平面解析幾何初步練習(xí)

1、圓的方程，直線方程1、 標(biāo)準(zhǔn)方程、1.求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法關(guān)鍵是求出圓心和半徑待定系數(shù)：往往已知圓上三點(diǎn)坐標(biāo) 利用平面幾何性質(zhì)往往涉及到直線與圓的位置關(guān)系，特別是：相切和相交 相切：利用到圓心與切點(diǎn)的連線垂直直線相交：利用到點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理2.特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)法（無需記，關(guān)鍵能理解）條件方程形式圓心在原點(diǎn)過原點(diǎn) 圓心在軸上 圓心在軸上圓心在軸上且過原點(diǎn)圓心在軸上且過原點(diǎn)與軸相切與軸相切 與兩坐標(biāo)軸都相切 二一般方程1圓的一般方程為，圓心坐標(biāo)，半徑為。方程表示圓的充要條件是當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)，表示圓心為（-,-），半徑為的圓；當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)（-，-）；當(dāng)

2、D2+E2-4F0時(shí)，它不表示任何圖形.?？捎脕砬笥嘘P(guān)參數(shù)的范圍2.以為直徑端點(diǎn)的圓方程為3.若圓與軸相切，則;若圓與軸相切，則 4. 若圓關(guān)于軸對稱，則； 若圓關(guān)于軸對稱，則；若圓關(guān)于軸對稱，則； 5、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：在圓內(nèi)在圓上在圓外三圓的參數(shù)方程，為參數(shù)，為參數(shù)3在求圓的方程時(shí)，常用到圓的以下幾個(gè)性質(zhì)：圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線.四、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.判斷方法：點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓外2涉及最值：（1）求與圓有關(guān)的最值問題多采用幾何法，就是利用一些代數(shù)式的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.如形如

3、m=的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為直線在y軸上的截距的最值問題；形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離平方的最值問題.(2)特別要記住下面兩個(gè)代數(shù)式的幾何意義：表示點(diǎn)（x,y）與原點(diǎn)（0,0）連線的直線斜率.表示點(diǎn)（x,y）與原點(diǎn)的距離.3 （1）圓外一點(diǎn)，圓上一動點(diǎn)，討論的最值（2）圓內(nèi)一點(diǎn)，圓上一動點(diǎn)，討論的最值思考：過此點(diǎn)作最短的弦？（此弦垂直）五直線與圓的位置關(guān)系1.判斷方法（為圓心到直線的距離）（1）相離沒有公共點(diǎn)（2）相切只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）相交有兩個(gè)公共點(diǎn)2.直線與圓相切：圓心到直線的距離恰好等于半徑常

4、見題型求過定點(diǎn)的切線方程切線條數(shù)：點(diǎn)在圓外兩條；點(diǎn)在圓上一條；點(diǎn)在圓內(nèi)無求切線方程的方法及注意點(diǎn)i）點(diǎn)在圓外：如定點(diǎn)，圓：， 第一步：設(shè)切線方程 第二步：通過，從而得到切線方程特別注意：以上解題步驟僅對存在有效，當(dāng)不存在時(shí)，應(yīng)補(bǔ)上千萬不要漏了！如：過點(diǎn)作圓的切線，求切線方程.答案：和ii）點(diǎn)在圓上（1）若點(diǎn)在圓上，則切線方程為會在選擇題及填空題中運(yùn)用，但一定要看清題目.（2）若點(diǎn)在圓上，則切線方程為 碰到一般方程則可先將一般方程標(biāo)準(zhǔn)化，然后運(yùn)用上述結(jié)果.iii)求切點(diǎn)弦方程：過圓外一點(diǎn)作圓的兩切線，則兩切點(diǎn)相連的方程為求切線長：利用基本圖形， 求切點(diǎn)弦的長度：圓外一點(diǎn)作圓的兩切線與圓相切于M,

5、N兩點(diǎn)，則切點(diǎn)弦=求切點(diǎn)坐標(biāo)：利用兩個(gè)關(guān)系列出兩個(gè)方程直線被圓截得的弦長（r為半徑，d為弦心距）過圓C外一點(diǎn)P作圓的切線PA（A為切點(diǎn)），則切線長（C為圓心3.直線與圓相交（1）求弦長及弦長的應(yīng)用問題垂徑定理及勾股定理常用（2）判斷直線與圓相交的一種特殊方法（一種巧合）：直線過定點(diǎn)，而定點(diǎn)恰好在圓內(nèi).（3）關(guān)于點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題例：若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是_. 答案：4. 直線與圓相離 會對直線與圓相離作出判斷六、圓與圓的位置關(guān)系1(1)設(shè)兩圓半徑分別為，圓心距為d 若兩圓相外離，則 ，公切線條數(shù)為4 若兩圓相外切,則，公切線條數(shù)為3 若兩圓相交，則，公切線條數(shù)為2若

