開放型實驗教學(xué)項目指導(dǎo)書-Matlab軟件使用入門

1、開放型實驗教學(xué)項目指導(dǎo)書Matlab軟件使用入門任課老師：漆志鵬atlabsoftware數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院0 / 32目錄導(dǎo)言 -2函數(shù)的極限 -6函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù) -21積分 -291 / 32導(dǎo)言1什么是數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)實驗，概括地說是一種以實際問題為載體，以計算機為工具，以數(shù)學(xué)軟件為平臺，以學(xué)生為主體，借助教師輔導(dǎo)而完成的數(shù)學(xué)實踐活動。1 以實際問題為載體 實驗的直接目的是為了解決實際問題，發(fā)以它以解決實際問題為主線，每個實驗都圍繞某個問題實際問題展開，通過 實際問題的分析和解決來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識以及培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力。2 以計算機為工具用數(shù)學(xué)知

2、識解決實際問題當(dāng)然離不開數(shù)值計算，而計算機最強大的功能恰恰是高速、快捷的計算，所以計算機為我們提供便捷的計算工具，使我們擺脫繁重計算工作的困擾。3 以數(shù)學(xué)軟件為平臺要使計算機充分發(fā)揮特長，科學(xué)的軟件是必不可少的，利用它可以使計算機資源發(fā)揮更好的作用，從面避免低水平的重復(fù)勞動。4 以學(xué)生為主體數(shù)學(xué)實驗既然是實驗，就要求學(xué)生多動手、多上機、勤思考、少講多練，在教師指導(dǎo)下探索建立模型解決實際問題的方法，在失敗與成功中獲得真知，在實踐中發(fā)揮聰明才智。例1 演示曲面的法線（以旋轉(zhuǎn)曲面為例）。 分析 要完成該問題可分兩步進行：（1）首先畫出旋轉(zhuǎn)曲面的圖形；（2）在旋轉(zhuǎn)曲面上畫法線。實驗步驟（1） 設(shè)計擬畫

3、法線的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，即確定旋轉(zhuǎn) 曲面的方程（實際是確定旋轉(zhuǎn)曲面的母線方程）；2 / 32（2） 找到實現(xiàn)目的的MATLAB語句：作旋轉(zhuǎn)曲面圖的函數(shù)是cylinder;作曲面上法線的函數(shù)是surfnorm. 尋找方法：查閱書籍；通過MATLAB幫助文件；通過上網(wǎng)查詢或上網(wǎng)尋求幫助。（3） 使用MATLAB的幫助系統(tǒng)，查詢用法并實驗，練習(xí)掌握（主要掌握各個參數(shù)的不同含義和功能）之后可完成本題?？蓵鴮懗绦蛉缦拢篩=-1:0.1:1; x=5*cos(asin(Y); %定出旋轉(zhuǎn)曲面的“母線”X,Y,Z=cylinder (x,20); % 形成旋轉(zhuǎn)曲面Surfnorm(X(:,1:21),Y(:,

4、1:21), Z(:,1:21); %在旋轉(zhuǎn)曲面上畫法線View(120,18) %控制觀察角（4） 運行可看到圖形，見圖1.圖1. 旋轉(zhuǎn)曲面的法線3 / 32（5） 通過改變母線形狀、畫法線的選取點和觀察視角來觀察圖形的變化，以取得對該問題的深層次理解。思考 我們知道曲面上點的法線也可以通過曲面方程的偏導(dǎo)數(shù)求出來，現(xiàn)在已經(jīng)用現(xiàn)成的命令繪制了曲面的法線，能否用我們熟悉的方法來繪制曲面的法線呢？如果經(jīng)過我們自己的努力實現(xiàn)此目的，將兩者比較分析，豈不美哉！如果沒能實現(xiàn)，思考為什么，找出癥結(jié)所在，并設(shè)法解決。如果解決了，很好！如果沒能解決，再找原因，再設(shè)法解決，依此類推，就這樣進行思考-實驗-再思考

