反函數(shù)教學的思考與實踐

1、反函數(shù)教學的思考與實踐浙江省杭州市余杭區(qū)教育局教研室 陳朝陽（311100）內(nèi)容提要：反函數(shù)作為中學數(shù)學的難點之一，如何教學才能使學生全面、完整、正確地理解，并能熟練地運用反函數(shù)的有關性質解題，本文提出一些建設性的意見，同時又指出現(xiàn)行教材中范圖范例可能使學生產(chǎn)生錯誤的幾個問題，提出矯正的方案。關鍵詞：反函數(shù)、教學、圖例、矯正反函數(shù)教學是中學數(shù)學的難點之一。如何使學生透徹地理解反函數(shù)的概念，能熟練地運用反函數(shù)的性質解題？作為教師在教學中要注意什么？怎樣才能突破反函數(shù)的概念這一重要內(nèi)容的教學，對學好“函數(shù)”這一單元至關重要。本文圍繞反函數(shù)概念的教學和利用反函數(shù)的性質解題提出一些建設性的意見，同時指

2、出現(xiàn)行教材中范圖范例可能使學生產(chǎn)生錯誤的幾個問題，不當之處請批評指正。一、 反函數(shù)概念的教學概念教學的過程，應該包括三個基本步驟：概念的建立；概念的認識；概念的應用。這三個步驟，無論是對概念的理解，還是對形成數(shù)學能力都十分必要，不可缺少。1.1 關于概念的建立新課伊始，開宗明義：前面學習了映射與函數(shù)，認識到它們之間有非常密切的關系，函數(shù)是映射，對非空數(shù)集上的映射能確定函數(shù)，如果該映射存在逆映射，那么這個逆映射能否也確定一個新的函數(shù)。即 存在 映射 逆映射 （確定） （確定） 函數(shù) 函數(shù) 圖一這里的函數(shù)與函數(shù)有怎樣的關系？這個問題的提出，從理論體系的發(fā)展上展示了反函數(shù)概念產(chǎn)生的理論背景，整體性強

3、，能從理論體系的全局上打開學生的視野，而且明確的課題立刻抓住了學生的注意力。當然，這樣的教學又涉及到映射，一一映射，逆映射等有關概念。在教學實踐中，筆者以為還是采用83年版高級中學課本（甲種本）中反函數(shù)的定義為妥。因為采用現(xiàn)行高中數(shù)學（第一冊（上）中的定義，當進一步學習反三角函數(shù)概念時常常使學生迷惑不解：被限制在（主值）區(qū)間上的函數(shù)y=sinx怎么會有反函數(shù)？因為這是個超越函數(shù)，如果把它看成關于x的方程，如何通過方程的同解變形由此反解出x=(y)呢？于是課本避開原來的定義從另外一個角度指出反函數(shù)的存在性。教材首先向學生展示了y=sinx的圖像；接著“由圖可以看到”：正弦函數(shù)在單調區(qū)間上，其定義

4、域和值域是一一對應的，就斷言y=sinx在上有反函數(shù)，記作x=arcsiny。教材又以同樣的方法引出了反余弦函數(shù)的概念。再說，從教材體系的安排來看，課本在圍繞反函數(shù)定義，配備相應的例題、習題時，強調的是y=f(x)通過方程的變形能反解出x=(y)；但在將反函數(shù)概念運用到反三角函數(shù)時，強調的是原來函數(shù)的定義域與值域必須一一對應。其實，前者不是反函數(shù)存在的實質，后者才是反函數(shù)的本質。從映射的觀點來看，反函數(shù)存在的本質是兩個非空數(shù)集間一一映射的存在。既然教材用映射定義了函數(shù)，就可順勢用一一映射來定義反函數(shù)。如果這樣，反三角函數(shù)概念的引入就順乎自然、一脈相承了。從另一個意義上講，映射作為近代數(shù)學的重要