6、兩圓內(nèi)切，則，公切線條數(shù)為1若兩圓內(nèi)含，則，公切線條數(shù)為02 圓系問題1 以為圓心的圓心系方程是2 與同心的圓系方程是：3過同一定點(diǎn)的圓系方程是：4過兩圓：和：交點(diǎn)的圓系方程為（） 5過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程為說明：1上述圓系不包括； 2當(dāng)時(shí)，表示過兩圓交點(diǎn)的直線方程（公共弦）3當(dāng)兩圓相切（內(nèi)且或外切）時(shí)，則l為過兩圓公共切點(diǎn)的直線方程。 4若與相離，則表示連心線的中垂線方程.3兩圓公切線的條數(shù)問題1相內(nèi)切時(shí)，有一條公切線；相外切時(shí)，有三條公切線；相交時(shí)，有兩條公切線；相離時(shí)，有四條公切線求過圓C外一點(diǎn)P的圓的切線方程求法：待定系數(shù)法：設(shè)切線方程為，即，然后用“圓心到切線的距離等于圓的半徑”列

7、方程求k（一般有兩個(gè)k,若只有一個(gè)k,則另一條切線為）從而寫出切線方程。七1、把握直線與圓的位置關(guān)系的三種常見題型：相切求切線相交求距離相離求圓上動點(diǎn)到直線距離的最大（?。┲担?、解決直線與圓的位置關(guān)系問題用到的思想方法有：數(shù)形結(jié)合，善于觀察圖形，充分運(yùn)用平面幾何知識，尋找解題途徑；等價(jià)轉(zhuǎn)化，如把切線長的最值問題轉(zhuǎn)化為圓外的點(diǎn)到圓心的距離問題，把公切線的條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系問題，把弦長問題轉(zhuǎn)化為弦心距問題等待定系數(shù)法，還要合理運(yùn)用“設(shè)而不求”，簡化運(yùn)算過程3、圓與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心距與兩圓半徑之和或半徑之差的關(guān)系；公共弦滿足的條件是：連心線垂直平分公共弦.典型例題講解一 ：求圓方程

8、1已知一圓過P（4，-2）、Q（-1，3）兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4，求圓的方程2已知圓的半徑為，圓心在直線y=2x上，圓被直線x-y=0截得的弦長為4.3 設(shè)方程x2+y22(m+3)x+2(14m2)y+16m4+9=0。（1）當(dāng)且僅當(dāng)m在什么范圍內(nèi)，該方程表示一個(gè)圓。（2）當(dāng)m在以上范圍內(nèi)變化時(shí)，求半徑最大的圓的方程。（3）求圓心的軌跡方程解析（1）由得：，化簡得：，解得：。所以當(dāng)時(shí)，該方程表示一個(gè)圓。（2）r=,當(dāng) 時(shí)，（3）設(shè)圓心，則，消去得所求的軌跡方程為【名師指引】（1）已知圓的一般方程,要能熟練求出圓心坐標(biāo)、半徑及掌握方程表示圓的條件；（2）第3問求圓心的軌跡方程，使用了

9、參數(shù)法，即把x,y都表示成m的函數(shù)，消去參數(shù)可得到方程，用此法要注意變量x,y的范圍4 （1）求經(jīng)過點(diǎn)A(5,2),B(3,2),圓心在直線2x-y-3=0 上的圓的方程； （2）求以O(shè)(0,0),A(2,0),B(0,4)為頂點(diǎn)的三角形OAB外接圓的方程?！窘忸}思路】根據(jù)條件，列方程組求參數(shù)解析（1）設(shè)圓心,則有，所求圓的方程為（2）采用一般式，設(shè)圓的方程為，將三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得：故所求圓的方程為【名師指引】(1)求圓的方程必須滿足三個(gè)獨(dú)立條件方可求解，選擇方程的形式，合理列出方程組是關(guān)鍵，(2)當(dāng)條件與圓心、半徑有關(guān)時(shí)常選擇標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)條件是圓經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)時(shí)，常選用一般方程5.若，

10、方程表示的圓的個(gè)數(shù)為（ ）.A、0個(gè) B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè)解析:B得，滿足條件的只有一個(gè)，方程表示的圓的個(gè)數(shù)為1.6已知圓和軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長為，求圓的方程7 若圓的圓心到直線的距離為,則a的值為（ ）A-2或2BC2或0D-2或0解析: C 圓的圓心為（1，2），或28. 與兩坐標(biāo)軸都相切，且過點(diǎn)（2，1）的圓的方程為解析或4.動點(diǎn)P到點(diǎn)A(8,0)的距離是到點(diǎn)B(2,0)的距離的2倍，那么點(diǎn)的軌跡方程為（ ）A. B. C. D.解析B設(shè)，則，化簡得9方程表示的圖形是（ ） A點(diǎn) B點(diǎn) C以為圓心的圓 D以為圓心的圓10過點(diǎn)A（1，-1）、B（-1，1）且圓心