5、-再實驗的培養(yǎng)技能過程。如果最后圓滿解決，則真正理解了數(shù)學(xué)實驗的涵義，同進也了解了語言關(guān)末該命令的核心算法，并能深刻體會的簡捷高效性。2開設(shè)數(shù)學(xué)實驗的原因和目的（1）引導(dǎo)學(xué)生進入自己體驗數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的境界長久以來，數(shù)學(xué)一直被認為是一門高度抽象的學(xué)科，對大多數(shù)人來說，無論是研究數(shù)學(xué)還是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，都是從公理體系出發(fā)，沿著“定義-定理-證明-推論”這樣一條邏輯演繹的道路行進，公理化體系的建立，充分展示了數(shù)學(xué)的高度抽象性和嚴謹?shù)倪壿嬓裕箶?shù)學(xué)成為有別于其他自然科學(xué)的獨樹一幟的科學(xué)領(lǐng)域，但是，在完美的公理化體系的包裝下，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)問題、處理問題、解決問題的思維軌跡往往被掩蓋了。在學(xué)習(xí)中，常

6、常有學(xué)生問：“當(dāng)初的數(shù)學(xué)家是怎樣想到這個問題的？他們是怎能樣發(fā)現(xiàn)證明的方法的？”事實上，理性的認識以感性認識為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的抽象來源于對具體數(shù)學(xué)現(xiàn)象的歸納和總結(jié)。因此，通過開設(shè)數(shù)學(xué)實驗，可使學(xué)生采用歸納的方法和實驗的手段來學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，進入自己體驗數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的境界。（2）培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的素質(zhì)和能力21世紀，各個學(xué)科的發(fā)展正走向“數(shù)學(xué)化”，數(shù)學(xué)的應(yīng)用正走向“普及化”，因此，如何加強“用數(shù)學(xué)”的教育，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和能力，已經(jīng)成為當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要課題。因此，通過開設(shè)數(shù)學(xué)實驗，要使學(xué)生在自己動手、動腦理解數(shù)學(xué)概念和定理、解決一些實際問題的實驗

7、過程中，學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法和過程，逐漸提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力，為更廣泛更深入的數(shù)學(xué)應(yīng)用打下堅實的基礎(chǔ)。（3）培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，促成數(shù)學(xué)教學(xué)的良性循環(huán)長期以來，內(nèi)容多、負擔(dān)重、枯燥乏味、學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，一直困擾著大學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者，與此形成鮮明對照的是受大環(huán)境支配的計算機熱。由同學(xué)自己動手，用他們熟悉的、喜歡“玩”的計算機去理解數(shù)學(xué)中的抽象概念和結(jié)論，去解決幾個經(jīng)過簡化的實際問題，讓學(xué)生親身感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題的“酸甜苦辣”?！白鋈缓笾蛔恪保谂囵B(yǎng)學(xué)生獨立解決問題的能力的同時，也激發(fā)了他們進一步學(xué)好數(shù)學(xué)的舉和積極性，因此，開設(shè)數(shù)學(xué)實驗可以促成數(shù)學(xué)教

8、育的良性循環(huán)。3怎樣做數(shù)學(xué)實驗4 / 32為了做好數(shù)學(xué)實驗，建議實驗者遵循如下步驟：（1） 明確所提出的需要研究和解決的實際問題，這是進行實驗的直接目的，也是進行實驗的主線。（2） 設(shè)計一定的實驗方式對所提出的問題進行觀察和分析。如：建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，計算并列出各種實驗數(shù)據(jù)，畫出函數(shù)曲線進行觀察、比較和思考，進行必要的公式演算和推導(dǎo)，等等，這一實驗步驟往往要借助計算機作為實驗輔助工具，它是做好實驗的基礎(chǔ)。（3） 在完成 上述步驟的過程中，努力發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，并且對實驗結(jié)果和規(guī)律性給出盡可能清晰的描述，同時提出你自己的猜想或見解。（4） 通過數(shù)學(xué)的分析或證明（有時也借助計算機），給出支持你

