平面向量的坐標(biāo)表示

1、 第7章 平面向量的坐標(biāo)表示 1.理解向量的有關(guān)概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別；（2）零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意方向；（3）單位向量：給定一個(gè)非零向量，與同向且長(zhǎng)度為1的向量叫的單位向量, 的單位向量是；（4）相等向量：方向與長(zhǎng)度都相等的向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：如果向量的基線互相平行或重合則稱這些向量共線或平行，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行；提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)平行向量的基線平行或重合, 但兩條直線平行不包含兩

2、條直線重合；平行向量無(wú)傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；三點(diǎn)共線共線；（6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量是長(zhǎng)度相等方向相反的向量.2.向量的表示方法（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；（2）符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示，如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.3實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向

3、相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，零向量，注意：.4平面向量的數(shù)量積：（1）兩個(gè)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量和，過(guò)O點(diǎn)作，則AOB (0°180°) 叫做向量與的夾角當(dāng)0°時(shí)，與 同向；當(dāng)180°時(shí)，與反向；如果與的夾角是90°，我們說(shuō)與垂直，記作（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0若，則（3）向量的數(shù)量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影 (是向量與的夾角)的幾何意義是，數(shù)量等于模與在上的投影的積（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)與都是非零向量，是

4、單位向量，是與的夾角 當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，-,; |（5）向量數(shù)量積的運(yùn)算律：【提醒】（1）若則為銳角或者角若則為鈍角或者角.（2）|可以用來(lái)證明.（3）非零向量，夾角的計(jì)算公式：.(4)|. ； 5. 平面向量的基本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使=，、稱為一組基底.6向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：提醒：平行四邊形法則要求參與加法的兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同，三角形法則要求參與加法的兩個(gè)向量的首尾相接.可推廣到（據(jù)此，可根據(jù)需要在一個(gè)向量的兩個(gè)端點(diǎn)之間任意插點(diǎn)）向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量

5、，除此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，那么由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).容易得出：（2）坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則： 向量的加減法運(yùn)算：； 實(shí)數(shù)與向量的積：； 若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)； 平面向量數(shù)量積：=； 向量的模：；7向量的運(yùn)算律：（1）交換律：，=；( 2 ) 結(jié)合律：，；（3）分配律：，.8. 向量平行(共線)的充要條件：(1) 向量與非零向量共線的充要條件是；實(shí)數(shù)是唯一存在的，當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與異向時(shí)，； (2) 若,，則9向量垂直的充要條件：=向量中一些常用的結(jié)論：（1）

6、一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線 (這些和實(shí)數(shù)比較類似).（3）在中，若，則其重心的坐標(biāo)為.為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過(guò)的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；是的外心； （4）向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.7.1 向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算 例題精講 【例1】已知分別是和的重心，是的中點(diǎn)，若A,B,C,D的坐標(biāo)分別是，求點(diǎn)的坐標(biāo)【例2】已知點(diǎn)O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t，求：（1）t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限?（2）四邊形OABP能否構(gòu)成平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；

7、若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由過(guò)關(guān)演練 1已知，若，則的值分別為_(kāi)2已知向量，若，則_3已知平行四邊形的頂點(diǎn)、，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)4若向量，則向量的坐標(biāo)是_5若，且，則等于_6若為的重心，則下列各向量中與共線的是（）A B C D7在矩形中，則向量的長(zhǎng)度等于（）A BCD 8在中，、分別為邊、的中點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi) 9已知，當(dāng)與共線時(shí)，的值為_(kāi)10當(dāng)_時(shí)，向量與共線且方向相同；當(dāng)_時(shí)，與共線且方向相反 11若三點(diǎn)，共線，則_ 12設(shè)，用、作基底有，則_，_ 13已知點(diǎn)在向量所在的直線上，則所滿足的條件是_ 14.已知,(1)若點(diǎn)在線段上,且則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ;(2)若點(diǎn)在線段的延