11、在直線x+y-2=0上的圓的方程是A(x-3)2+(y+1)2=4 B、(x+3)2+(y-1)2=4 C、(x-1)2+(y-1)2=4 D、(x+1)2+(y+1)2=411以點(diǎn)A(1,4)、B(3,-2)為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的方程為 、12根據(jù)下列條件求圓的方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)P（1，1）和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x+3y+1=0上；（2）圓心在直線y=-4x上，且與直線l:x+y-1=0相切于點(diǎn)P（3，-2）；（3）過三點(diǎn)A（1，12），B（7，10），C（-9，2）.規(guī)律方法：求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法：（1）幾何法，通過研究圓的性質(zhì)而

12、求出圓的基本量；（2）代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.13求圓心在y軸上，且與直線直線都相切的圓的方程.14求經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），B（4，6）且圓心在直線x2y2=0上的圓的方程;15方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圓心為C（2，2），半徑為2的圓，則a、b、c的值依次為（A）2、4、4； （B）-2、4、4； （C）2、-4、4； （D）2、-4、-416.求經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程:17.若方程表示一個(gè)圓，則的取值范是 18. 已經(jīng)圓與軸相切，則19. 已知方程表示一個(gè)圓，20. （1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求該圓半徑r的取值范圍；（3）求圓心的軌跡方程；20方程表示的圖形

13、是（）D以為圓心，為半徑的圓 以為圓心，為半徑的圓以為圓心，為半徑的圓 以為圓心，為半徑的圓21方程表示的圖形是（ B ） A點(diǎn) B點(diǎn)C以為圓心的圓 D以為圓心的圓22一圓與y軸相切，圓心在直線x3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2，求此圓的方程.【解題思路】因題目條件與圓心、半徑關(guān)系密切，選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與弦長有關(guān)的問題，一般要利用弦心距、半徑、半弦長構(gòu)成的“特征三角形” 解析：因圓與y軸相切，且圓心在直線x3y=0上，故設(shè)圓方程為（x3b）2+（yb）2=9b2.又因?yàn)橹本€y=x截圓得弦長為2，則有（）2+（）2=9b2，解得b=±1.故所求圓方程為（x3）2+（y1）2=

14、9或（x+3）2+（y+1）2=9.【名師指引】在求圓的方程時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：（1）確定用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是一般方程；（2）運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)（如本例的相切、弦長等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）在待定系數(shù)法的應(yīng)用上，列式要盡量減少未知量的個(gè)數(shù).23.已知圓的方程為.是該圓過點(diǎn)（3，5）的11條弦的長，若數(shù)列是等差數(shù)列,則 數(shù)列的公差的最大值為解析圓心坐標(biāo)為（3，4），半徑為5，圓的弦長的最小值和最大值分別是和10，求與圓外切于點(diǎn)，且半徑為的圓的方程解析：設(shè)所求圓的圓心為，則解得：，所求圓的方程為.24已知以點(diǎn)C(t,)(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A，與y軸交于點(diǎn)O、B

15、，其中O為原點(diǎn).(1)求證：OAB的面積為定值；(2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M、N，若OM=ON，求圓C的方程.二圓的對稱問題1.若圓，關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)的值為_.答案：3（注意：時(shí)，故舍去）2已知點(diǎn)是圓:上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在圓上，則實(shí)數(shù)_.3.圓關(guān)于直線對稱的曲線方程是_.4已知圓：與圓：關(guān)于直線對稱，則直線的方程為_.5圓關(guān)于點(diǎn)對稱的曲線方程是_.6圓關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)撥：圓關(guān)于直線對稱的實(shí)質(zhì)是圓心在直線上，因此可將圓心坐標(biāo)代入直線方程解決解析：7圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為點(diǎn)撥：兩圓和關(guān)于直線對稱，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)對稱問題（即圓心和關(guān)于直線對稱且半徑相等），也可以用相關(guān)

16、點(diǎn)法來處理，后一種方法更有推廣價(jià)值解析：方法1：原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為（1，1），所以圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為方法2：設(shè)是圓上一動點(diǎn)，它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則在圓，圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為8.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x2+y2+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對稱，又滿足·=0.(1)求m的值； (2)求直線PQ的方程.9若圓x2+y2=4和圓x2+y2+4x-4y+4=0關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（ D ） Ax+y=0 Bx+y-2=0 Cx-y-2=0 Dx-y+2=010圓x2+y2+6x-7=0和圓x2+y2+6y-27=0的位置關(guān)系是（ B

17、 ） A 相切 B 相交 C 相離 D內(nèi)含11與圓(x-2)2+(y+1)2=1關(guān)于直線x-y+3=0成軸對稱的圓的方程是（ D ） A(x-4)2+(y+5)2=1 B(x-4)2+(y-5)2=1C(x+4)2+(y+5)2=1 D(x+4)2+(y-5)2=112若直線（，），始終平分圓的周長，則的取值范圍是_.13已知圓：，問：是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的弦為，以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，若存在，寫出直線的方程，若不存在，說明理由. 提示：或弦長公式. 答案：或14.圓(x+2)2+y2=5關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為( )A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5 C