9、所獲結(jié)論的論證。（5） 總結(jié)全過程，寫也實驗報告。同時，為了達到我們預(yù)期的目標(biāo)，請實驗者盡量做到以下幾點：（1） 要將動手、動腦結(jié)合起來，通過認真的思考設(shè)計出實驗方式，再根據(jù)現(xiàn)有的實驗結(jié)果進行深入的思考，然后再設(shè)計出實驗方式，數(shù)學(xué)實驗就是思考-實驗-再思考-再實驗的循環(huán)往復(fù)過程，最后直至問題完全解決（至少自己比較滿意）。當(dāng)然，通常思考和實驗并沒有明顯的界限，往往是實驗中有思考，思考中有實驗。（2） 在實驗中，要對給出的實驗現(xiàn)象進行認真的觀察和研究，發(fā)現(xiàn)一些值得思考的問題，甚至是某些困惑或懷疑，這是實驗的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。（3） 發(fā)現(xiàn)問題之后，不等、不靠，要通過自己的分析思考和實驗最終使問題得到解決，實

10、驗者應(yīng)該學(xué)習(xí)、體會和掌握的是探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法和過程以及解決實際問題的過程與步驟。理解與計算類數(shù)學(xué)實驗之函數(shù)的極限1.1引1問題：老張在銀行存入1000元，復(fù)利率為10%，分別以按年結(jié)算和按連續(xù)復(fù)利結(jié)算兩種方式計算10年后老張在銀行的存款額。（注：按復(fù)利計算，若每年結(jié)算次，則每個結(jié)算周期的復(fù)利率為, 為年利率。）2分析：令表示年后的存款額，表示年利率，用表示本金，則5 / 32(1)按年結(jié)算 ， ； (2)按復(fù)利結(jié)算，設(shè)每年結(jié)算次，則每個結(jié)算周期的復(fù)利率為，所以10年后的存款額為，而我們所說的是按連續(xù)復(fù)利計算，即一年結(jié)算無數(shù)次，所以按連續(xù)復(fù)利計算的10年后的存款額應(yīng)為.3. 問題的解決：

11、由上述分析可知，第一種結(jié)算方式比較容易計算，只要將表達式輸入并代入具體的數(shù)值，即可得到結(jié)果；第二種結(jié)算方式需要計算極限。本節(jié)重點進行與極限相關(guān)的實驗。1.2實驗?zāi)康?掌握用MATLAB軟件函數(shù)極限的方法。2理解函數(shù)極限的概念。3解決“引”中的實際問題。1.3相關(guān)的知識內(nèi)容1MATLAB用來求極限的命令在MATLAB中求數(shù)列和函數(shù)極限的命令主要是limit,其相應(yīng)的格式與功能見表1.1注（1）limit命令中的極限變量必須是符號形式的變量，使用前需要先定義。 （2）經(jīng)常要用到一個重要的常量-無窮大，在MATLAB中用inf表示。 （3）在MATLAB 中用NaN表示不存在。 表1.1 MATLA

12、B計算極限命令功能表數(shù)學(xué)運算MATLAB命令6 / 32例1.1 計算 的值解 輸入 語句syms x; % 將定義成符號變量limit(exp(-x) % 計算 的值得結(jié)果ans=1, 如再輸入語句f=abs(x)/x; %定義要計算極限的函數(shù)為limit(f,x,0) %求當(dāng)x->0時f的極限得結(jié)果ans=NAN,結(jié)果表明極限不存在。注：如果要了解limit函數(shù)的詳細信息，請查閱幫助文件，只要輸入help limit命令即可。例1.2 求 解 如果在草紙上求該極限，過程如下：（1）先通分得（2）再約分（3）最后算出結(jié)果為-1下面用計算機計算，輸入命令syms x;f=1/(x+1)-

