定積分及應(yīng)用

1、第六章定積分及其應(yīng)用習(xí)題6-11、利用定積分的定義計(jì)算下列定積分：(1) ；解：令,因此,取為的等分,此時有, 取,于是 ,.(2) .解：令,因此,取為的等分,此時有, , 取,于是 , .2、利用定積分的幾何意義,說明下列等式：(1)；解：因,及圍成的三角形的面積為, 因此由定積分的幾何意義知.(2)；解：因圓形的面積為,那么,及圍成的是圓形在第一象限的部分,其面積當(dāng)然為,因此由定積分的幾何意義知.(3)；解：因?yàn)槠婧瘮?shù),那么由,圍成的面積為,而由,圍成的面積為,由定積分的幾何意義知,兩個面積大小相等,符號相反,因此.(4).解：因?yàn)榕己瘮?shù),那么由,圍成的面積為,而由,圍成的面積為,由定積

2、分的幾何意義知,兩個面積大小相等,符號相同,因此.3、討論狄利克雷函數(shù)在區(qū)間上的可積性.解：取為的等分,此時有, , 取為中的某個有理數(shù),為中的某個無理數(shù),于是 , 由于,于是在上的不可積.4、用定積分表示下列極限：(1) ； 解：.其中：,取為的等分,此時有, , 取,于是 , .(2) ； 解：.其中：,取為的等分,此時有, , 取,于是 , .習(xí)題6-21、估計(jì)下列積分的值：(1) ；解：,那么 ,.(2) ；解：, ,那么 ,.(3) ；解：,那么,.(4) .解：,那么,.2、比較下列各題中的兩個積分的大?。?1) ,；解：由于,所以.(2) ,；解：由于,所以.(3) ,；解：由于

3、,所以.(4) ,；解：由于,所以.(5) ,.解：由于,所以.3、設(shè)及在上連續(xù),證明：(1)若在上,且,則；證明：因在上連續(xù),且,則,這樣,那么.(2)若在上,且,則在上；證明：由(1)顯然.(3)若在上,且,則若在上.證明：由條件知在上,且,由(2)知在上,即.習(xí)題6-31、計(jì)算下列各導(dǎo)數(shù)：(1) ；解：.(2) ；解：.(3) .解：.2、計(jì)算下列各積分：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) ,其中解：.3、求下列極限：(1)；(2)；.4、設(shè),求,.解：顯然,于是,.5、求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

4、解：方程兩端對求導(dǎo),得,所以.6、求函數(shù)的極值.解：令,得,由于當(dāng)時,當(dāng)時,所以函數(shù)有極小值.7、設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,證明函數(shù)在內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù).題目有誤：例如,設(shè),有,.習(xí)題6-41、計(jì)算下列定積分：(1).(2).(3).(4).(5) .(6).(7).(8).(9).(10).(11).(12).(13).(14).2、利用奇偶性計(jì)算下列定積分：(1).(2).3、證明下列各題：(1) ,；證明：.(2) ；證明：.(3) .證明：因,所以.證明：.證明：.習(xí)題6-51、計(jì)算下列定積分：(1).(2).(3).(4).(5).(6) .(7) ,.(8).(9).(10).(11),

5、.2、利用遞推公式計(jì)算：(1)；解：由于,于是.(2). 解：.習(xí)題6-61、判別下列各廣義積分的收斂性,如果收斂計(jì)算廣義積分的值：(1)；解：由于,故積分收斂,且.(2)；解：由于,故積分發(fā)散.(3)；解：,積分收斂.(4)；解：由于,有,于是,積分收斂.(5) ；解：,積分收斂. (6) ；解：,積分收斂. (7) ；解：由,知發(fā)散,故積分發(fā)散.(8) ；解：,積分收斂.2、當(dāng)為何值時,廣義積分收斂？當(dāng)為何值時,這廣義積分發(fā)散？當(dāng)為何值時,這廣義積分取得最小值？解：(1)當(dāng)時,積分發(fā)散；(2)當(dāng)時,積分發(fā)散；(3)當(dāng)時,積分收斂,作,令得,當(dāng)時, 當(dāng)時,可見當(dāng)時,取得最大值, 于是當(dāng)時,積

6、分取得最小值.3、用函數(shù)表示下列積分,并計(jì)算積分值已知(1) ,(為自然數(shù))；(2) ；(3) .習(xí)題6-71、求由下列曲線所圍圖形的面積：(1),；解：由 , 得 或,.(2),；解：.(3),；解：由 , 得 或,.(4),(兩部分都要計(jì)算)；解：由 , 得 或,.(6)與,；解：.(7),；解：.(8),(). 解：.2、求由下列各題中的曲線所圍圖形繞指定軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積：(1),繞軸、軸；解：,.(2),繞軸；解：,.(3)繞軸；解：,.(4)繞().解：, ,.3、用平面截面積已知的立體體積公式計(jì)算下列各題中立體的體積：(1)以半徑為的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為的

7、正劈錐體解:,.(2)半徑為的球體中高為的球缺解:,.(3)底面為橢圓的橢圓柱體被通過軸且與底面夾角()的平面所截的劈形立體解: , .習(xí)題6-81、已知邊際成本為,固定成本為,求總成本函數(shù). 解：因,所以.2、已知邊際收益,求收益函數(shù). 解：.3、已知邊際成本為,求當(dāng)產(chǎn)量由增加到時,應(yīng)追加的成本數(shù). 解：應(yīng)追加的成本數(shù)為.4、已知邊際成本為,邊際收益為,求最大利潤(設(shè)固定成本為0). 解：,于是,令,得,而,所以最大利潤為.5、某地區(qū)居民購買冰箱的消費(fèi)支出的變化率是居民總收入的函數(shù),當(dāng)居民收入由億元增加至億元時,購買冰箱的消費(fèi)支出增加多少？解：消費(fèi)支出增加數(shù)為(億元).6、某公司按利率(連續(xù)復(fù)利)貸款萬元購買某設(shè)備,該設(shè)備使用年后報(bào)廢,公司每年可收入萬元.(1) 為何值時,公司不會虧本？(2) 當(dāng)萬元時,求內(nèi)部利潤(應(yīng)滿足的方程)；(3) 當(dāng)萬元時,求收益的資本價值.解：已知利率,年,(1)公司保本的條件是：年總收入的現(xiàn)值萬元,