18、.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5解析：圓(x+2)2+y2=5的圓心(-2，0)關(guān)于y=x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-2)，所以，所求圓的方程是x2+(y+2)2=5.答案：D15若圓x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0關(guān)于直線x-y+1=0對稱，則實(shí)數(shù)a的值為_.答案：3三圓的切線問題1過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程為A.B.C.D.解析：以線段為直徑的圓的方程為，經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線就是兩圓的公共弦所在的直線，將兩圓的方程相減得，這就是經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程，選A.2從圓(x-1)2+(y-1)2=1外一點(diǎn)P(2,3)向這個(gè)圓引切線，則切線長為_.

19、答案：2解析：圓心(1,1)，則|PC|2=5，切線長=2.3求過點(diǎn)向圓所引的切線方程。4已知圓和軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長為，求圓的方程。5設(shè)m>0，則直線（x+y）+1+m=0與圓x2+y2=m的位置關(guān)系為A.相切 B.相交 C.相切或相離D.相交或相切解析：圓心到直線的距離為d=，圓半徑為.dr=（m2+1）=（1）20，直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離.所以選C點(diǎn)評：判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法(代數(shù)法、幾何法)中，幾何法更簡便.6圓x2+y24x=0在點(diǎn)P（1，）處的切線方程為（ ）A. x+y2=0B. x+y4=0 C.xy+4=0D.xy+2=0解法一：

20、x2+y24x=0y=kxk+x24x+（kxk+）2=0. 該二次方程應(yīng)有兩相等實(shí)根，即=0，解得k=.y=（x1），即xy+2=0.解法二：點(diǎn)（1，）在圓x2+y24x=0上，點(diǎn)P為切點(diǎn)，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直.又圓心為（2，0），·k=1. 解得k=，切線方程為xy+2=0. 答案：D解法三：設(shè)切線方程為y-=k（x1），即kx-y +k=0.“R-r”方法得之.7：圓x2+y24x=0在點(diǎn)P（4，0）處的切線方程為.(答案：x=4)8過點(diǎn)P（4，1）作圓x2+y24x=0的切線，則切線方程為.(答案：x=4或3x+4y-16=0)9直線與圓相切，則實(shí)數(shù)等于解析:：圓心

21、為，半徑為，或10若直線相切，則的值為（ ） A1或-1 B2或-2 C1 D-111自點(diǎn)的切線，則切線長為（ ）(A) (B) 3 (C) (D) 512若直線(1+a)x+y+1=0與圓x2+y2-2x=0相切，則a的值為 A、1，-1 B、2，-2 C、1 D、-113過點(diǎn)P(-1,6)且與圓相切的直線方程是_.14斜率為1的直線被圓截得的弦長為，則直線的方程為15例4、已知圓,是軸上的動點(diǎn),、分別切圓于兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），求切線、的方程；(2)求四邊形的面積的最小值；(3)若，求直線的方程.解題思路:(2)用一個(gè)變量表示四邊形的面積(3)從圖形中觀察點(diǎn)滿足的條件解析：（1

22、）設(shè)過點(diǎn)的圓的切線方程為，則圓心到切線的距離為1，或0，切線、的方程分別為和（2），（3）設(shè)與交于點(diǎn)，則，在中，即設(shè)，則直線的方程為或點(diǎn)評：轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵，如：第2問把切線長轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓心的距離；第3問把弦長轉(zhuǎn)化為圓心到弦所在直線的距離，再利用射影定理轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓心的距離。弦長、切線長問題經(jīng)常要這種轉(zhuǎn)化16例1求過點(diǎn)，且與圓相切的直線的方程解：當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)設(shè)切線方程為，即，圓心到切線的距離等于半徑，解得， 切線方程為，即，當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑，故直線也適合題意。所以，所求的直線的方程是或四：圓的最值問題1.充分利用圓的幾何性

23、質(zhì)解題圓上的動點(diǎn)到已知直線（或點(diǎn)）的距離的最大值和最小值，轉(zhuǎn)化為圓心到已知直線（或點(diǎn)）的距離來處理1已知圓和點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，求面積的最小值點(diǎn)拔:圓心(4,3)到直線的距離為,P到直線的距離的最小值為，求面積的最小值為2 若直線ax+2by-2=0(a0,b0)始終平分圓x2+y2-4x-2y-8=0的周長，則+的最小值為( A.1 B.5 C.4 D.3+2 答案：D3已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0.設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為( )A.10 B.20 C.30 D.40 答案：B4已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.（1