13、3/(x3+1);limit(f,x,-1)得結(jié)果 ans = -1畫出函數(shù)圖形： ezplot(f,-6,6);hold on;x=linspace(-6,6,100); y=linspace(-6,6,100);7 / 32 plot(x,-1,-1,y)結(jié)果如圖 1.1注 （1）語句中ezplot命令是符號函數(shù)特有的繪圖函數(shù)，“，”前面的是函數(shù)值符號變量，后面的是所畫圖形的自變量的取值范圍，要了解它的詳細內(nèi)容，請查閱幫助文件。（2） hold是一個開關(guān)命令，如果輸入并運行了命令hold on，則在其之后運行的繪圖命令將在最近的圖形上作圖，直到遇到hold off命令為止，如果輸入并運行了

14、命令hold off，則在其之后運行的繪圖命令將在空白圖上作圖，直到遇到hold on命令為止。例 1.3 求 .解 輸入命令 syms x;limit(x+1)/(x-1)x,x,inf)8 / 32運行得結(jié)果 ans = exp(2)注 第一個語句用來說明自變量是符號變量，在應(yīng)用時，如果在一個工作空間中要求很多函數(shù)的極限，而這些函數(shù)的自變量都可用x表示，則只說明一次即可。這里的例題所輸入的語句是完全的解題語句。例 1.4 求解 輸入命令 syms x;limit(xx,x,0,' right ')得到結(jié)果ans =1練習(xí) 計算下列極限：（1） （2） （3） （4） （5）

15、 (6) 2. 理解函數(shù)極限的概念 數(shù)列收斂或有極限是指當(dāng)n 無限增大時， 與某常數(shù)無限接近或趨向于某一定值。就圖形而言，也就是其點列以某一平行于y軸的直線為漸近線。例 1.5 解 輸入命令 n=1:100;xn=n./(n+1) %取出數(shù)列的前100項從這前100項（這些項的數(shù)值略，讀者可以在運行結(jié)果中看到）看出，隨著的增大， 越來越大，而且越來越接近1，但始終沒有超過1。畫出的圖形，為此輸入語句9 / 32plot(n,xn,'k')為了更好地看出變化趨勢，可以將n取得再大一些，圖1.2是n=400時，即取出前400項觀察其趨勢的曲線圖。圖 1.2 數(shù)列 的曲線圖 因為我們

16、考察的是數(shù)列，理想的圖形是點列圖，怎樣才能畫出點列圖呢？可以采用如下方法：在最后一個語句的引號中加入“.”，即將語句改為plot(n,xn,'k.') 。試試看，觀察圖形并解釋其原因。還有其他方法嗎？由圖1.2可以看出，隨著n的增大，點列與直線y=1無限接近，因此可得結(jié)論： 再用求極限語句syms n;limit(n/(n+1),n,+inf)求其極限，也得到結(jié)果 ans =110 / 32關(guān)于函數(shù)的極限概念，也可用上述方法理解。例 1.6 分析函數(shù)當(dāng)時的變化趨勢.解 畫出函數(shù)在 上的圖形. x=-1:0.001:1;y= x.*sin(1./x);plot(x,y)運行結(jié)果見

17、圖1.3，從圖形上看，隨著的減小，振幅越來越小且趨近于0，頻率越來越高作無限次振蕩.。再在圖1.3上作出的圖像，hold on;plot(x,x,x,-x) %使用了hold開關(guān)項運行結(jié)果見圖1.4.求其極限syms x;f=x*sin(1/x);圖 1.3 函數(shù)的曲線圖11 / 32圖 1.4 函數(shù)的變化曲線圖 limit(f)得結(jié)果 ans =0例 1.7 分析函數(shù)當(dāng)時的變化趨勢.解 輸入命令，作出函數(shù)圖形（見圖1.5）：hold off;x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y)12 / 32圖 1.5 函數(shù)的曲線圖從圖1.5上看，當(dāng)時，在-1和1之間無限次振蕩，