5、思想，十分有必要滲透于現(xiàn)行教材，但滲透不等于插敘，而應盡可能融進有關章節(jié)。映射、一一映射的觀點在反函數(shù)教學中的再一次應用，顯然有利于中學生接受這個近代重要的數(shù)學思想。1.2 關于概念的認識概念定義了，但不等于認識了。為了全面、完整、準確地認識反函數(shù)定義，需要對它的內(nèi)含再作深入地分析。1.2.1 先具體地研究一個實例，提供一個直觀背景，既復習建立反函數(shù)將要用到的一系列概念，又使學生具體地感受到后述的“兩個相反”，使認識得以升華的基礎。進而把函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，就不僅十分自然，順乎情理，而且對反函數(shù)的認識有了感性的體驗。0xy圖二實例：如圖二，已知函數(shù)（1） 寫出確定函數(shù)的映射（2） 這個映射存

6、在逆映射嗎？f:AB是一一映射，從而它存在逆映射（3） 寫出這個逆映射（4） 寫出這個逆映射所確定的函數(shù)至此，函數(shù)找到了，要研究它與的聯(lián)系，我們先就定義域、值域和對應法則（也即函數(shù)三要素）這三個方面入手。從圖一與圖二可以看出，函數(shù)與分別是由映射和它的逆映射所確定的。因而函數(shù)的定義域與值域恰是函數(shù)的值域與定義域，也就是說，函數(shù)的定義域與值域恰與函數(shù)的定義域與值域“相反”，同時函數(shù)的對應法則也恰與函數(shù)的對應法則“相反”，根據(jù)這兩個相反，數(shù)學上把函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)。1.2.2 定義的結構特征和本質這個定義與前面剛學過的函數(shù)的“單調性”、“奇偶性”的定義不同，那里講的是同一個函數(shù)性質上的特征集中表現(xiàn)

7、在x、y的對應特點上。這里講的是兩個函數(shù)與的關聯(lián)，并且是通過確定它們的映射來講的，也就是說：這個定義涉及到兩個函數(shù)，兩個映射，本質是通過兩個互逆的映射來揭示兩個函數(shù)之間的關系。對于具有這種結構特征的定義，我們把它放在概念體系中去認識、去分析，往往能夠看得更加透徹。這是認識這類定義的一個指導思想。1.2.3 反函數(shù)存在的條件定義中的“若”講的是反函數(shù)存在的條件，從圖一可以看出：存在逆映射存在映射是一一映射，于是得到了結論1 f(x)存在反函數(shù)確定f(x)的映射是一一映射。結論2 若f(x)存在反函數(shù)，則f(x)與互為反函數(shù)。1.2.4 反函數(shù)的求法定義中“則這個”講的是命題的結論反函數(shù)是由逆映射

8、所確定的函數(shù)，這個結論為反函數(shù)的求法指出了具體途徑，這是因為逆映射一旦求出，反函數(shù)也就唾手可得，事實上：反函數(shù)的定義域就是逆映射的出發(fā)集。反函數(shù)的對應法則就是逆映射的對應法則。從而反函數(shù)的求法可歸結為逆映射的求法（這在前面已經(jīng)解決）。即使學生意識到：反函數(shù)的存在性逆映射的存在性；反函數(shù)的求法逆映射的求法。通過上述分析，新舊知識融會貫通，對新知識的理解大大深化，原來反函數(shù)的概念就是給起了一個“新的名字”叫做f(x)的反函數(shù)，其余的在理論體系中我們早已解決了。應該提出：這里分析問題所用的方法是“系統(tǒng)分析法”，即把被分析的對象放在系統(tǒng)中去考察，著重揭示對象所處的位置以及對象與其他事物之間的聯(lián)系。這種

9、分析方法一旦化作學生的自覺行動，就會形成一種認識能力。有了這種能力，就能既減輕學習負擔，又能提高學習質量，這就是為什么高中階段十分強調知識結構的緣由。1.3 關于概念的初步應用在概念的簡單應用時，先給出求反函數(shù)的規(guī)范表達，并指出容易出現(xiàn)的失誤點，對提高作業(yè)的正確率和進一步理解概念有很大的幫助。例如：已知函數(shù) ，問這個函數(shù)是否存在反函數(shù)？為什么？若限定函數(shù)的對應法則不變，值域為，適當?shù)剡x取定義域，能否使它存在反函數(shù)？這樣的有幾個？求出相應的反函數(shù)。這里題使學生進一步理解反函數(shù)的概念，強化一一映射。題為將來建立反三角函數(shù)作準備。當取時，略解如下：準備 （作為求反函數(shù)的準備，寫出f(x) 的定義域、

