二次函數(shù)背景下的相似三角形(共13頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1、 二次函數(shù)背景下的相似三角形知識(shí)梳理二次函數(shù)為背景即在平面直角坐標(biāo)系中，通常是用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，在求點(diǎn)的坐標(biāo)過(guò)程中需要用到相似三角形的一些性質(zhì)，如何利用條件找到合適相似三角形是需要重點(diǎn)突破的難點(diǎn)。其實(shí)破解難點(diǎn)以后不難發(fā)現(xiàn)，若是直角三角形相似無(wú)非是如圖1-1的幾種基本型。若是非直角三角形有如圖1-2的幾種基本型。 利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建議方程求解都是常用的方法?！纠}點(diǎn)撥】【例1】如圖1-3，二次函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)A、B，與軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與軸相交于點(diǎn)D，與 直線BC垂直于點(diǎn)E，已知AB=3，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式?！舅悸方馕?/p>

2、】二次函數(shù)解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此只需要求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可。已知線段AB=3，只要求出OA的長(zhǎng)度便可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)?！军c(diǎn)評(píng)】和有一個(gè)BCD為公共角，在這個(gè)基本圖形下有6對(duì)直角三角形相似，找到OA，OB所在直角三角形BOC和DOA相似是解此題的關(guān)鍵?！纠?】如圖1-4，直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C，且在軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.（1） 求二次函數(shù)解析式；（2） 在軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)D，使得以A、B、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！舅悸贩治觥扛鶕?jù)已知條件線段AB的長(zhǎng)為6和拋物線的對(duì)稱軸，已知ABC

3、是底角為30°的等腰三角形，若ABD和ABC相似，則AD=AB=6，ACB=DAB=120°。解或者，便可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)?！军c(diǎn)評(píng)】拋物線的對(duì)稱軸是重要的性質(zhì)也是本題的第一個(gè)難點(diǎn)，破解后便能發(fā)現(xiàn)ABC是特殊等腰三角形，繼而聯(lián)系到DAB也是特殊等腰三角形，運(yùn)用邊角之間的特殊關(guān)系便可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)。本題第（2）題還可用代數(shù)法。設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)，則BD便能表示成含有的代數(shù)式，因?yàn)锳BD與ABC相似，所以，將已知線段代入后解關(guān)于的方程便能求出D的坐標(biāo)。【例3】如圖1-5，已知AC=BC，ACB=90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），拋物線A、B、C三點(diǎn)。（1） 求拋物線的解析式；（2）

4、 過(guò)點(diǎn)A作APCB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積；（3） 在軸上方軸左側(cè)的拋物線是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M作MG軸于點(diǎn)G，使以A，M，G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似。若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！舅悸贩治觥康冢?）題可知PCA是直角邊的長(zhǎng)度是1:3的直角三角形，若AMG和PCA相似，則AMG也是直角邊的長(zhǎng)度是1:3的直角三角形，設(shè)M。因?yàn)镸在軸上方軸左側(cè)的拋物線上，則線段AG和MG可分別表示為和，關(guān)于的方程便可輕松建立，然后求出M的坐標(biāo)?！军c(diǎn)評(píng)】若沒(méi)有“點(diǎn)M在軸上方軸左側(cè)的拋物線上”這一限制條件，則線段AG和MG可分別表示為和解方程時(shí)去絕對(duì)值出現(xiàn)四個(gè)一元二次方程，情況將

5、更加復(fù)雜，解將更多?！纠?】如圖1-6，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)-的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4,0），C（0,2）。（1） 試求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并判斷點(diǎn)B（-2,0）是否在該函數(shù)的圖像上；（2） 設(shè)所求函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，若以點(diǎn)C、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)?！舅悸贩治觥緼BC的三個(gè)頂點(diǎn)都是定點(diǎn)，而CDE的兩個(gè)頂點(diǎn)固定，第三點(diǎn)在定直線上，先排除點(diǎn)E在軸下方的可能性，當(dāng)點(diǎn)E在軸上方時(shí)，可證CDE=CAO，相似三角形分類討論只需考慮兩種情況?！军c(diǎn)評(píng)】很多學(xué)生看到兩個(gè)三角形相似就會(huì)分三種情況討論，找到很多本身并不存在的相似三角形，得到很多增根。其實(shí)首先