18、極限不存在。仔細觀察該圖像，發(fā)現(xiàn)圖像的某些峰值不是1和-1，而我們知道正弦曲線的峰值是1和-1，這是由于用plot命令作圖是描點繪圖，自變量的數(shù)據(jù)點選取未必使取到1和-1的緣故，想一想，如何解決這個問題？可以試增加數(shù)據(jù)點，比較它們的結(jié)果。例 1.8 考察函數(shù)當(dāng)時的變化趨勢解 輸入命令，作出函數(shù)圖形（見圖1.6）： x=linspace(-2*pi,2*pi,101);y=sin(x)./x;plot(x,y)其中l(wèi)inspace命令產(chǎn)生等差序列。如：13 / 32linspace(1,2,100); %在1和2之間，包括1和2，插入100個等距離點將語句后面的“；”去掉，觀察運行結(jié)果，可見數(shù)據(jù)

19、點之間的距離不是0.01，要想使步長是0.01，如何處理？只需將命令改為linspace(1,2,101)即可，想一想為什么？圖 1.6 函數(shù)的曲線圖從圖1.6上看，在x=0附近連續(xù)變化，其值與1無限接近，可見.求其極限，由syms x; f=sin(x)/x;limit(f)也得結(jié)果ans =1再求極限，由 limit(f,x,inf)得結(jié)果ans =0limit(f,x,2)14 / 32得結(jié)果ans =1/2*sin(2)可以從中體會極限的要素自變量的變化。練習(xí) 考察 當(dāng)時的變化趨勢提示 可先取正整數(shù)項來觀察趨勢，然后設(shè)法取到一些實數(shù)，讓這些實數(shù)分別取正值逐漸增大和取負值逐漸減小，從中觀

20、察趨勢，進而理解，若當(dāng)時函數(shù)極限存在，則其當(dāng)，時極限都存在，且極限值相等；函數(shù)當(dāng)時極限都存在，則自變量僅取正整數(shù)，函數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)列后，數(shù)列的極限值也存在，且為原函數(shù)的極限值。我們求數(shù)列不定型極限的時候經(jīng)常用到這一結(jié)論。3. 一些數(shù)列極限的討論例 1.9 設(shè)數(shù)列與由下式確定：討論數(shù)列與的極限是否存在.解 編程序如下，觀察與的變化趨勢.xn=1;yn=2;for m=1:6 for n=2:m xN=xn;yN=yn; xn=sqrt(xN*yN); yn=(xN+yN)/2; end fprintf('%12.8f',xn) fprintf('%12.8f',yn)

21、end15 / 32 運行該程序，觀察列與的變化趨勢，可以看出，單調(diào)增加，單調(diào)減少，且與應(yīng)該都有極限的，且相等。 設(shè)法用數(shù)學(xué)的理論證明所觀察到的結(jié)論。（1）先證明單調(diào)增加，單調(diào)減少，且 顯然，由此及，的定義式有 假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即則 由數(shù)學(xué)歸納法，可知單調(diào)增加，單調(diào)減少，且（2） 證明數(shù)列，的極限都存在 由（1）的結(jié)論有即單調(diào)增加有上界，單調(diào)減少有下界，所以兩數(shù)列均存在極限。例 1.10 已知數(shù)列，由確定的數(shù)列稱為數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)列。設(shè)由例1.9給出，觀察數(shù)列有無 極限。解 可編程序如下：xn=1;yn=2;for m=1:1000:8000 s=1;s=2.(1/2)-1 for n

22、=2:m xN=xn;yN=yn;16 / 32 xn=sqrt(xN*yN); yn=(xN+yN)/2; s=s+xn; end fprintf('%12.8f',xn) fprintf('%12.8f',s/m)end將運行結(jié)果列成表1.2.表1.2 數(shù)列與其算術(shù)平均數(shù)列對比表nn10001.456791031.4562913550001.456791031.4566996720001.456791031.4565626460001.456791031.4567149030001.456791031.4566387770001.456791031.4567

