第三章泊松過(guò)程

1、第三章第三章 泊松過(guò)程泊松過(guò)程v泊松過(guò)程泊松過(guò)程定義定義v泊松過(guò)程的泊松過(guò)程的數(shù)字特征數(shù)字特征v時(shí)間間隔時(shí)間間隔分布、分布、等待時(shí)間等待時(shí)間分布及分布及到達(dá)時(shí)間到達(dá)時(shí)間的的條件分布條件分布v復(fù)合復(fù)合泊松過(guò)程泊松過(guò)程v非齊次非齊次泊松過(guò)程泊松過(guò)程例如：例如： 電話交換機(jī)在一段時(shí)間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)；電話交換機(jī)在一段時(shí)間內(nèi)接到的呼叫次數(shù)； 火車(chē)站某段時(shí)間內(nèi)購(gòu)買(mǎi)車(chē)票的旅客數(shù)；火車(chē)站某段時(shí)間內(nèi)購(gòu)買(mǎi)車(chē)票的旅客數(shù)； 機(jī)器在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)；機(jī)器在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)； 獨(dú)立增量過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程 平穩(wěn)增量過(guò)程平穩(wěn)增量過(guò)程泊松過(guò)程是一類(lèi)時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的隨機(jī)過(guò)程泊松過(guò)程是一類(lèi)時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的隨機(jī)過(guò)

2、程定義：定義： 稱隨機(jī)過(guò)程稱隨機(jī)過(guò)程N(yùn)(t),t0為計(jì)數(shù)過(guò)程，為計(jì)數(shù)過(guò)程，若若N(t)表示到時(shí)刻表示到時(shí)刻t為止已發(fā)生的為止已發(fā)生的“事件事件A”的總數(shù)的總數(shù)，且且N(t)滿足下列條件：滿足下列條件：1. N(t) 0;2. N(t)取正整數(shù)值以及取正整數(shù)值以及0；3. 若若st，則，則N(s) N(t)；4. 當(dāng)當(dāng)s0），事件），事件A發(fā)生的發(fā)生的次數(shù)次數(shù)N(t+s)-N(t)僅與時(shí)間差僅與時(shí)間差s有關(guān)，而與有關(guān)，而與t無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。定義定義3.2： 稱計(jì)數(shù)過(guò)程稱計(jì)數(shù)過(guò)程X(t),t0為具有參數(shù)為具有參數(shù)00的泊松的泊松過(guò)程過(guò)程，若它滿足下列條件：，若它滿足下列條件：1.1. X(0)=0X(

3、0)=0；2.2. X(t)X(t)是是( (平穩(wěn)平穩(wěn)) )獨(dú)立增量過(guò)程；獨(dú)立增量過(guò)程；3.3. 在任一長(zhǎng)度為在任一長(zhǎng)度為t t的區(qū)間中，事件的區(qū)間中，事件A A發(fā)生的次發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)數(shù)服從參數(shù)0的泊松分布，即對(duì)任意的泊松分布，即對(duì)任意s,t0，有有, 1 ,0,!)()()(nntensXstXPnt泊松過(guò)程同時(shí)也是平穩(wěn)增量過(guò)程泊松過(guò)程同時(shí)也是平穩(wěn)增量過(guò)程ttXE)(表示表示單位時(shí)間內(nèi)事件單位時(shí)間內(nèi)事件A發(fā)生的平均個(gè)數(shù)發(fā)生的平均個(gè)數(shù)，故稱，故稱為泊松過(guò)程的為泊松過(guò)程的速率速率或或強(qiáng)度強(qiáng)度定義定義3.3：稱計(jì)數(shù)過(guò)程稱計(jì)數(shù)過(guò)程X(t),t0為具有為具有參數(shù)參數(shù)0的泊松過(guò)的泊松過(guò)程程，若它滿足