6、應(yīng)該分析三角形的形狀特征：哪些角是定角，哪些邊長(zhǎng)可求，有沒(méi)有相等的角。這樣分類討論更加簡(jiǎn)明。【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、 在直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A（3,3），點(diǎn)D（-4，-2），AB、CD都是與軸垂直，B、C是垂足。如果在線段BC上有一點(diǎn)P，使得PAB和PCD相似，求點(diǎn)P坐標(biāo)。2、 已知：如圖1-8，拋物線與軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，將AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋90°到A'OB'，且拋物線過(guò)點(diǎn)A'，B'。（1） 求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2） 求拋物線的解析式；（3） 點(diǎn)D在軸上，若以B、B'、D為頂點(diǎn)的三角形與A'B'B相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。3、 如圖

7、1-9，直線OA與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A（3，3），向下平移直線OA，與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)B，與軸交于點(diǎn)C。（1） 求直線BC的解析式；（2） 求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式；（3） 設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為E。問(wèn)：在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使以O(shè)、E、P為頂點(diǎn)的三角形與BCD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。4、 如圖1-10，直線與軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，頂點(diǎn)M在直線上。（1） 求的值；（2） 求拋物線的解析式；（3） 如果拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)N，那么對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得OPN和AMN相

8、似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。5、 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），過(guò)點(diǎn)A作AB軸，垂足為點(diǎn)B，AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到MON（如圖111所示），若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、M、O三點(diǎn)。（1） 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2） 如果把這個(gè)二次函數(shù)圖像向右平移2個(gè)單位，得到新的二次函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)為C，求tanACO 的值；（3） 在（2）的條件下，設(shè)新的二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)為D，點(diǎn)E在這條對(duì)稱軸上，如果BCO與以點(diǎn)B、D、E所組成的三角形相似（相似比不為1），求點(diǎn)E的坐標(biāo)。6、 在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線沿軸向上平移1個(gè)單位，再沿軸向右平移2個(gè)單位，平移后 拋物

9、線的頂點(diǎn)坐標(biāo)記作A，直線與平移后的拋物線相交于B，與直線OA相交于C。（1） 求ABC的面積；（2） 點(diǎn)P在平移后拋物線的對(duì)稱軸上，如果ABP與ABC相似，求所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)。7、 已知：如圖1-12，拋物線的頂點(diǎn)為D，與軸相交于點(diǎn)A，直線與軸也相交于點(diǎn)A，矩形ABCO的頂點(diǎn)B在此拋物線上，矩形面積為12。（1） 求該拋物線的對(duì)稱軸；（2） 若點(diǎn)的DO與AB交于點(diǎn)E，以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似，如果有可能，請(qǐng)求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式；如果不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由。8、 如圖1-13，已知二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)A（-1,3）和B（2,0），直線AB交軸

10、于點(diǎn)C，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為D。（1） 求二次函數(shù)的解析式；（2） 若點(diǎn)P在直線AB上（不與點(diǎn)C重合），且AOCAPO，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)。9、 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3），B（0，1）。（1） 求拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2） 過(guò)點(diǎn)A作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)C，求ABC的面積；在軸上取一點(diǎn)P，使ABP和ABC相似，求滿足條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo)。10、 在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0)，B(2，3)，C(0，3）。（1） 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（2） 連接AB、AC、BC，求ABC的面積；（3） 求BAC的正切值。11、 如圖1-14，