24、）求的最大值和最小值；2）求y-x的最大值和最小值（3）求x2+y2的最大值和最小值.規(guī)律方法：化x、y滿足的關(guān)系式為(x-2)2+y2=3，明確、y-x、x2+y2的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解.5已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求的最大值和最小值.（2）求x-2y的最大值和最小值.（3）求點(diǎn)P（x,y）到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值.6已知兩點(diǎn)A(-2,0)，B(0,2),點(diǎn)C是圓x2+y2-2x=0上任意一點(diǎn)，則ABC面積的最小值是( )A.3- B.3+ C.3- D. 答案：A7已知圓，求（1）的最大值（2）的最大值與最小值（3）的最小值【解題思路】

25、根據(jù)所求式子的幾何意義求解或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解析（1）表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方因圓心到點(diǎn)的距離為2，的最大值為3，從而的最大值為9方法2：設(shè)，則（2）表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以的最大值與最小值是直線與圓相切時(shí)的斜率，設(shè)直線的方程為，由得，的最大值與最小值分別為和（3）設(shè)，則解法2：設(shè)，則，代入圓的方程并化簡得：，解得：【名師指引】（1）與圓有關(guān)的最值的求法有：幾何法、函數(shù)法、判別式法（2）用幾何法時(shí)，要見“數(shù)”想“形”，即所求式子的幾何意義（3）用函數(shù)法時(shí)，常用三角換元8已知滿足,則的最小值為解析表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，所以的最小值是直線與圓相切時(shí)的斜率，設(shè)直線的方程為，即由

26、得，的最大值與最小值分別為9已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓及其內(nèi)部所覆蓋()試求圓的方程()若斜率為1的直線與圓C交于不同兩點(diǎn)滿足,求直線的方程解:()由題意知此平面區(qū)域表示的是以構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,且是直角三角形,所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,故圓心是(2,1),半徑是,所以圓的方程是 ()設(shè)直線的方程是:因?yàn)?所以圓心到直線的距離是,即解得: 所以直線的方程是: 10已知圓C：，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在,求出直線l的方程;若不存在說明理由。解：圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標(biāo)為（a，b）由于CM 

27、l，kCM×kl= -1 kCM=， 即a+b+1=0，得b= -a-1 直線l的方程為y-b=x-a，即x-y+b-a=0 CM=以AB為直徑的圓M過原點(diǎn)，把代入得，當(dāng), 直線l的方程為x-y-4=0；當(dāng), 直線l的方程為x-y+1=0故這樣的直線l是存在的，方程為x-y-4=0 或x-y+1=011.已知x、y滿足x2+y2-4x-6y+12=0，則x2+y2的最小值為_.解析：點(diǎn)（x,y）在圓(x-2)2+(y-3)2=1上，故點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)距離的平方即x2+y2的最小值為(-1)2=14-2.答案：14-212.已知圓x2+y2+kx+2y=-k2，當(dāng)該圓的面積取最大值時(shí)

28、，圓心坐標(biāo)為_.答案：(0,-113已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.方法主要有三種：（1）數(shù)形結(jié)合；（2）代換；（3）參數(shù)方程14.已知實(shí)數(shù)，滿足方程，求：（1）的最大值和最小值；看作斜率（2）的最小值；截距（線性規(guī)劃）（3）的最大值和最小值.兩點(diǎn)間的距離的平方15已知中，點(diǎn)是內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求以，為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小值.數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！16設(shè)為圓上的任一點(diǎn)，欲使不等式恒成立，則的取值范圍是_. 答案：（數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！）17點(diǎn)在直線上，求的最小值。18若

29、直線經(jīng)過圓的圓心，則的最小值是（ ）ABC4D2解：圓心為，19設(shè)A為圓上一動點(diǎn)，則A到直線的最小距離為_.20有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：A地每千米的運(yùn)費(fèi)是B地每千米運(yùn)費(fèi)的3倍.已知A、B兩地距離為10 km，顧客選擇A地或B地購買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低.求P地居民選擇A地或B地購貨總費(fèi)用相等時(shí)，點(diǎn)P所在曲線的形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購物地點(diǎn).規(guī)律方法：審清題意，根據(jù)題意求軌跡方程.求方程前必須建立平面直角坐標(biāo)系，否則曲線就不能轉(zhuǎn)化為方程，坐標(biāo)系選取得當(dāng)，可使運(yùn)算過程簡單，所得方程也

30、較簡單.221直線l:4x-3y-12=0與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AOB內(nèi)切圓的方程為( )A. (x-1)2+(y+1)2=1 B.(x-1)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y+1)2= D.(x-1)2+(y+1)2=2 答案：A解析：A(3,0),B(0,-4)，O（0，0），內(nèi)切圓的半徑r=1，由圖象知，圓心為(1,-1),方程為(x-1)2+(y+1)2=1，故選A.22已知圓O的方程為x2+y2=4，P是圓O上的一個(gè)動點(diǎn)，若OP的垂直平分線總是被平面區(qū)域|x|+|y|a覆蓋，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.答案：a1解析：易知OP的垂直平分線即為單位圓的切線