10、值域十分必要）解出 ， （這里負號由x的范圍而定）改寫 ， （x與y的字母互換）結論 ， （這里f(x)的反函數(shù)用表示）再如：設，則函數(shù)在其定義域上的映射是一一映射，故其反函數(shù)存在。反函數(shù)為， .這里強調反函數(shù)的定義域不同于由它的解析式確定的x 允許取值范圍。當函數(shù)y=f(x)的定義域與由它的解析式確定的x的允許取值范圍相同時，其反函數(shù)的定義域與它的解析式確定的x的允許取值范圍也不一定相同。如函數(shù)有反函數(shù)，但反函數(shù)的定義域是，而不是它的解析式確定的x的允許取值范圍R。簡言之，這里要使學生明確反函數(shù)的定義域是由原函數(shù)的值域所確定。因而由反函數(shù)的解析式中求變量的允許值范圍決不是原函數(shù)的值域。故散見

11、于各種參考書和數(shù)學期刊的所謂用“反函數(shù)法值域”的觀點是錯誤的，應予更正。二、 課本圖例可能引起的誤解及矯正11YOXy =xy =3x-2圖三11YOX-1-1圖四眾所周知，課本是教與學的范本，它所選用的范圖、范例，本應周全、規(guī)范、完整，才能給教與學以正確的指導。否則，就失去其應有的作用，甚至產(chǎn)生不良影響。在“互為反函數(shù)的圖象間的關系”這一內(nèi)容教學中，課本的圖例所示的兩對互為反函數(shù)的圖象均相交于對稱軸上y=x。如圖三，圖四 這樣給學生一個直觀印象，“互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象如果有交點，那么交點在直線y=x上”,從而它們的交點坐標必為(a,a)的形式。有的學生，甚至在一些刊物的文章中對其毫無置疑地

12、加以應用。基于這一錯誤的印象，對下例：已知：函數(shù)，則它和其反函數(shù)二者圖象的交點坐標為 D（2，1）學生幾乎不假思索就選（B），而正確答案卻是（D）。 這里，還有這樣的一個錯誤觀點：若所給方程f(x)=g(x)的兩邊f(xié)(x)與g(x)恰為互為反函數(shù)，則f(x)或g(x)的圖象與對稱軸y=x的交點橫坐標便是原方程的全部實根。若據(jù)此求解，必然會使一部分方程失去可能存在于y=x之外的交點所對應的那些實根。例如：求函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點解：的反函數(shù)是，設是所求交點，則也是其交點，有解此方程得或或考慮到x0 y0應屬于的定義域與值域的交集 應舍去，所求交點為，P2（1，2）P3（2，1）顯然P1在直線y

13、=x上，而P2、P3是關于直線y=x對稱的交點，它們均不在直線y=x上。如果得用二圖象交點必在直線y=x上，由方程組解出交點，就漏掉不在直線y=x上的另外兩個交點。據(jù)此，我們給出下面結論：定理1： 設y=f(x)有反函數(shù)，在同一直角坐標系內(nèi)它們的圖象分別為C、。若C（或）有關于直線y=x對稱的點、，則、都是C與的交點；反之，若是是C與的交點，則也是C與的交點。證明：設y=f(x)的圖象C上有關于直線y=x的對稱點、，則與，又由和及反函數(shù)定義得與，、和、分別說明點、既在C上，又在上。故、都是C、的交點。反之，C、有交點，即有、，由與反函數(shù)定義，有成立。式說明關于直線y=x的對稱點也在C上。推論1