8、長(zhǎng)線上,且則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ;(3)若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上, 則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ;(4)若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上, , 則點(diǎn)的坐標(biāo)是 .15下列四個(gè)命題：若，則或；若為單位向量，則；若與共線，與共線，則與共線其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是_16已知、，且，則當(dāng)_時(shí)，點(diǎn)落在軸上 17已知，是兩個(gè)非零向量，則“，不共線”是“”的_18下列四個(gè)命題中是真命題的有_個(gè)若與是共線向量，則與也是共線向量若，則與是共線向量若，則與是共線向量若，則與任何向量都共線19.在中,設(shè)向量，則的面積= ,的周長(zhǎng)= . 20.對(duì)個(gè)向量，如果存在不全為零的實(shí)數(shù)使得，則稱性相關(guān).若已知，是線性相關(guān)的，則=_.21. 在四邊形中，則四邊形的面積是_

9、.7.2向量的數(shù)量積例題精講 【例1】設(shè)O是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸上求一點(diǎn)P，使最小，并求此時(shí)的大小.【例2】已知，且的夾角為，又，求.注意：有關(guān)向量的運(yùn)算也可以利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)求解，本例就可以由作圖得解【例3】已知銳角中內(nèi)角的對(duì)邊分別為,向量 ,且（1）求的大小，（2）如果，求的面積的最大值.過(guò)關(guān)演練 1（1）已知，與的夾角為，則_（2）已知，則向量與的夾角為_(kāi) 2（1）已知，與的夾角為，則在方向上的投影為_(kāi)（2）已知，則在上方向上的投影為_(kāi)3已知，且，則的值為_(kāi) 4已知，與的夾角正弦值為，則_5已知，則_6已知，與的夾角為，要使與垂直，則_7在平行四邊形中，已知，則=_ 8是所在平面上一點(diǎn)

10、，若，則是的_9已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則=_10與向量的夾解相等，且模為的向量是_11在中，且，則的值為_(kāi)12在中，已知，且，則這個(gè)三角形的形狀是 _ 13下列四個(gè)命題：若，則；若，則或；若，且，則或；對(duì)任意兩個(gè)單位向量，都有其中正確命題的序號(hào)是_14.若,則與的夾角為_(kāi)15在中，O為中線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值是 .16已知滿足，則的形狀一定是_.17.在ABC中，AB2，AC1，D是邊BC上一點(diǎn)，DC2BD，則=_.18.如果，且，那么( )AB C D在方向上的投影相等19若、是非零向量且，則一定有（）A B C D20.已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_.21

11、已知向量，|1，對(duì)任意tR，恒有|t|，則（ ） A B() C() D()()22已知兩個(gè)單位向量和互相垂直，則的充要條件是（ ） A BC D23在中，有命題；若，則為等腰三角形；若，則為銳角三角形.上述命題正確的是（ ）A B C D24點(diǎn)在所在平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：（1）；（2）；（3）；（4）則點(diǎn)依次為的 （ ）A內(nèi)心、外心、重心、垂心 B重心、外心、內(nèi)心、垂心C重心、垂心、內(nèi)心、外心 D外心、內(nèi)心、垂心、重心7.3平面向量的分解定理例題精講 【例1】已知是的邊上的點(diǎn)，且，如圖1所示若用表示，則= 過(guò)關(guān)演練 1.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)原點(diǎn)O）

12、，則_.2.下列條件中，三點(diǎn)不共線的是（ ）ABCD3下列向量組中能作為它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是（）AB C D 4已知向量，用和來(lái)表示，則為（）A B CD5設(shè) M 是ABC 的重心，則=（）ABCD6 、分別為的邊、上的中線，且，那么為（）AB C D7過(guò)的重心作一直線分別交、于點(diǎn)、若，則的值為_(kāi)8. 是內(nèi)的一點(diǎn)，則的面積與的面積之比為_(kāi).A2B3CD69.請(qǐng)用表示=_.10已知 .設(shè)，則等于_.11已知四邊形是菱形，點(diǎn)在對(duì)角線上，（不包括端點(diǎn)、），則等于（）A，(0,1)B，(0,)C，(0,1)D，(0, )12.如圖，在ABC中，設(shè)， , ,(0<<1),(0<<1),試用向量,表示.7.4向量的應(yīng)用例題精講 【例1】是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線，它與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則ABO是（）A、銳角三角形；B、直角三角形；C、鈍角三角形；D、不確定與P值有關(guān).【例2】已知向量.設(shè).（1）若且，求的值；（2）若函數(shù)的圖像按向量平移后得到函數(shù)的圖像，求實(shí)數(shù)的值.過(guò)關(guān)演練 1.求等腰直角三角形中兩直角