31、，當(dāng)a0時(shí)，平面區(qū)域即坐標(biāo)平面，顯然滿足題意；當(dāng)a0時(shí)，由圖象易知0a1，綜上，a1.五圓與直線的位置關(guān)系1設(shè)，則直線與圓的位置關(guān)系為A 相切 B相交 C相切或相離D相交或相切2已知圓：，直線：（）（1）證明：不論取什么值，直線與圓均有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求其中弦長最短的直線方程.3.若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍.4已知點(diǎn)P(x,y)是直線kx+y+4=0（k0）上一動點(diǎn)，PA、PB是圓C：x2+y2-2y=0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為( )A.3 B. C.22 D.2 答案：D5直線3x-4y-4=0被圓(x-3)2+y2=9截得的弦長為（

32、 ） (A) (B)4 (C) (D)26直線被曲線所截得的弦長等于7若為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程是（ ） A. B. C. D. 8若直線被圓所截得的弦長為,則實(shí)數(shù)的值為（ ）A或 B或 C或 D或9點(diǎn)的內(nèi)部，則的取值范圍是（ ）(A) (B) (C) (D) 10點(diǎn)M（3，6）在圓：的（ ）A、圓上 B、圓外 C、圓內(nèi) D、以上都不是11 圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值是（ ）A B C D12直線3x-4y-4=0被圓(x-3)2+y2=9截得的弦長為（ ）(A) (B)4 (C) (D)213、過與圓交點(diǎn)的直線為（ ）A、 B、 C、 D、14已知圓C：內(nèi)有一點(diǎn)P（2，2），過點(diǎn)P作直線

33、交圓C于A、B兩點(diǎn).（）當(dāng)經(jīng)過圓心C時(shí)，求直線的方程；（）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，寫出直線的方程；（）當(dāng)直線的傾斜角為45º時(shí)，求弦AB的長.15求經(jīng)過直線l1:3x+4y-5=0 l2:2x-3y+8=0的交點(diǎn)M,且滿足下列條件的直線方程：()經(jīng)過原點(diǎn); ()與直線2x+y+5=0平行; ()與直線2x+y+5=0垂直.16已知圓及直線. 當(dāng)直線被圓截得的弦長為時(shí), 求（）的值；（）求過點(diǎn)并與圓相切的切線方程.17點(diǎn)()在圓的內(nèi)部，則的取值范圍是（ ）A1<<1B 0<<1 C1<< D<<1解析: 由得<<118直線平分圓

34、的周長，則A3 B5C3D5 解析：直線經(jīng)過圓心（4，-1）， 19方程表示的圓與軸相切于原點(diǎn)，則AB C D 解析：圓心在軸上，又圓經(jīng)過原點(diǎn)，20直線截圓所得弦的中點(diǎn)是，則= 解析：圓心，半徑，又21關(guān)于方程表示的圓,下列敘述中:關(guān)于直線x+y=0對稱;其圓心在x軸上;過原點(diǎn)半徑為.其中敘述正確的是（要求寫出所有正確命題的序號）解析: 圓心為,半徑為,故正確22已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，以原點(diǎn)為圓心的圓與三角形有唯一的公共點(diǎn)，求圓的方程解析：原點(diǎn)到三角形三邊的最近距離是1，原點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，故所求圓的方程為或23已知方程.（）若此方程表示圓，求的取值范圍；（）若（）中的圓與

35、直線相交于M，N兩點(diǎn)，且OMON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）求的值；（）在（）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.24圓在點(diǎn)處的切線方程為（ ）A B C D25以點(diǎn)A(1,4)、B(3,-2)為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的方程為.26若經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相切，則此直線在軸上的截距是 _.27若直線與圓相交，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（ ） A 在圓上 B 在圓外 C 在圓內(nèi) D不能確定28點(diǎn)的內(nèi)部，則的取值范圍是（ ）(A) (B) (C) (D) 29若曲線與直線始終有交點(diǎn)，則的取值范圍是_；30若有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是_；若有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是_；31若點(diǎn)（4a-1,3a+2）不在圓(x+1)2+(y-2

36、)2=25的外部，則a的取值范圍是( ) A.|a| B.|a|1 C.|a| D.|a|1解析：點(diǎn)（4a-1,3a+2）不在圓(x+1)2+(y-2)2=25的外部，則(4a-1+1)2+(3a+2-2)225，即|a|1.答案：D32以點(diǎn)A（-3，0），B（0，-3），C（157，247）為頂點(diǎn)的三角形與圓x2+y2=R2（R0）沒有公共點(diǎn)，則圓半徑R的取值范圍是（ ）A.(0,)(,+) B.(,) C.(0,)(3,+)D.(,3)六直線與圓的位置關(guān)系1已知直線和圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） ABCD2圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差為( )A B C D63圓上的點(diǎn)到直線

