反函數(shù)教學(xué)的思考與實(shí)踐

1、反函數(shù)教學(xué)的思考與實(shí)踐浙江省杭州市余杭區(qū)教育局教研室 陳朝陽（311100）內(nèi)容提要：反函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，如何教學(xué)才能使學(xué)生全面、完整、正確地理解，并能熟練地運(yùn)用反函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解題，本文提出一些建設(shè)性的意見，同時(shí)又指出現(xiàn)行教材中范圖范例可能使學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的幾個(gè)問題，提出矯正的方案。關(guān)鍵詞：反函數(shù)、教學(xué)、圖例、矯正反函數(shù)教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一。如何使學(xué)生透徹地理解反函數(shù)的概念，能熟練地運(yùn)用反函數(shù)的性質(zhì)解題？作為教師在教學(xué)中要注意什么？怎樣才能突破反函數(shù)的概念這一重要內(nèi)容的教學(xué)，對學(xué)好“函數(shù)”這一單元至關(guān)重要。本文圍繞反函數(shù)概念的教學(xué)和利用反函數(shù)的性質(zhì)解題提出一些建設(shè)性的意見，同時(shí)指

2、出現(xiàn)行教材中范圖范例可能使學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的幾個(gè)問題，不當(dāng)之處請批評指正。一、 反函數(shù)概念的教學(xué)概念教學(xué)的過程，應(yīng)該包括三個(gè)基本步驟：概念的建立；概念的認(rèn)識；概念的應(yīng)用。這三個(gè)步驟，無論是對概念的理解，還是對形成數(shù)學(xué)能力都十分必要，不可缺少。1.1 關(guān)于概念的建立新課伊始，開宗明義：前面學(xué)習(xí)了映射與函數(shù)，認(rèn)識到它們之間有非常密切的關(guān)系，函數(shù)是映射，對非空數(shù)集上的映射能確定函數(shù)，如果該映射存在逆映射，那么這個(gè)逆映射能否也確定一個(gè)新的函數(shù)。即 存在 映射 逆映射 （確定） （確定） 函數(shù) 函數(shù) 圖一這里的函數(shù)與函數(shù)有怎樣的關(guān)系？這個(gè)問題的提出，從理論體系的發(fā)展上展示了反函數(shù)概念產(chǎn)生的理論背景，整體性強(qiáng)

3、，能從理論體系的全局上打開學(xué)生的視野，而且明確的課題立刻抓住了學(xué)生的注意力。當(dāng)然，這樣的教學(xué)又涉及到映射，一一映射，逆映射等有關(guān)概念。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者以為還是采用83年版高級中學(xué)課本（甲種本）中反函數(shù)的定義為妥。因?yàn)椴捎矛F(xiàn)行高中數(shù)學(xué)（第一冊（上）中的定義，當(dāng)進(jìn)一步學(xué)習(xí)反三角函數(shù)概念時(shí)常常使學(xué)生迷惑不解：被限制在（主值）區(qū)間上的函數(shù)y=sinx怎么會有反函數(shù)？因?yàn)檫@是個(gè)超越函數(shù)，如果把它看成關(guān)于x的方程，如何通過方程的同解變形由此反解出x=(y)呢？于是課本避開原來的定義從另外一個(gè)角度指出反函數(shù)的存在性。教材首先向?qū)W生展示了y=sinx的圖像；接著“由圖可以看到”：正弦函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上，其定義

4、域和值域是一一對應(yīng)的，就斷言y=sinx在上有反函數(shù)，記作x=arcsiny。教材又以同樣的方法引出了反余弦函數(shù)的概念。再說，從教材體系的安排來看，課本在圍繞反函數(shù)定義，配備相應(yīng)的例題、習(xí)題時(shí)，強(qiáng)調(diào)的是y=f(x)通過方程的變形能反解出x=(y)；但在將反函數(shù)概念運(yùn)用到反三角函數(shù)時(shí)，強(qiáng)調(diào)的是原來函數(shù)的定義域與值域必須一一對應(yīng)。其實(shí)，前者不是反函數(shù)存在的實(shí)質(zhì)，后者才是反函數(shù)的本質(zhì)。從映射的觀點(diǎn)來看，反函數(shù)存在的本質(zhì)是兩個(gè)非空數(shù)集間一一映射的存在。既然教材用映射定義了函數(shù)，就可順勢用一一映射來定義反函數(shù)。如果這樣，反三角函數(shù)概念的引入就順乎自然、一脈相承了。從另一個(gè)意義上講，映射作為近代數(shù)學(xué)的重要

