5.2隨機(jī)變量序列的兩種收斂ppt課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第第 五五 章章5.25.2隨機(jī)變量序列的兩種收斂性隨機(jī)變量序列的兩種收斂性概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)主要內(nèi)容一、依概率收斂一、依概率收斂二、依分布收斂二、依分布收斂概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1、定義、定義 在上一節(jié)上，我們從頻率的穩(wěn)定性出發(fā)，得出下面的極限關(guān)系式： 這與數(shù)學(xué)分析中通常的函數(shù)收斂的意義不同。在上式中以隨機(jī)變量 替代 a 以便得到新的收斂概念。本節(jié)假定所得到的隨機(jī)變量都是定義在同一概率空間（ F ，P上的。,其中nkknn11 或等價(jià)于一、依概率收斂一、依概率收斂0)(limaPnn1)(limaPnn概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 設(shè) 為一列隨機(jī)變量， 為一隨機(jī)變

2、量，n,2101)(lim0)(limnnnnPP或 nPnnlim)( ,nPn定義5.2由定義可知， )( , 0nPnPn，或 則稱隨機(jī)變量序列 依概率收斂于 ，記作 假設(shè) ，有 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量序列 n依概率收斂和數(shù)學(xué)分析中的序列收斂有很大的不同當(dāng)我們說隨機(jī)變量序列 n依概率收斂于,是指對(duì)，0如下事件n發(fā)生的概率，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，它無(wú)限接近于而當(dāng)我們說序列n1趨于0，是指當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于n1隨機(jī)變量序列依概率收斂與函數(shù)序列收斂也不一樣概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 有了依概率收斂的概念，隨機(jī)變量序列 服從大數(shù)定律就可以表達(dá)為 n)(1111nEnnniiPniipnPn)(nanP

3、nii11)(n伯努利大數(shù)定律可以描述為 辛欽大數(shù)定律描述為 特別地，111011)(lim,niiniinEnnP10)(lim,pnPnn1101)(lim,anPniinnPPnnn1)(lim, 0概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例1、設(shè) 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且 n211,DaE試證： aknnPnkk1) 1(2)(n證：()nkkEkn n121 ，由切比雪夫不等式0()()()()nknkkkDkn nPkan n12122101即)(0) 1(12326) 12)(1() 1(14222222nnnnnnnnn0) 1(2(lim1aknnPnkkn)() 1(21naknnPnkk故

4、0) 1(2(lim1aknnPnkkn根據(jù)定義即證2DEP)()()nnkkkkEakan nn n112211()nkkk Dn n22221141概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2、性質(zhì)、性質(zhì)1）、假設(shè),PnPn1)(則P證：nn022nn與22nn)(0)2()2()(nPPPnn11, 0）（，從而）（有PP，由于是那么 中至少有一個(gè)成立，即即 這表明，若將兩個(gè)以概率為1相等的隨機(jī)變量看作相等時(shí)，依概率收斂的極限是唯一的。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) nn,baPnPn,).(),(),(nbaggPnn2）、設(shè) 是兩個(gè)隨機(jī)變量序列， a，b為常數(shù)，假設(shè)且在g(x,y)在點(diǎn)a,b處連續(xù)，證明略，方法類似于1）那

5、么,PnPn)( ,nPnn3）、假設(shè))( ,nPnn則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)二、依分布收斂二、依分布收斂 上面我們討論了隨機(jī)序列依概率收斂的概念及有關(guān)性質(zhì)，現(xiàn)在我們要問：那么它們相應(yīng)的分布),(nPn如果已知函數(shù))()(xFxFn與之間有什么關(guān)系呢？是否對(duì)Rx都有)()(nxFxFn成立。這個(gè)猜測(cè)對(duì)不對(duì)？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例2、設(shè)都是服從退化分布的隨機(jī)變量，且 n,10 P, 2 , 1, 11nnPn于是對(duì)時(shí)有當(dāng)1, 0n0)(nnPP所以)( ,nPn成立。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) n,又設(shè)的分布函數(shù)分別為),(),(xFxFn那么0, 00, 1)(xxxFnxnxxFn1, 01, 1)(顯然，當(dāng)0

6、 x時(shí)，有)()(limxFxFnn成立。0 x時(shí)，有)0(100lim)0(limFFnnn而當(dāng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 這個(gè)簡(jiǎn)單的例子表明,一個(gè)隨機(jī)變量序列依概率收斂于某個(gè)隨機(jī)變量,相應(yīng)的分布函數(shù)不一定在每一點(diǎn)上都收斂于這個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)的. 但是，如果再仔細(xì)觀察一下這個(gè)例子，就可以發(fā)現(xiàn)收斂關(guān)系不成立的點(diǎn)：x=0，恰好是F(x)的不連續(xù)點(diǎn)在F(x)的連續(xù)點(diǎn))( ,nPn當(dāng)時(shí)，它們的分布函數(shù)之間就有)()(limxFxFnn成立概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) ),(),(,21xFxFxF)()(limxFxFnn)(xFn).(),()(nxFxFwn是一列分布函數(shù)，如果對(duì)成立， 并記作定義定義 設(shè)定義5.

7、3F(x)的每一個(gè)連續(xù)點(diǎn)x， 都有則稱分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)Fx），)2 , 1(nn)(xFnn).( ,nLn若隨機(jī)變量序列的分布函數(shù)弱收斂于隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fx）, 也稱按分布收斂于，并記作概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.2.依概率收斂與弱收斂之間的關(guān)系依概率收斂與弱收斂之間的關(guān)系,21)(nPn)(),(21xFxF)()(nxFxFWn定理4.若隨機(jī)變量列依概率收斂于隨機(jī)變量，即則相對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)Fx即證明 ：略。留意：這個(gè)定理的逆命題不一定成立，即不能從分布留意：這個(gè)定理的逆命題不一定成立，即不能從分布函數(shù)列的弱收斂肯定相應(yīng)的隨機(jī)變量序列依概率收斂，函數(shù)列的弱收斂肯定相應(yīng)的隨機(jī)變量序列依概率收斂，但在特殊情況下，它卻是成立的。但在特殊情況下，它卻是成立的。)(nPn)()(nxFxFWn即概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為常數(shù)）ccPn(cxF是)(cxcxxF, 0, 1)(定理5.6 隨機(jī)變量序列這里的分布函數(shù)，也就是退化分布)()(xFxFWn的充要條件為cPn)()(xFxFWn即證明 ：略。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). .依概率收斂與按分布收斂間的關(guān)系依概率收斂與按分布收斂間的關(guān)系)(nPn)(nLn（）（）（）（）ncPnncLn概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì))(xFn)(