4、下列條件：，若它滿足下列條件：1. X(0)=0；2. X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程；是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過(guò)程；3.X(t)滿足下列兩式：滿足下列兩式：)(2)()()(1)()(hotXhtXPhohtXhtXP 在充分小的時(shí)間內(nèi)，最多有一個(gè)事件發(fā)生，而不能有在充分小的時(shí)間內(nèi)，最多有一個(gè)事件發(fā)生，而不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上事件同時(shí)發(fā)生。兩個(gè)或兩個(gè)以上事件同時(shí)發(fā)生。(2)證明定義證明定義3.2和定義和定義3.3是等價(jià)的。是等價(jià)的。泊松過(guò)程的數(shù)字特征泊松過(guò)程的數(shù)字特征設(shè)設(shè)X(t),t0是泊松過(guò)程，對(duì)任意的是泊松過(guò)程，對(duì)任意的t,s0, )，且，且st，有，有stsXtXDsXtXE)()()()(由于由

5、于X(0)=0，所以，所以ttXDtttXEtmXX)()()()(2) 1()()(),(tstXsXEtsRX一般情況下，泊松過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)可表示為一般情況下，泊松過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)可表示為),min(),(tstsBX時(shí)間間隔時(shí)間間隔Tn的分布的分布設(shè)設(shè)X(t),t0是泊松過(guò)程，令是泊松過(guò)程，令X(t)表示表示t時(shí)刻事件時(shí)刻事件A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，Tn表示從第（表示從第（n-1）次事件）次事件A發(fā)生到發(fā)生到第第n次事件次事件A發(fā)生的發(fā)生的時(shí)間間隔時(shí)間間隔。定理定理3.2：設(shè)設(shè)X(t),t0為具有參數(shù)為具有參數(shù)的泊松過(guò)程，的泊松過(guò)程，Tn,n1是是對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔序列時(shí)間間隔序列

6、，則隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量Tn是是獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布的均值為的均值為1/的的指數(shù)分布指數(shù)分布。證明證明即即:對(duì)于任意對(duì)于任意n=1,2, 事件事件A相繼到達(dá)的時(shí)間相繼到達(dá)的時(shí)間間隔間隔Tn的分布為的分布為0, 00,1)(ttetTPtFtnTn其概率密度為其概率密度為0,00,)(ttetftTn所以所以,T1服從均值為服從均值為1/的的指數(shù)分布指數(shù)分布。證明：證明： 所以所以,T2也服從均值為也服從均值為1/的的指數(shù)分布指數(shù)分布。同理可以證明同理可以證明：對(duì)于任意的：對(duì)于任意的n=1,2,事件相繼到事件相繼到達(dá)的時(shí)間間隔達(dá)的時(shí)間間隔Tn也服從均值為也服從均值為1/的指數(shù)分布的指數(shù)分布等待時(shí)

7、間等待時(shí)間Wn的分布的分布等待時(shí)間等待時(shí)間Wn是指第是指第n次事件次事件A出現(xiàn)的時(shí)刻出現(xiàn)的時(shí)刻(或第或第n次事件次事件A的等待時(shí)間的等待時(shí)間)niinTW1因此因此Wn是是n個(gè)相互獨(dú)立的指數(shù)分布隨機(jī)變量之和。個(gè)相互獨(dú)立的指數(shù)分布隨機(jī)變量之和。定理定理3.3：設(shè)設(shè)Wn,n1是與泊松過(guò)程是與泊松過(guò)程X(t),t0對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序列，則一個(gè)等待時(shí)間序列，則Wn服從參數(shù)為服從參數(shù)為n與與的的分布分布（也稱（也稱愛(ài)爾蘭分布愛(ài)爾蘭分布），其概率，其概率密度為密度為1(),0( )(1)!0,0nntWtetftnt證明證明證明：證明：到達(dá)時(shí)間的條件分布到達(dá)時(shí)間的條件分布假設(shè)在假設(shè)在0,t內(nèi)時(shí)間內(nèi)