23、257840001.456791031.4566768380001.456791031.45673393由計算結(jié)果可以初步斷定，數(shù)列存在極限且與的極限相等，即另外，從計算結(jié)果還可以看出，上面兩個數(shù)列雖然收斂到同一數(shù)值，但其收斂速度卻有很大的區(qū)別。當(dāng)n=100時，；當(dāng)n=8000時，這說明的收斂速度遠遠慢于的收斂速度。證明所觀察到的結(jié)論：若存在，則17 / 32設(shè)，則，存在使當(dāng)時，.于是因為與無關(guān)，可視為常數(shù)，故存在，使當(dāng)時有取，則當(dāng)時有故練習(xí) 選擇其他收斂數(shù)列，觀察該數(shù)列的極限與其算術(shù)平均數(shù)列的極限的關(guān)系。18 / 32理解與計算類數(shù)學(xué)實驗之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù) 2.1 引 1. 問題：要求設(shè)計

24、一張菜單欄的豎向張貼海報，它的印刷面積為，上下空白各，兩邊空白各，如何確定海報尺寸可使四周空白面積最小？ 圖 2.1 2. 分析：設(shè)印刷面積由從上到下長為和從左到右寬構(gòu)成，則按照設(shè)計要求（如圖2.1）,有xy=128.要求x,y,使得陰影面積為，則.這是一個關(guān)于兩個自變量x,y的條件極值問題： . 由式可解得 將式代入式中化為關(guān)于一個自變量x的普遍極值問題：3. 問題的解決：可見這個函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，所以極值點必定是其駐點，因此需要求使的點,要達到這一目的，需要做兩件事：（1）求導(dǎo)；（2）求導(dǎo)函數(shù)的零點。然后再進一步判斷其是否是極小值點，最后求出最小值點坐標(biāo)，將其代入式求出，該問題解決。本節(jié)重點

25、進行與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實驗。2.2 實驗?zāi)康?9 / 321. 進一步理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義。2. 學(xué)習(xí)MATLAB的求導(dǎo)函數(shù)和求導(dǎo)方法。3. 求解“引”中的實際問題。2.3 實驗內(nèi)容1. 相關(guān)的MATLAB命令（1） syms x y z s t %建立多個符號變量 x ，y ，z，s，t；（2） MATL AB的求導(dǎo)函數(shù)是diff，其調(diào)用格式為 diff(函數(shù)f(x) %求 的一階導(dǎo)數(shù)如輸入語句syms x ; f=x*sin(x);diff(f)結(jié)果為ans=sin(x)+x*cos(x).diff(函數(shù)f(x),n) %求 的n階導(dǎo)數(shù) (是具體整數(shù))如接上例直接輸入diff(f,2)得結(jié)

26、果為ans=2*cos(x)-x*sin(x).diff(函數(shù)f(x,y),變量名x) %求對的偏導(dǎo)數(shù)如輸入語句syms x y;f=exp(x2+y2)*sin(x+2*y);diff(f,x)得結(jié)果ans =2*x*exp(x2+y2)*sin(x+2*y)+exp(x2+y2)*cos(x+2*y)；20 / 32再執(zhí)行diff(f,y)得結(jié)果ans =2*y*exp(x2+y2)*sin(x+2*y)+2*exp(x2+y2)*cos(x+2*y).diff(函數(shù)f(x,y),變量名x,n) %求)對的階偏導(dǎo)數(shù)如接上例直接運行diff(f,x,2)得結(jié)果ans =exp(x2+y2)*

27、sin(x+2*y)+4*x2*exp(x2+y2)*sin(x+2*y)+4*x*exp(x2+y2)*cos(x+2*y).思考 如何用該函數(shù)求混合偏導(dǎo)數(shù)？提示 可以分兩步進行求解.（3） 求雅可比矩陣命令jacobian,其調(diào)用格式為Jacobian(函數(shù)f(x,y,z);函數(shù)g(x,y,z);函數(shù)h(x,y,z),x,y,z)其功能是求出矩陣如輸入語句syms x y;f=exp(x2+y2)*sin(x+2*y);g=sin(x2+y);jacobian(f,g,x,y)其運行結(jié)果為ans = 2*x*exp(x2+y2)*sin(x+2*y)+exp(x2+y2)*cos(x+2*