5、思想，十分有必要滲透于現(xiàn)行教材，但滲透不等于插敘，而應(yīng)盡可能融進(jìn)有關(guān)章節(jié)。映射、一一映射的觀點(diǎn)在反函數(shù)教學(xué)中的再一次應(yīng)用，顯然有利于中學(xué)生接受這個(gè)近代重要的數(shù)學(xué)思想。1.2 關(guān)于概念的認(rèn)識概念定義了，但不等于認(rèn)識了。為了全面、完整、準(zhǔn)確地認(rèn)識反函數(shù)定義，需要對它的內(nèi)含再作深入地分析。1.2.1 先具體地研究一個(gè)實(shí)例，提供一個(gè)直觀背景，既復(fù)習(xí)建立反函數(shù)將要用到的一系列概念，又使學(xué)生具體地感受到后述的“兩個(gè)相反”，使認(rèn)識得以升華的基礎(chǔ)。進(jìn)而把函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，就不僅十分自然，順乎情理，而且對反函數(shù)的認(rèn)識有了感性的體驗(yàn)。0xy圖二實(shí)例：如圖二，已知函數(shù)（1） 寫出確定函數(shù)的映射（2） 這個(gè)映射存

6、在逆映射嗎？f:AB是一一映射，從而它存在逆映射（3） 寫出這個(gè)逆映射（4） 寫出這個(gè)逆映射所確定的函數(shù)至此，函數(shù)找到了，要研究它與的聯(lián)系，我們先就定義域、值域和對應(yīng)法則（也即函數(shù)三要素）這三個(gè)方面入手。從圖一與圖二可以看出，函數(shù)與分別是由映射和它的逆映射所確定的。因而函數(shù)的定義域與值域恰是函數(shù)的值域與定義域，也就是說，函數(shù)的定義域與值域恰與函數(shù)的定義域與值域“相反”，同時(shí)函數(shù)的對應(yīng)法則也恰與函數(shù)的對應(yīng)法則“相反”，根據(jù)這兩個(gè)相反，數(shù)學(xué)上把函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)。1.2.2 定義的結(jié)構(gòu)特征和本質(zhì)這個(gè)定義與前面剛學(xué)過的函數(shù)的“單調(diào)性”、“奇偶性”的定義不同，那里講的是同一個(gè)函數(shù)性質(zhì)上的特征集中表現(xiàn)

7、在x、y的對應(yīng)特點(diǎn)上。這里講的是兩個(gè)函數(shù)與的關(guān)聯(lián)，并且是通過確定它們的映射來講的，也就是說：這個(gè)定義涉及到兩個(gè)函數(shù)，兩個(gè)映射，本質(zhì)是通過兩個(gè)互逆的映射來揭示兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系。對于具有這種結(jié)構(gòu)特征的定義，我們把它放在概念體系中去認(rèn)識、去分析，往往能夠看得更加透徹。這是認(rèn)識這類定義的一個(gè)指導(dǎo)思想。1.2.3 反函數(shù)存在的條件定義中的“若”講的是反函數(shù)存在的條件，從圖一可以看出：存在逆映射存在映射是一一映射，于是得到了結(jié)論1 f(x)存在反函數(shù)確定f(x)的映射是一一映射。結(jié)論2 若f(x)存在反函數(shù)，則f(x)與互為反函數(shù)。1.2.4 反函數(shù)的求法定義中“則這個(gè)”講的是命題的結(jié)論反函數(shù)是由逆映射

8、所確定的函數(shù)，這個(gè)結(jié)論為反函數(shù)的求法指出了具體途徑，這是因?yàn)槟嬗成湟坏┣蟪觯春瘮?shù)也就唾手可得，事實(shí)上：反函數(shù)的定義域就是逆映射的出發(fā)集。反函數(shù)的對應(yīng)法則就是逆映射的對應(yīng)法則。從而反函數(shù)的求法可歸結(jié)為逆映射的求法（這在前面已經(jīng)解決）。即使學(xué)生意識到：反函數(shù)的存在性逆映射的存在性；反函數(shù)的求法逆映射的求法。通過上述分析，新舊知識融會貫通，對新知識的理解大大深化，原來反函數(shù)的概念就是給起了一個(gè)“新的名字”叫做f(x)的反函數(shù)，其余的在理論體系中我們早已解決了。應(yīng)該提出：這里分析問題所用的方法是“系統(tǒng)分析法”，即把被分析的對象放在系統(tǒng)中去考察，著重揭示對象所處的位置以及對象與其他事物之間的聯(lián)系。這種