8、時(shí)間A已經(jīng)發(fā)生一次，我們要確已經(jīng)發(fā)生一次，我們要確定這一時(shí)間到達(dá)時(shí)間定這一時(shí)間到達(dá)時(shí)間W1的分布。的分布。?1)(|1tXsWP到達(dá)時(shí)間的條件分布到達(dá)時(shí)間的條件分布解：解：到達(dá)時(shí)間的條件分布到達(dá)時(shí)間的條件分布tststsssFtXW, 10,0, 0)(1)(|1其它,00,1)(1)(|1tstsftXW分布函數(shù)分布函數(shù)概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)設(shè)設(shè)X(t),t0是泊松過(guò)程，已知在是泊松過(guò)程，已知在0,t內(nèi)事件內(nèi)事件A發(fā)生發(fā)生n次，求這次，求這n次到達(dá)事件次到達(dá)事件W1W2, Wn的的聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)。解：解：例題例題3.4設(shè)在設(shè)在0,t內(nèi)事件內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生n次，且次

9、，且0st，對(duì)，對(duì)于于0kn，求，求PX(s)=k|X(t)=n解：解：例題例題3.5設(shè)在設(shè)在0,t內(nèi)事件內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生n次，求次，求第第k(kn)次事件次事件A發(fā)生的時(shí)間發(fā)生的時(shí)間Wk的條件概率的條件概率密度函數(shù)。密度函數(shù)。解解:例題例題3.6設(shè)設(shè)X1 (t),t 0和和X2 (t),t 0是兩個(gè)相互獨(dú)立的是兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過(guò)程，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)平均出現(xiàn)的事件泊松過(guò)程，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)平均出現(xiàn)的事件數(shù)分別為數(shù)分別為1 1和和2，記，記 為過(guò)程為過(guò)程X1(t)的的第第k次事次事件到達(dá)時(shí)間件到達(dá)時(shí)間， 為過(guò)程為過(guò)程X2(t)的的第第1次事件到達(dá)次事件到達(dá)時(shí)間時(shí)間，求，求) 1 (kW

10、) 2(1W)2(1) 1 (WWPk解：解：W1(2)y yy yW1(2)合合y y非齊次泊松過(guò)程非齊次泊松過(guò)程允許速率或強(qiáng)度是允許速率或強(qiáng)度是t的函數(shù)的函數(shù)定義定義3.4：稱計(jì)數(shù)過(guò)程稱計(jì)數(shù)過(guò)程X(t),t0為具有為具有跳躍強(qiáng)度函數(shù)跳躍強(qiáng)度函數(shù)(t)(t)的非齊次泊松過(guò)程，若它滿足下列條件：的非齊次泊松過(guò)程，若它滿足下列條件：1.1. X(0)=0X(0)=0；2.2. X(t)X(t)是獨(dú)立增量過(guò)程；是獨(dú)立增量過(guò)程；3.3. )(2)()()()(1)()(hotXhtXPhohttXhtXP非齊次泊松過(guò)程的非齊次泊松過(guò)程的均值函數(shù)均值函數(shù)為為tXdsstm0)()(定理定理3.5：設(shè)設(shè)

11、X(t),t0為具有為具有均值函數(shù)均值函數(shù) 非齊次泊松過(guò)程，則有非齊次泊松過(guò)程，則有tXdsstm0)()(0),()(exp!)()()()(ntmstmntmstmntXstXPXXnXX或或),(exp!)()(tmntmntXPXnX例題例題3.8設(shè)設(shè)X(t),t0是具有跳躍強(qiáng)度是具有跳躍強(qiáng)度 的非齊次泊松過(guò)程（的非齊次泊松過(guò)程（0），求），求EX(t)和和DX(t)。)cos1(21)(tt解解:EX(t)= DX(t)001()(1co s()2tts d sw sd s11(sin ()2tw tw例題例題3.9設(shè)某路公共汽車(chē)從早上設(shè)某路公共汽車(chē)從早上5時(shí)到晚上時(shí)到晚上9時(shí)有車(chē)時(shí)

