戲!這兒有13張撲克牌，分別代表113，你們從中任抽一張，不讓老師看到，老師也能猜到你抽到的這張撲克牌是什么，誰(shuí)愿意試試? 生：任抽一張(不讓老師看見(jiàn)牌面)。 師：請(qǐng)將撲克牌代表的數(shù)先乘2，再加上3，再把所得的和乘5，最后減去25，看看結(jié)果是多少? 生算后報(bào)出結(jié)果，教師利用列方程快速求出結(jié)果，報(bào)出牌面的數(shù)字。待學(xué)生無(wú)限驚訝時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生猜想：“老師怎么能這么快知道同學(xué)們手中的牌呢?” 生：你一定是倒推的，將得數(shù)加上25，除以5，減去3，再除以2。 師：你知道其中的秘密了，真了不起!老師能這么快知道你們抽的是什么牌，是因?yàn)閿?shù)學(xué)王國(guó)的一位新朋友幫了我的忙，今天我們就能認(rèn)識(shí)它。 二、情

3、景呈現(xiàn)，抽象模型 1師：老師這有一臺(tái)簡(jiǎn)易天平。關(guān)于天平你們都了解些什么?生1：天平可以稱(chēng)物體的質(zhì)量；生2：當(dāng)天平兩邊物體的質(zhì)量一樣時(shí)，天平就平衡了。 師：(借助天平邊演示邊問(wèn))在天平的左盤(pán)放上兩袋100克的食物，右盤(pán)放上一個(gè)200克的砝碼，天平怎么樣了? 生：平衡了。 師：會(huì)不會(huì)用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來(lái)表示天平現(xiàn)在的狀況? 生：100+100=200。 師：這么個(gè)簡(jiǎn)單的式子，能表示天平現(xiàn)在的狀況? 生：能。 師：左邊表示的是什么，右邊表示的是什么? 生：左邊表示食物的質(zhì)量，右邊表示砝碼的質(zhì)量。 師：(指著算式說(shuō))正因?yàn)槭澄锏馁|(zhì)量等于砝碼的質(zhì)量，所以天平平衡了。 2師：將左盤(pán)的食物換成兩袋30克的食物，

4、天平還平衡了嗎? 生：不平衡。 師：為什么? 生：因?yàn)閮杀P(pán)物體質(zhì)量不相等。 師：誰(shuí)能用個(gè)式子表示天平現(xiàn)在這種不平衡? 生：30+30<200。 3師：是呀，因?yàn)閮杀P(pán)物體質(zhì)量不相，所以天平就不平衡，那么，怎樣才能使它平衡呢? 生1：可以在左盤(pán)加上一些物體。 生2：也可以換一個(gè)砝碼。 師：你們這樣做的目的都是為了什么? 生：使左右兩盤(pán)物體的質(zhì)量相等。 師：這兒有一袋小豆，它的質(zhì)量不知道，我們可以怎么表示? 生：可以用字母表示、可以用x表示。師將這袋x克的小豆加在輕的一端，讓學(xué)生觀察天平的狀態(tài)并用式子表示。 生：60+x=200。 師：60+x表示的是什么?200表示的是什么? 生：60+x表

5、示的是左盤(pán)物體的質(zhì)量，200表示仍然是砝碼的質(zhì)量。 4師出示一盒牛奶，告訴學(xué)生它的質(zhì)量是275克，讓學(xué)生猜想如果將它放在天平的左盤(pán)里會(huì)怎樣? 提示學(xué)生用式子表示(275>200)，然后請(qǐng)一位同學(xué)將盒內(nèi)的牛奶喝掉一些。 師：這盒學(xué)生奶被喝掉了多少克? 生：不知道x克，a克 師：剩下的牛奶的質(zhì)量可以怎么表示? 生：(275-x)克。 師：如果將剩下的牛奶放回天平左盤(pán)，天平可能會(huì)出現(xiàn)什么情況，又可以用什么式子表示呢? 生思維活躍，猜想出以下三種情況：可能平衡，用275-x=200表示；也可能是275-x>200，也就是說(shuō)剩下的牛奶還是比砝碼重。還可能是剩下的牛奶輕些，可以用275-x&l

6、t;200來(lái)表示。 師：同學(xué)們都理解了這些式子兩邊的含義，并用正確的符號(hào)連接起來(lái)。 三、引導(dǎo)分類(lèi)，構(gòu)建概念 1師：剛才我們用了這么多的式子來(lái)描述天平的平衡情況。你能按天平的平衡情況將這些式子分分類(lèi)嗎? (生討論，師巡視) 組1：我們是按是否含有未知數(shù)來(lái)分的，將60+x =200，275-x=200，275-x=200,275-x<200分為一組，其余的分為一組。 組2：我們組將平衡的分為一類(lèi)，大于200的分為一類(lèi)，小于200的分為一類(lèi)。 組3：我們和組2分的差不多，只是將平衡的分為一類(lèi)，將不平衡的分為一類(lèi)。 師拖放課件上的式子，按學(xué)生的匯報(bào)將不平衡的歸到一起。 師：(指著含有等于號(hào)的式子