37、的距離的最大值是（ ）A. B. C D. 4已知圓C：（x1）2（y2）225，直線l：（2m+1）x+（m+1）y7m4（mR）.（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線被圓C截得的弦長最小時(shí)l的方程. 解析（1）解法1：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0.mR，得2x+y7=0，x=3，x+y4=0，y=1，即l恒過定點(diǎn)A（3，1）.圓心C（1，2），AC5（半徑），點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點(diǎn).解法2：圓心到直線的距離，所以直線l恒與圓C相交于兩點(diǎn)（2）弦長最小時(shí)，lAC，由kAC，l的方程為2xy5=0.點(diǎn)評：明確幾點(diǎn)：（1）動直線斜率不

38、定，可能經(jīng)過某定點(diǎn)（2）直線與圓恒有公共點(diǎn)直線經(jīng)過的定點(diǎn)在圓內(nèi)，此結(jié)論可推廣到圓錐曲線（3）過圓內(nèi)一點(diǎn)，最長的弦為直徑，最短的弦為垂直于直徑的弦5設(shè)為圓上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為_.6已知圓和直線. 若圓與直線沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是.7設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且弦 的長為，則_8過點(diǎn)（1，）的直線l將圓(x2)2y24分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k9若為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程是（ ） A. B. C. D. 10若直線被圓所截得的弦長為,則實(shí)數(shù)的值為（ ）A或 B或 C或 D或11點(diǎn)的內(nèi)部，則的取值范圍是（ ）(A) (B) (C) (D) 12、點(diǎn)M（

39、3，6）在圓：的（ ）A、圓上 B、圓外 C、圓內(nèi) D、以上都不是13 圓上的點(diǎn)到直線的距離最大值是（ ）A B C D14、直線3x-4y-4=0被圓(x-3)2+y2=9截得的弦長為（ ）(A) (B)4 (C) (D)215過與圓交點(diǎn)的直線為（ ）A、 B、 C、 D、16圓在點(diǎn)處的切線方程為（ ）A B C D17 過點(diǎn)且與軸相切的圓有且只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)的值和這個(gè)圓的方程解析:由題意，設(shè)所求圓的方程為，點(diǎn)在圓上，將上式代入下式并整理得：滿足條件的圓有且只有1個(gè)，方程有且只有1個(gè)根，或即或或當(dāng)時(shí)，所求圓的方程為當(dāng)時(shí)，所求圓的方程為18以點(diǎn)A(1,4)、B(3,-2)為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的

40、方程為.19若經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相切，則此直線在軸上的截距是 _20設(shè)A為圓上一動點(diǎn)，則A到直線的最小距離為_. 21若曲線與直線始終有交點(diǎn)，則的取值范圍是_；若有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是_；若有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是_；22點(diǎn)在直線上，求的最小值。23設(shè)直線2x3y10和x2y22x30相交于點(diǎn)A、B，則弦AB所在直線的垂直平分線方程是_答案：3x2y30解析：圓x2y22x30的圓心為C(1,0)，由平面幾何知識知，弦AB的垂直平分線必過圓心C(1,0)直線2x3y10的斜率為kAB.所求直線的斜率為k.弦AB的垂直平分線方程為y(x1)，即3x2y30.24已知方程x2y22x4ym0.

41、(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍；(2)若(1)中的圓與直線x2y40相交于M、N兩點(diǎn)，且OMON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m；(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程解：(1)解法1：方程化為(x1)2(y2)25m，則5m>0，m<5。解法2：在方程中，D=-2，E=-4，F(xiàn)= 則=20-，(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x142y1，x242y2，則x1x2168(y1y2)4y1y2OMON，x1x2y1y20168(y1y2)5y1y20由得5y216ym80y1y2，y1y2代入得，m.(3) 設(shè)所求圓的圓心為，則圓(x1)2(y2)2的圓心（1，2

42、）到直線MN： x2y40的距離d=，所求圓的半徑以MN為直徑的圓的方程25已知動點(diǎn)M到點(diǎn)A（2，0）的距離是它到點(diǎn)B（8，0）的距離的一半， 求：（1）動點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若N為線段AM的中點(diǎn)，試求點(diǎn)N的軌跡解：（1）設(shè)動點(diǎn)M（x，y）為軌跡上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡就是集合 P 由兩點(diǎn)距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為 ，平方后再整理，得 可以驗(yàn)證，這就是動點(diǎn)M的軌跡方程（2）設(shè)動點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），M的坐標(biāo)是（x1，y1）由于A（2，0），且為線段AM的中點(diǎn)，所以 ， 所以有，由（1）題知，M是圓上的點(diǎn)，所以M坐標(biāo)（x1，y1）滿足：，將代入整理，得所以N的軌跡是以（1，0）為圓心，