12、有車(chē)發(fā)出，乘客流量如下：發(fā)出，乘客流量如下：5時(shí)按平均乘客為時(shí)按平均乘客為200人人/時(shí)時(shí)計(jì)算；計(jì)算；5時(shí)至?xí)r至8時(shí)乘客平均到達(dá)率時(shí)乘客平均到達(dá)率按按線性線性增加，增加，8時(shí)到達(dá)率為時(shí)到達(dá)率為1400人人/時(shí)時(shí)；8時(shí)至?xí)r至18時(shí)保持時(shí)保持平均到達(dá)率平均到達(dá)率不變；不變；18時(shí)到時(shí)到21時(shí)從時(shí)從到達(dá)率到達(dá)率1400人人/時(shí)按時(shí)按線性下降線性下降，到，到21時(shí)為時(shí)為200人人/時(shí)時(shí)。假定乘客數(shù)在不相重疊時(shí)間間隔。假定乘客數(shù)在不相重疊時(shí)間間隔內(nèi)是相互獨(dú)立的。內(nèi)是相互獨(dú)立的。求求12時(shí)至?xí)r至14時(shí)有時(shí)有2000人人來(lái)站乘車(chē)的概率，并求這兩個(gè)小時(shí)內(nèi)來(lái)站乘來(lái)站乘車(chē)的概率，并求這兩個(gè)小時(shí)內(nèi)來(lái)站乘車(chē)人數(shù)的數(shù)學(xué)

13、期望車(chē)人數(shù)的數(shù)學(xué)期望?解：解：971400ds復(fù)合泊松過(guò)程復(fù)合泊松過(guò)程定義定義3.5：設(shè)設(shè)N(t),t0是強(qiáng)度為是強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，的泊松過(guò)程，YYk k,k,k=1,2,=1,2, 是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與且與N(t),t0獨(dú)立，令獨(dú)立，令0,)()(1tYtXtNkk則稱則稱X(t),t0為為復(fù)合泊松過(guò)程復(fù)合泊松過(guò)程。N(t)YkX(t)在時(shí)間段在時(shí)間段(0,t內(nèi)來(lái)到商店的顧客數(shù)內(nèi)來(lái)到商店的顧客數(shù)第第k個(gè)顧客在商店所花的錢(qián)數(shù)個(gè)顧客在商店所花的錢(qián)數(shù)該商店在該商店在(0,t時(shí)間段內(nèi)的營(yíng)業(yè)額時(shí)間段內(nèi)的營(yíng)業(yè)額 例如：例如： 到達(dá)體育場(chǎng)的公共汽車(chē)數(shù)是一泊松過(guò)程到達(dá)體育

14、場(chǎng)的公共汽車(chē)數(shù)是一泊松過(guò)程,而每輛公共而每輛公共汽車(chē)內(nèi)所載的乘客數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。若各輛車(chē)內(nèi)汽車(chē)內(nèi)所載的乘客數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。若各輛車(chē)內(nèi)的乘客數(shù)的乘客數(shù)Yn服從相同分布服從相同分布,且又彼此統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且又彼此統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,各輛車(chē)各輛車(chē)的乘客數(shù)和車(chē)輛數(shù)的乘客數(shù)和車(chē)輛數(shù)N(t)又是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的又是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的,則到達(dá)體育則到達(dá)體育館的總?cè)藬?shù)館的總?cè)藬?shù)X(t)是一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程是一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程. ( )1( ),0N tnnX tYt設(shè)設(shè) 是復(fù)合泊松過(guò)程，則是復(fù)合泊松過(guò)程，則1.1.若若E(YE(Y1 12 2)，則，則0,)()(1tYtXtNkk)(,)(211YtEtXDYtEtXE 例題：例題： 設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一個(gè)泊松過(guò)程，平均設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一個(gè)泊松過(guò)程，平均每周內(nèi)有每周內(nèi)有2戶定居，但每戶的人口數(shù)是隨機(jī)變量，一戶定居，但每戶的人口數(shù)是隨機(jī)變量，一戶戶4人概率為人概率為1/6，一戶，一戶3人概率為人概率為1/3，一戶，一戶2人概率人概率為為1/3，一戶，一戶1人概率為人概率為1/6，求，求5周內(nèi)移民到該地區(qū)周內(nèi)移民到該地區(qū)的人口的數(shù)學(xué)期望與方差。的人口的數(shù)學(xué)期望與方差。 解：解：( )1( )