7、)像這樣的含有等于號(hào)的式子，數(shù)學(xué)上稱(chēng)之為等式。(板書(shū)：等式)其它的式子我們都稱(chēng)之為不等式。 師：觀察這些等式，它們有什么不同的地方? 生：后兩個(gè)含有字母。 師：這些字母表示未知數(shù)。(板書(shū)：含有未知數(shù))像這樣的含有未知數(shù)的等式，我們稱(chēng)之為方程。今天這節(jié)課我們就是研究方程的意義。 師：能說(shuō)說(shuō)什么叫方程?(生齊讀概念) 師：聯(lián)系剛才的操作，說(shuō)說(shuō)你對(duì)方程的理解。 生1：方程就是表示平衡。 生2：方程表示兩邊相等。 生3：方程還要含有未知數(shù)。 生4：方程是等式。 師：那么，方程和等式之間有什么關(guān)系呢? 生1：等式包含了方程。 生2：方程一定是等式。 師：如果畫(huà)這樣一示等式，那方程應(yīng)該畫(huà)在哪里? 生：應(yīng)該

8、畫(huà)在里面。 四、形式判斷，加深認(rèn)識(shí) 1師：大家對(duì)方程有了一定的理解，在剛才的情景中，我們列出了兩個(gè)方程。(指著黑板上已有的兩個(gè)方程)，下面，大家根據(jù)自己對(duì)方程的理解任意寫(xiě)幾個(gè)方程吧! (生在練習(xí)紙上寫(xiě)，叫部分學(xué)生在黑板上寫(xiě)。) 2師：同桌間互相檢查一下，看大家列的都是方程嗎?再看黑板上這幾位同學(xué)寫(xiě)的。都是方程嗎? 學(xué)生寫(xiě)的方程沒(méi)有錯(cuò)誤的，還出現(xiàn)了用不同字母表示未知數(shù)的方程，師引導(dǎo)學(xué)生一一進(jìn)行判斷。 師：大頭兒子也寫(xiě)了兩個(gè)式子，可是不小心被墨水給弄臟了，猜猜他原來(lái)列的是不是方程? 生：第一個(gè)一定是方程，第二個(gè)則不一 定。 師：同意嗎?為什么? 生；從第一個(gè)沒(méi)有被墨水弄臟的地方就可以看出它是等式并

9、且含有未知數(shù)了，所以它一定是方程；而第二個(gè)則要看墨跡處的情況而定，如果墨跡處是未知數(shù)，則是方程，如果是6則只是一個(gè)等式。 師：(鼓掌)說(shuō)得太好了!大家都明白了嗎? 生：明白了。 3師：看來(lái)，大家對(duì)方程已經(jīng)有了非常深刻的認(rèn)識(shí)。方程的歷史已經(jīng)非常悠久了，我們一起去了解一下吧!(課件出示方程“史話(huà)”) 方程歷史的第一頁(yè)是由古代埃及人和巴比倫人揭開(kāi)的。據(jù)現(xiàn)存世界上最早的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)埃及的林特草卷記載，早在三千六百多年前，埃及人就會(huì)用方程解決數(shù)學(xué)問(wèn)題了。 中國(guó)人對(duì)方程的研究也有著悠久的歷史。大約兩千年前成書(shū)的九章算術(shù)中，就有專(zhuān)門(mén)以“方程”命名的一章，記載了用一組方程解決實(shí)際問(wèn)題的方法。這不但是我國(guó)古代數(shù)學(xué)中

10、的偉大成就，而且是世界數(shù)學(xué)史上一份非常寶貴的遺產(chǎn)。 在很長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)，方程沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的表達(dá)形式，而是使用一般的語(yǔ)言文字來(lái)敘述它們。一直到三百年前，法國(guó)的數(shù)學(xué)家笛卡爾第一個(gè)提倡用x、y、z等字母代表未知數(shù)，才形成了現(xiàn)在的方程。 師：隨著數(shù)學(xué)的研究范圍不斷擴(kuò)充，方程的作用也越來(lái)越重要。方程的類(lèi)型也由簡(jiǎn)單到復(fù)雜不斷地發(fā)展。但是，無(wú)論類(lèi)型如何變化，各種各樣的方程都是含有未知數(shù)的等式。很多以前用算術(shù)方法解起來(lái)很難的問(wèn)題，用方程解起來(lái)就輕而易舉呢。 五、聯(lián)系實(shí)際，鞏固應(yīng)用 1師：下面咱們來(lái)玩?zhèn)€小游戲!這是用電腦模擬的天平，請(qǐng)把天平下方的材料拖放到天平上，要求大家看到天平的狀況就能列出一個(gè)方程來(lái)。 由于電腦操作的