28、y), 2*y*exp(x2+y2)*sin(x+2*y)+2*exp(x2+y2)*cos(x+2*y)21 / 32 2*cos(x2+y)*x, cos(x2+y).（4） 求一個函數(shù)零點的函數(shù)fzero,其調(diào)用格式為fzero('f',a) %求函數(shù)f在x=a附近的零點 fzero('f',a,b) %求函數(shù)f在a,b區(qū)間內(nèi)的零點 如輸入語句fzero('sin(x)',2)得結(jié)果ans =3.1416；再輸入語句fzero('sin(x)',1,4)也得到相同的結(jié)果.2. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)（1） 求y=f(x)的一階

29、導(dǎo)數(shù)例 2.1 求的導(dǎo)數(shù).解 輸入命令 diff(x+2)/(2*x(1/2)*log(x)得到結(jié)果ans =1/2/x(1/2)*log(x)-1/4*(x+2)/x(3/2)*log(x)+1/2*(x+2)/x(3/2)注 開方也可以用函數(shù)sqrt(x)表示，結(jié)果相同.練習(xí) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 思考 利用MATLAB命令如何實現(xiàn)一次求出若干個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？例 2.2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) (2) 22 / 32(3) (4) 解 輸入命令A(yù)=jacobian(sqrt(x2-2*x+5),cos(x2)+2*cos(2*x),4(sin(x),log(log(x),x)運行得結(jié)果A =

30、 1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2) -2*sin(x2)*x-4*sin(2*x) 4sin(x)*cos(x)*log(4) 1/x/log(x)輸入dy1_dx=A(1);dy1_dx得到結(jié)果dy1_dx =1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2)輸入 dy2_dx=A(2);dy2_dx得到結(jié)果dy2_dx =-2*sin(x2)*x-4*sin(2*x) 輸入dy3_dx=A(3);dy4_dx=A(4);dy3_dx,dy4_dx得到結(jié)果dy3_dx =4sin(x)*cos(x)*log(4)dy4_dx =1/x/log(x)（2） 求由參數(shù)方

31、程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)理論依據(jù) 設(shè)參數(shù)方程確定的函數(shù)為,則的導(dǎo)數(shù)23 / 32例 2.3 設(shè)解 輸入命令syms t a;x=a*(t-sin(t);y=a*(1-cos(t); %輸入?yún)?shù)方程dy_dx=diff(y,t)/diff(x,t) %求導(dǎo)數(shù)得結(jié)果dy_dx =sin(t)/(1-cos(t)3. 理解導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)是其在點處的變化率，其幾何意義是曲線在點處的切線的斜率。（1） 函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)是一個極限值例2.4 設(shè)，用定義計算。解 在某一點的導(dǎo)數(shù)定義為極限 .我們記，輸入命令 syms h;limit(exp(0+h)-exp(0)/h,h,0)得結(jié)果

32、ans=1.可知再輸入語句 diff(exp(x)得到飛的導(dǎo)函數(shù)：24 / 32 ans=exp(x),而輸入 exp(0)得ans=1,即也得到.（2） 函數(shù)自點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點處的切線的斜率.例2.5 畫出在點P(0,1)處的切線及若干條割線，觀察割線的變化趨勢，理解導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義. 解 在曲線上另取一點，則PM的方程為 即. 分別取h=3，2，1，0.5，作出幾條割線.在作出在點P（0，1）處以為斜率的直線，觀察割線和該直線之間的關(guān)系，語句如下： h=3,2,1,0.5; %在曲線上取不同的點 a=(exp(h)-1)./h; %計算連接點M和點P的各條割線的斜率 x

33、=-1:0.1:3; %選定圖形的自變量范圍 plot(x,exp(x),'r'); %作出的圖形 hold on; %以后再最近一幅圖上繼續(xù)作圖 for i=1:4 plot(h(i),exp(h(i),'r.') %作出各個點M plot（x,a(i)*x+1） %作出各條割線的圖形 end axis square %把所有圖形放在一個正方形框內(nèi) Plot(x,x+1,'g') %畫出過點P以為斜率的直線圖形運行結(jié)果見圖2.2，從圖上容易看出，隨著點M與點P越來越近，割線PM越來越接近曲線的切線.25 / 32 圖2.2 在點P（0，1）處的