9、分析方法一旦化作學(xué)生的自覺行動，就會形成一種認(rèn)識能力。有了這種能力，就能既減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又能提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，這就是為什么高中階段十分強(qiáng)調(diào)知識結(jié)構(gòu)的緣由。1.3 關(guān)于概念的初步應(yīng)用在概念的簡單應(yīng)用時(shí)，先給出求反函數(shù)的規(guī)范表達(dá)，并指出容易出現(xiàn)的失誤點(diǎn)，對提高作業(yè)的正確率和進(jìn)一步理解概念有很大的幫助。例如：已知函數(shù) ，問這個(gè)函數(shù)是否存在反函數(shù)？為什么？若限定函數(shù)的對應(yīng)法則不變，值域?yàn)?，適當(dāng)?shù)剡x取定義域，能否使它存在反函數(shù)？這樣的有幾個(gè)？求出相應(yīng)的反函數(shù)。這里題使學(xué)生進(jìn)一步理解反函數(shù)的概念，強(qiáng)化一一映射。題為將來建立反三角函數(shù)作準(zhǔn)備。當(dāng)取時(shí)，略解如下：準(zhǔn)備 （作為求反函數(shù)的準(zhǔn)備，寫出f(x) 的定義域、

10、值域十分必要）解出 ， （這里負(fù)號由x的范圍而定）改寫 ， （x與y的字母互換）結(jié)論 ， （這里f(x)的反函數(shù)用表示）再如：設(shè)，則函數(shù)在其定義域上的映射是一一映射，故其反函數(shù)存在。反函數(shù)為， .這里強(qiáng)調(diào)反函數(shù)的定義域不同于由它的解析式確定的x 允許取值范圍。當(dāng)函數(shù)y=f(x)的定義域與由它的解析式確定的x的允許取值范圍相同時(shí)，其反函數(shù)的定義域與它的解析式確定的x的允許取值范圍也不一定相同。如函數(shù)有反函數(shù)，但反函數(shù)的定義域是，而不是它的解析式確定的x的允許取值范圍R。簡言之，這里要使學(xué)生明確反函數(shù)的定義域是由原函數(shù)的值域所確定。因而由反函數(shù)的解析式中求變量的允許值范圍決不是原函數(shù)的值域。故散見

11、于各種參考書和數(shù)學(xué)期刊的所謂用“反函數(shù)法值域”的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，應(yīng)予更正。二、 課本圖例可能引起的誤解及矯正11YOXy =xy =3x-2圖三11YOX-1-1圖四眾所周知，課本是教與學(xué)的范本，它所選用的范圖、范例，本應(yīng)周全、規(guī)范、完整，才能給教與學(xué)以正確的指導(dǎo)。否則，就失去其應(yīng)有的作用，甚至產(chǎn)生不良影響。在“互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系”這一內(nèi)容教學(xué)中，課本的圖例所示的兩對互為反函數(shù)的圖象均相交于對稱軸上y=x。如圖三，圖四 這樣給學(xué)生一個(gè)直觀印象，“互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象如果有交點(diǎn)，那么交點(diǎn)在直線y=x上”,從而它們的交點(diǎn)坐標(biāo)必為(a,a)的形式。有的學(xué)生，甚至在一些刊物的文章中對其毫無置疑地

12、加以應(yīng)用?；谶@一錯(cuò)誤的印象，對下例：已知：函數(shù)，則它和其反函數(shù)二者圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為 D（2，1）學(xué)生幾乎不假思索就選（B），而正確答案卻是（D）。 這里，還有這樣的一個(gè)錯(cuò)誤觀點(diǎn)：若所給方程f(x)=g(x)的兩邊f(xié)(x)與g(x)恰為互為反函數(shù)，則f(x)或g(x)的圖象與對稱軸y=x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)便是原方程的全部實(shí)根。若據(jù)此求解，必然會使一部分方程失去可能存在于y=x之外的交點(diǎn)所對應(yīng)的那些實(shí)根。例如：求函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)解：的反函數(shù)是，設(shè)是所求交點(diǎn)，則也是其交點(diǎn)，有解此方程得或或考慮到x0 y0應(yīng)屬于的定義域與值域的交集 應(yīng)舍去，所求交點(diǎn)為，P2（1，2）P3（2，1）顯然P1在直線y

13、=x上，而P2、P3是關(guān)于直線y=x對稱的交點(diǎn)，它們均不在直線y=x上。如果得用二圖象交點(diǎn)必在直線y=x上，由方程組解出交點(diǎn)，就漏掉不在直線y=x上的另外兩個(gè)交點(diǎn)。據(jù)此，我們給出下面結(jié)論：定理1： 設(shè)y=f(x)有反函數(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)它們的圖象分別為C、。若C（或）有關(guān)于直線y=x對稱的點(diǎn)、，則、都是C與的交點(diǎn)；反之，若是是C與的交點(diǎn)，則也是C與的交點(diǎn)。證明：設(shè)y=f(x)的圖象C上有關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)、，則與，又由和及反函數(shù)定義得與，、和、分別說明點(diǎn)、既在C上，又在上。故、都是C、的交點(diǎn)。反之，C、有交點(diǎn)，即有、，由與反函數(shù)定義，有成立。式說明關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)也在C上。推論1