14、 若C、相交，且C（或）關于直線y=x無相異（即不重合）的對稱點，則交點一定在直線y=x上；若C（或）關于直線y=x有相異對稱點，則C、的交點不在直線y=x上。推論2 若 是C、的交點，則。 （其中G是y=f(x)（或）的定義域A與值域B的交集。）定理2 增函數(shù)與其反函數(shù)二者圖象若相交，則其全部交點都在直線y=x上。證明：設是y=f(x)與的圖象的交點，由定理1，與都在的y=f(x)圖象上，故，。如果，不妨設，由y=f(x)是增函數(shù)得，即這與矛盾。所以, 即交點一定在直線y=x上。定理3 減函數(shù)與其反函數(shù)二者圖象若相交，則直線y=x上有且只有一個交點。若有其余交點，則分別兩兩關于直線y=x對稱

15、。證明 互為反函數(shù)的二者圖象若相交，則任一圖象均與直線y=x相交，否則二者分居對稱軸兩側。設減函數(shù)y=f(x)圖象與y=x的一個交點為（a,a），異于該點的任一交點（），則有f(a)=a,。設，則由f(x)是減函數(shù)得，即，這與矛盾，a；同理a；故=a，即f(x)圖象與直線y=x僅交于一點（a,a），再由對稱性知圖象也僅交直線y=x于一點（a,a），這就說明f(x)與二者圖象在直線y=x有且只有一個交點。結論的后半部分由對稱性顯然成立。因此，在解有關問題時，必須要求學生首先分清所給函數(shù)是某區(qū)間上的增函數(shù)還是減函數(shù)，而后按上述定理2、定理3分別處理，方能不致出錯。YOXy=xy= -x3y= -3

16、x圖五就課本范圖來講，筆者以為保留課本的圖三（即增函數(shù)及其反函數(shù)的圖象）而將圖四了改為減函數(shù)及其反函數(shù)的圖象（如圖五所示）。這樣便概括圖示了上述結論。有利于學生對互為反函數(shù)二者圖象不同情況的全面直觀的認識。三、反函數(shù)的性質及其應用。反函數(shù)有下列重要的性質：1、函數(shù)y=f(x)的定義域A與值域B分別是其反函數(shù)y=的值域A和定義域B。2、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關于直線y=x成軸對稱圖形。3、若函數(shù)是奇函數(shù)，且存在反函數(shù)，則其反函數(shù)也為奇函數(shù)，反之亦然。4、函數(shù)與其反函數(shù)在各自的定義域上具有相同的單調性。5、理解掌握這些性質，對提高解題速度有很大的幫助。例1：設函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=g(

17、x)，求y=f(-x)的反函數(shù)。解：函數(shù)y=f(-x)中，x為自變量，y為函數(shù)，將函數(shù)改寫成y表示x的形成得-x=。這里y為自變量x為函數(shù)，將x與y互換，仍用x表示自變量，y表示函數(shù)得-y=，即y=-。 由已知y=f(x)的反函數(shù)為y=g(x) 即于是，所以y=f(-x)的反函數(shù)為y=-g(x)。例2 已知 求實數(shù)a 解：由已知，函數(shù)的反函數(shù)是它本身，則定義域和值域相同。 而函數(shù)定義域為 又函數(shù)值域為 顯然-a=2 充分利用反函數(shù)的性質，有時可回避求反函數(shù)，優(yōu)化解題過程，快速解決問題。 例3 已知函數(shù) 求f(x)的定義域；f(x)的反函數(shù) 解令，代入得 又 故f(x)的定義域為由得 例4、討論函數(shù)-x的單調性 解：易知函數(shù)的定義域為R，值域為，且它的反函數(shù)是由在上是減函數(shù)知，上是減函數(shù)，而互為反函數(shù)有相同的單調性知-x在R上是減函數(shù)。 例5、已知分析：函數(shù)僅表示將函數(shù)中的x,用來代替而得到的解析式，因此，求時，應先求出，再將其中的x用代替。解： 令得注意：防止把當作是的反函數(shù)。 例6、設解方程組 解：先將原方程組等價變形為 顯然可視為互為反函數(shù)，其圖象均為直線且關于直線y=x對稱。 若函數(shù)所表示的直線關于直線y=x有相異的對稱點 由定理1 所表示的直線也過。