1.2可降階的高階微分方程Bppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程)()(xfyn一、一、 型的微分方程型的微分方程二、二、 型的微分方程型的微分方程三、三、 型的微分方程型的微分方程),()1()()( nknyyxfy),()1()()( nknyyyfy一、一、 型型)()(xfyn21)2(1)1()()(cdxcdxxfycdxxfynn 同理可得特點特點 方程右邊僅含有方程右邊僅含有x方法方法 兩邊積分兩邊積分例題例題1 p351 代入原方程代入原方程, 得得解法：解法：特點：特點：.,)1( kyyy及及不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù))()(xPyk 令令.,)()()1(knnkPyPy 則

2、則).(,),(,()1()(xPxPxfPknkn P(x)的的(n-k)階方程階方程),(xP求得求得,)()(次次連續(xù)積分連續(xù)積分將將kxPyk 可得通解可得通解.),()1()()( nknyyxfy二、二、 型型.0)4()5(的的通通解解求求方方程程 yxy解解),()4(xPy 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 解線性方程解線性方程, 得得兩端積分兩端積分,得得原方程通解為原方程通解為)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例例 1)(ypy 設(shè)設(shè)

3、,dydPpdxdydydpy 則則階方程，階方程，的的代入原方程得到新函數(shù)代入原方程得到新函數(shù))1()( nyP求得其解為求得其解為原方程通解為原方程通解為,),(11nnCxCCydy 特點：特點：.x右端不顯含自變量右端不顯含自變量解法：解法：,)(2222dydPPdyPdPy ,),()(11 nCCyyPdxdy),()1()()( nknyyyfy三、三、 型型.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,dydPpy 則則),(ypy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 原

4、方程通解為原方程通解為,1yCdxdy 例例 2特點特點. 0),(,),()1()1( nnyyyxdxdxyyyx即即的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)對對左左端端恰恰為為某某一一函函數(shù)數(shù)解法：解法： 類似于全微分方程可降低一階類似于全微分方程可降低一階,),()1(Cyyyxn 再設(shè)法求解這個方程再設(shè)法求解這個方程.四、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程四、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解將方程寫成將方程寫成, 0)( yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即積分后得通解積分后得通解.212CxCy 注意注意: :這一段技巧性較高這一段技巧性較高, 關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程.例例 3特

5、點：特點：解法：解法：),(),()()(nknyyyxFttyy ttyxF 次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)k zdxey可可通通過過變變換換).(,xz得新未知函數(shù)得新未知函數(shù)將其降階將其降階, zdxzey,)(2 zdxezzy,),()1()( zdxnnezzzy五、齊次方程五、齊次方程, zdxke代代入入原原方方程程并并消消去去階階方方程程的的得得新新函函數(shù)數(shù))1()( nxz. 0),()1( nzzzxf.)(22的通解的通解求方程求方程yxyyyx 解解, zdxey設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程,得得,122xzxz ,121xCxz 解其通解為解其通解為.1212)1(xCdxxCx

6、xeCey 原方程通解為原方程通解為例例 4 五、小結(jié)五、小結(jié)解法解法 通過代換將其化成較低階的方程來求解通過代換將其化成較低階的方程來求解.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,12y兩端同乘不為零因子兩端同乘不為零因子, 0)(22 yydxdyyyy,1yCy 故故從而通解為從而通解為.12xCeCy 例例 5另解另解原方程變?yōu)樵匠套優(yōu)?yyyy 兩邊積分兩邊積分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解為原方程通解為.12xCeCy .2的通解的通解求方程求方程yyyxyxy 解解, zdxey設(shè)設(shè)，zxz ,xCz 解其通解為解其通解為.212xCCxdxeCey

7、 原方程通解為原方程通解為代入原方程代入原方程,得得補充題補充題:思考題思考題 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的通通解解.思考題解答思考題解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是對應(yīng)齊次方程的解是對應(yīng)齊次方程的解,21223xeyyyyx 常數(shù)常數(shù)所求通解為所求通解為.221xCeCx 122231yyCyyCy 一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 試求試求xy 的經(jīng)過點的經(jīng)過點)1,0(M且在此點與直線且在此點與直線12 xy相切的積分曲線相切的積分曲線 . .練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2