14、 若C、相交，且C（或）關(guān)于直線y=x無相異（即不重合）的對稱點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線y=x上；若C（或）關(guān)于直線y=x有相異對稱點(diǎn)，則C、的交點(diǎn)不在直線y=x上。推論2 若 是C、的交點(diǎn)，則。 （其中G是y=f(x)（或）的定義域A與值域B的交集。）定理2 增函數(shù)與其反函數(shù)二者圖象若相交，則其全部交點(diǎn)都在直線y=x上。證明：設(shè)是y=f(x)與的圖象的交點(diǎn)，由定理1，與都在的y=f(x)圖象上，故，。如果，不妨設(shè)，由y=f(x)是增函數(shù)得，即這與矛盾。所以, 即交點(diǎn)一定在直線y=x上。定理3 減函數(shù)與其反函數(shù)二者圖象若相交，則直線y=x上有且只有一個(gè)交點(diǎn)。若有其余交點(diǎn)，則分別兩兩關(guān)于直線y=x對稱

15、。證明 互為反函數(shù)的二者圖象若相交，則任一圖象均與直線y=x相交，否則二者分居對稱軸兩側(cè)。設(shè)減函數(shù)y=f(x)圖象與y=x的一個(gè)交點(diǎn)為（a,a），異于該點(diǎn)的任一交點(diǎn)（），則有f(a)=a,。設(shè)，則由f(x)是減函數(shù)得，即，這與矛盾，a；同理a；故=a，即f(x)圖象與直線y=x僅交于一點(diǎn)（a,a），再由對稱性知圖象也僅交直線y=x于一點(diǎn)（a,a），這就說明f(x)與二者圖象在直線y=x有且只有一個(gè)交點(diǎn)。結(jié)論的后半部分由對稱性顯然成立。因此，在解有關(guān)問題時(shí)，必須要求學(xué)生首先分清所給函數(shù)是某區(qū)間上的增函數(shù)還是減函數(shù)，而后按上述定理2、定理3分別處理，方能不致出錯(cuò)。YOXy=xy= -x3y= -3

16、x圖五就課本范圖來講，筆者以為保留課本的圖三（即增函數(shù)及其反函數(shù)的圖象）而將圖四了改為減函數(shù)及其反函數(shù)的圖象（如圖五所示）。這樣便概括圖示了上述結(jié)論。有利于學(xué)生對互為反函數(shù)二者圖象不同情況的全面直觀的認(rèn)識。三、反函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。反函數(shù)有下列重要的性質(zhì)：1、函數(shù)y=f(x)的定義域A與值域B分別是其反函數(shù)y=的值域A和定義域B。2、互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形。3、若函數(shù)是奇函數(shù)，且存在反函數(shù)，則其反函數(shù)也為奇函數(shù)，反之亦然。4、函數(shù)與其反函數(shù)在各自的定義域上具有相同的單調(diào)性。5、理解掌握這些性質(zhì)，對提高解題速度有很大的幫助。例1：設(shè)函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=g(

17、x)，求y=f(-x)的反函數(shù)。解：函數(shù)y=f(-x)中，x為自變量，y為函數(shù)，將函數(shù)改寫成y表示x的形成得-x=。這里y為自變量x為函數(shù)，將x與y互換，仍用x表示自變量，y表示函數(shù)得-y=，即y=-。 由已知y=f(x)的反函數(shù)為y=g(x) 即于是，所以y=f(-x)的反函數(shù)為y=-g(x)。例2 已知 求實(shí)數(shù)a 解：由已知，函數(shù)的反函數(shù)是它本身，則定義域和值域相同。 而函數(shù)定義域?yàn)?又函數(shù)值域?yàn)?顯然-a=2 充分利用反函數(shù)的性質(zhì)，有時(shí)可回避求反函數(shù)，優(yōu)化解題過程，快速解決問題。 例3 已知函數(shù) 求f(x)的定義域；f(x)的反函數(shù) 解令，代入得 又 故f(x)的定義域?yàn)橛傻?例4、討論函數(shù)-x的單調(diào)性 解：易知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，且它的反函?shù)是由在上是減函數(shù)知，上是減函數(shù)，而互為反函數(shù)有相同的單調(diào)性知-x在R上是減函數(shù)。 例5、已知分析：函數(shù)僅表示將函數(shù)中的x,用來代替而得到的解析式，因此，求時(shí)，應(yīng)先求出，再將其中的x用代替。解： 令得注意：防止把當(dāng)作是的反函數(shù)。 例6、設(shè)解方程組 解：先將原方程組等價(jià)變形為 顯然可視為互為反函數(shù)，其圖象均為直線且關(guān)于直線y=x對稱。 若函數(shù)所表示的直線關(guān)于直線y=x有相異的對稱點(diǎn) 由定理1 所表示的直線也過。