43、以2為半徑的圓6若直線相切，則的值為（ D ） A1或-1 B2或-2 C1 D-17圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差為( B )A B C D68設(shè)直線過點(diǎn)，且與圓相切，則的斜率是（）CABCD9 兩圓和的位置關(guān)系是（ ）BA相離B相交C內(nèi)切D外切10過點(diǎn)圓的切線,則切線方程為 （ ）CA BC D11直線x2y30與圓C：(x2)2(y3)29交于E、F兩點(diǎn)，則ECF的面積為()A.B.C2D.答案：C解析：圓心(2，3)到EF的距離d.又|EF|24，SECF×4×2.故選C.二、填空題：12已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，則圓的方程為1

44、2、13斜率為1的直線被圓截得的弦長為，則直線的方程為 13、14圓：和圓：交于兩點(diǎn)，則的垂直平分線的方程是.14 15兩圓和相切，則實(shí)數(shù)的值為15或016為圓上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為_1617若直線被圓所截得的弦長為，則實(shí)數(shù)的值為17或18.已知兩圓和，則它們公共弦所在直線的方程是。三、解答題：19.（1）求經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），B（4，6）且圓心在直線x2y2=0上的圓的方程;解：設(shè)圓的方程為：依題可得：；解之得：答案：（2）已知一圓經(jīng)過點(diǎn)A（2，3）和B（2，5），且圓心C在直線l：上，求此圓的方程（2）解：因?yàn)锳（2，3），B（2，5），所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）

45、，又，所以線段AB的垂直平分線的方程是聯(lián)立方程組，解得所以，圓心坐標(biāo)為C（1，2），半徑，所以，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是20.已知圓及直線. 當(dāng)直線被圓截得的弦長為時(shí), 求（）的值；（）求過點(diǎn)并與圓相切的切線方程.20、解：（）依題意可得圓心，則圓心到直線的距離由勾股定理可知，代入化簡得解得，又，所以（）由（1）知圓，又在圓外當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為由圓心到切線的距離可解得切線方程為當(dāng)過斜率不存在直線方程為與圓相切由可知切線方程為或21.求圓心在y軸上，且與直線直線都相切的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（0，b），半徑為r,則圓心到直線的相等均為r，所以，解得，因此，所求圓的方程為22.已

46、知圓C：內(nèi)有一點(diǎn)P（2，2），過點(diǎn)P作直線交圓C于A、B兩點(diǎn).（）當(dāng)經(jīng)過圓心C時(shí)，求直線的方程；（）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，寫出直線的方程；（）當(dāng)直線的傾斜角為45º時(shí)，求弦AB的長.22、解：()已知圓C：的圓心為C（1，0），因直線過點(diǎn)P、C，所以直線l的斜率為2，直線l的方程為，即.()當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，lPC, 直線l的方程為, 即()當(dāng)直線l的傾斜角為45º時(shí)，斜率為1，直線l的方程為,即，圓心C到直線l的距離為，圓的半徑為3，弦AB的長為23直線ax+by=1過點(diǎn)A(b,a)，則以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑的圓的面積的最小值是_.答案：解析：直線過點(diǎn)A(b

47、,a)，ab=，圓面積S=r2=(a2+b2)2ab=.24 P（x,y）是圓x2+y2=1與直線x+y+2m=0(m0)的公共點(diǎn)，則直線mx-y- 008=0的傾斜角的最大值為( )A.45°B.60°C.90°D.135°答案：A六圓與圓的位置關(guān)系1、已知圓C1：相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為.解析 x+y-3=0 即兩圓的連心線3、在平面內(nèi),與點(diǎn)距離為1, 與點(diǎn)距離為2的直線共有( )條A.1條 B.2條 C. 3條 D. 4條解析：直線與點(diǎn)距離為1，所以直線是以A為圓心1為半徑的圓的切線，同理直線也是以B為圓心2為半徑的圓的切線，即兩

48、圓的公切線，兩圓相交，公切線有2條，選B4 已知圓A的圓心在曲線上，圓A與y軸相切，又與另一圓 相外切，求圓A的方程.5圓x2+y2+6x-7=0和圓x2+y2+6y-27=0的位置關(guān)系是（ ） A 相切 B 相交 C 相離 D內(nèi)含6已知兩圓和，則它們公共弦所在直線的方程是七：圓上的點(diǎn)到直線的距離等于m的點(diǎn)的個(gè)數(shù)1、已知圓和直線，（1）若圓上有且只有4個(gè)點(diǎn)到直線l的的距離等于1，求半徑的取值范圍；（2）若圓上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線l的的距離等于1，求半徑的取值范圍；（3）若圓上有且只有2個(gè)點(diǎn)到直線l的的距離等于1，求半徑的取值范圍；分析：方法1采用轉(zhuǎn)化為直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來解決；方法2從劣弧的點(diǎn)到直線l的最大距離作為觀察點(diǎn)入手.解法1：與直線平行且距離為1的直線為和，圓心到直線的的距離為,圓心到直線的的距離為,（1）圓上有且只有4