11、已知點(diǎn)A（-2，4）和點(diǎn)B（1，0）都在拋物線上。（1） 求的值；（2） 向右平移此拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 為B，若四邊形AA'B'B為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式；（3） 記平移后拋物線的對(duì)稱軸與直線AB'的交點(diǎn)為點(diǎn)C，試在軸上找點(diǎn)D，使得以點(diǎn)B'、C、D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似。12、 如圖1-15，在直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的公共點(diǎn)為A，點(diǎn)B、C在此拋物線上，AB軸，AOB=CO，OC=。（1） 求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2） 求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。13、 已知直線在軸的截距為3，且過(guò)點(diǎn)A（2,1）。（1） 求這條直線的函數(shù)

12、解析式；（2） 點(diǎn)P是此直線上的一點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），分別過(guò)點(diǎn)A、P作軸的垂線，垂直分別為，如果和相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。14、 如圖1-16，在直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作CAAB，CA=，并且作CD軸。（1） 求證：ADCBOA；（2） 若拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)。 求拋物線的解析式； 該拋物線的頂點(diǎn)為P，M是坐標(biāo)軸上的一個(gè)點(diǎn)，若直線PM與軸的夾角為30°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)。15、 如圖117，已知一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)，AE是BAO的平分線，過(guò)點(diǎn)B作BEAE，垂足為E，過(guò)E作軸的垂線，垂足為M。（1） 求證：M為OB的中點(diǎn)；（2） 求以E為頂點(diǎn)，且

13、經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線解析式。16、 如圖1-18，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)A（3,0），與軸的正半軸交于點(diǎn)B，tanOAB=。（1） 求這直線的解析式；（2） 將OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，點(diǎn)B落在點(diǎn)C的位置，求以點(diǎn)C為頂點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線的解析式；（3） 設(shè)（2）中的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，與軸的交點(diǎn)為E。試判斷ODE是否與OAB相似？如果認(rèn)為相似，請(qǐng)加以證明；如果不認(rèn)為相似，也請(qǐng)說(shuō)明理由。17、 如圖1-19，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A（-2,0），B（4,0），C(0,3)三點(diǎn)，連接BC、AC，該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與軸相交于點(diǎn)D。（1） 求這個(gè)二次函數(shù)

14、的解析式、點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線BC的函數(shù)解析式；（2） 在線段BC上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、D、B為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。18、 如圖1-20，RtABO在直角坐標(biāo)系中，ABO=90°，點(diǎn)A（-25，0），A的正切值為，直線AB與軸交于點(diǎn)C。（1） 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2） 將ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在軸正半軸上的B'處。試在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的A'B'O，并寫(xiě)出點(diǎn)A'的坐標(biāo)；（3） 在直線OA'上是否存在點(diǎn)D，使COD與AOB相似，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。19、 如

15、圖1-21，在直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角形ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且在點(diǎn)A（0,2），點(diǎn)C（-1,0），拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1） 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2） 求拋物線的解析式；（3） 在拋物線上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使APC仍然以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。20、 已知：如圖1-22，開(kāi)口向下的拋物線與軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），拋物線上另有一點(diǎn)C在第一象限，且使OCAOBC。（1） 求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2） 求線段OC的長(zhǎng)及的值；（3） 設(shè)直線BC與軸交于點(diǎn)P，當(dāng)C是BP的中點(diǎn)時(shí)，求直線BP的解析式和拋物線的解析

16、式。21、 如圖1-23，正比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A。（1） 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2） 求這個(gè)二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)P的坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（3） 若二次函數(shù)的對(duì)稱軸與正比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)B，與軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)Q是軸的正半軸上的一點(diǎn)，如果OBC與OAQ相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。22、 如圖1-24，梯形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在軸、軸的正半軸上，ABOA，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)。（1） 求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2） 當(dāng)ACOB時(shí)，求二次函數(shù)的解析式。23、 如圖1-25，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，3)，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B（6，0）。（1） 求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2） 如果一次函數(shù)圖像與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段AC上，與軸平行的直線DE與二次函數(shù)圖像相交于點(diǎn)E，CDO=OED，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。2