34、切線和割線圖思考 如何處理圖形能更好地說明該問題？理解與計算類數(shù)學(xué)實驗之積分3.1 引 1.問題：近年來，世界范圍內(nèi)每年的石油消耗率呈指數(shù)增長，增長指數(shù)大約為0.07.1970年初，消耗率大約為每年161億桶.設(shè)R(t)表示從970年起第t年的石油消耗率，則億桶，試用此式估計從1970年到1990年間石油消耗的總量。 2.分析：設(shè)T(t)表示從1970年起（t=0）直到第t年的石油消耗總量，我們求從1970年到1990年間石油消耗的總量，即求T(20)。由于T(t)是石油消耗的總量，所以就是石油消耗率，即，那么T(t)就是的一個原函數(shù)，而且滿足. 3.問題的解決：由上面的分析可知，問題的最后解

35、決歸為求石油消耗率函數(shù)的原函數(shù)，即求它的不定積分，本節(jié)重點進行與積分相關(guān)的實驗。3.2 實驗?zāi)康?1.加深理解定積分定義中的分割、近似、求和、取極限的思想方法。2. 掌握MATLAB求不定積分、定積分和廣義積分的方法。3. 解決“引”中的實際問題。26 / 323.3 實驗內(nèi)容 1.MATLAB的相關(guān)命令語句（1） 求和函數(shù)sumSum(x)，給出向量x的各個元素的累加和。如果x是矩陣，則sum(X)是一個行向量，每個元素是x的對應(yīng)列上所有元素的和。例3.1 輸入x=1:100;sum(x) 可得結(jié)果ans=5050.例3.2 輸入 x=1:5;6:10;11:15 得結(jié)果 X=1 2 3 4

36、 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 15 輸入 sum(x)得結(jié)果 ans=18 21 24 27 30（2） 求和命令symsum它是一個符號求和函數(shù)，其結(jié)果有符號的數(shù)值倆種。syms k;symsum(k) %求從1到k-1所有自然數(shù)的和ans =1/2*k2-/2*k.syms k n;symsum(k2,0,n) %求從0到n所有的自然數(shù)的平方和ans 1/3*(n+1)3-1/2*(n+1)2+1/6*n+1/6. 在上例中如果上限不是符號而是具體的數(shù)值，則求和的結(jié)果也是數(shù)值，如syms m;symsum(m,0,100)ans =5050.該函數(shù)也可以有四個輸入?yún)?/p>

37、數(shù)，如syms m n;n=log(m);27 / 32symsum(n,m,1,10) %求函數(shù)n中變量m從1東10的所有函數(shù)值之和ans =log(2)+log(3)+log(4)+log(5)+log(6)+log(7)+log(8)+log(9)+log(10)symsum(log(m),1,10) ans =log(2)+log(3)+log(4)+log(5)+log(6)+log(7)+log(8)+log(9)+log(10)可見兩個結(jié)果完全一樣，如果要求和的表達式需要反復(fù)應(yīng)用，則最好采用第一種書寫方式，億減少表達式的重復(fù)輸入。練習(xí) 計算問題 能否用其求級數(shù)的和？提示 只要將求和的上限寫成無窮大即可。（3） MATLAB的積分命令int，格式如下：int（函數(shù)） %計算不定積分int（函數(shù)變量名） %計算不定積分int（函數(shù)，a，b） %計算不定積分int（函數(shù)，變量名，a，b） %計算不定積分注 函數(shù)int中的變量都是符號變量。如syms x;y=x3;int(y)該語句和syms x；int(x3)是等價的，結(jié)果都是ans=1/4*x4.2. 計算積分（1） 計算不定積分例3.3 計算解 輸入命令28 / 32syms x;y=exp(x)*sin(x);int(y)得結(jié)果ans =-1/2*exp(x)cos(x)+1/2*exp(x)*sin(