11、原因，學(xué)生嘗試多次，天平未出現(xiàn)平衡。 師：你覺(jué)得要讓大家能列出方程來(lái)，關(guān)鍵要解決什么問(wèn)題。 生：讓天平平衡。 師：別著急，再試試。 生操作后出現(xiàn)情況：左盤(pán)兩個(gè)x克，一個(gè)20克，右盤(pán)一個(gè)50克。情況：左盤(pán)兩個(gè)x克，一個(gè)y克，一個(gè)50克，右盤(pán)z克。 師：能列出方程嗎? 師：你們列出的方程是?(2x+20=50，x+y+50=z) 當(dāng)學(xué)生列出方程后，師啟發(fā)學(xué)生講清等式的左邊和右邊分別表示什么? 生：分別表示兩邊物體的質(zhì)量。 師：大家看，這個(gè)方程兩邊都含有未知數(shù)，這么復(fù)雜的方程都能列出來(lái)，大家真了不起。 2師：其實(shí)，不單是天平的平衡問(wèn)題，我們研究許多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的未知數(shù)不是孤立的，它們與

12、一些已知數(shù)之間有相等的關(guān)系，可以列出方程。 師：你能根據(jù)下面這兩幅圖中的數(shù)量關(guān)系快速列出方程嗎? 生匯報(bào)：3x=36。 師：你是怎么想的? 生3x表示的是三盒彩筆的總枝數(shù)，36也是表示的三盒彩筆的總枝數(shù)，所以我那樣列。 師：有道理!第二幅圖呢? 生l：60+x=200。 師：說(shuō)說(shuō)你的想法1 60+x表示的是什么，200表示的是什么? 生：60+x表示的是這條線(xiàn)段的長(zhǎng)度，200也是表示這條線(xiàn)段的長(zhǎng)度。師：這個(gè)方程剛才出現(xiàn)過(guò)，(指黑板上已經(jīng)列出的方程)同樣一個(gè)方程在這里表示的是長(zhǎng)度相等，剛才表示的是什么?生：質(zhì)量相等。 師：你們能不能再舉個(gè)例子，讓大家也能列出一個(gè)這樣的方程來(lái)呢? 生：李師傅一天加

13、工60個(gè)零件，王師傅一天加工x個(gè)零件，他們一天共加工200個(gè)零件。 師：60+x=200能表示這位同學(xué)所說(shuō)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系嗎? 生：能! 師：這個(gè)方程又是表示什么相等? 生：李師傅一天加T的零件個(gè)數(shù)加上王師傅一天加工的零件個(gè)數(shù)等于他們一天加工的零件總個(gè)數(shù)。 師：看來(lái)，只要是涉及未知數(shù)的等量關(guān)系，都可以用方程表示。 評(píng)析：方程的意義不在于方程概念本身，而在于方程的思想用已知量的觀點(diǎn)處理未知量，尋找等量關(guān)系，構(gòu)造一種模型。教師力求讓學(xué)生在同一種數(shù)學(xué)情境中尋找不同的等量關(guān)系，用相同的方程解釋不同的數(shù)學(xué)情境，理解方程在右兩邊所表示的量的具體含義以及它們的相互關(guān)系，使學(xué)生在一種思辨的狀態(tài)中體驗(yàn)到方程是表

14、達(dá)等量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。 3師：大頭兒子和小頭爸爸在說(shuō)些什么，我們一起去聽(tīng)聽(tīng)! (播放課件) 師：你能從小頭爸爸和大頭兒子談話(huà)中，選取一些信息列出方程嗎? (師收集幾張練習(xí)紙，投影展示。) 師：我們來(lái)看這位同學(xué)的，列出了37-a=28這樣一個(gè)方程，請(qǐng)這位同學(xué)說(shuō)說(shuō)你選擇了哪幾條信息，為什么這樣列? 生：我根據(jù)爸爸今年37歲，兒子今年a歲，他們倆相差28歲列出的這個(gè)方程。爸爸的年齡減去兒子的年齡，就等于他們倆相差的年齡。 生：我想，a+28表示大頭兒子的年齡加上28歲，也就是小頭爸爸的年齡，而爸爸的年齡是37歲。 師：這里還有一位同學(xué)列的是a+28=37，37-28=a怎么想的? 生2：我是把爸爸的年齡減去他們相差的年齡，就是兒子的年齡了。 師：有道理!大家看看，這三個(gè)方程都是根據(jù)這一組信息列出的，像3728=a這樣的方程，和我們以前學(xué)的算術(shù)方法的思路是一樣的，未知數(shù)沒(méi)有參與運(yùn)算，今后我們用方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般不列這樣的方程。 師：再看這位同學(xué)列出9-x=3這樣一個(gè)方程。能說(shuō)說(shuō)你的想嗎? 生1：9-x表示大頭兒子給了爸爸x張撲克后自己有多少?gòu)垼?就是爸爸的張數(shù)。 生2：我不同意，兒子給了爸爸x張后，爸爸應(yīng)該增加了x張，不止3