數(shù)字信號(hào)處理07 第七章有限單位沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法

1、第七章 FIR濾波器的設(shè)計(jì)崔琳莉崔琳莉IIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)但相位非線性但相位非線性FIR數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器： 可以嚴(yán)格線性相位，又可任意幅度特性可以嚴(yán)格線性相位，又可任意幅度特性因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng)可用可用FFT計(jì)算計(jì)算但階次比但階次比IIR濾波器要高得多濾波器要高得多主要內(nèi)容主要內(nèi)容n線性相位線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)n窗函數(shù)設(shè)計(jì)法窗函數(shù)設(shè)計(jì)法n頻率抽樣設(shè)計(jì)法頻率抽樣設(shè)計(jì)法nIIR與與FIR比較比較7.1 引言引言一、一、 FIR濾波器的主要特點(diǎn)：濾波器的主要特點(diǎn)：q 單位沖激響應(yīng)只有有限多項(xiàng)單位沖激響應(yīng)只有有限多項(xiàng)q

2、 可以設(shè)計(jì)成線性相位系統(tǒng)可以設(shè)計(jì)成線性相位系統(tǒng)q 只在零點(diǎn)處有極點(diǎn)，因此系統(tǒng)總是穩(wěn)定的只在零點(diǎn)處有極點(diǎn)，因此系統(tǒng)總是穩(wěn)定的q 便于便于DSPDSP實(shí)現(xiàn)（并可用立即數(shù)乘加指令編程，節(jié)實(shí)現(xiàn)（并可用立即數(shù)乘加指令編程，節(jié)約存儲(chǔ)器）約存儲(chǔ)器）二、二、FIR與與IIR相比較：相比較：q 首先在相頻特性控制上可以做到線性相位，首先在相頻特性控制上可以做到線性相位，IIR而不能做到這一點(diǎn)，這一點(diǎn)在通信等領(lǐng)域而不能做到這一點(diǎn)，這一點(diǎn)在通信等領(lǐng)域中要求卻很重要；中要求卻很重要；q 其次，其次，F(xiàn)IR不存在穩(wěn)定性問(wèn)題，其非遞歸結(jié)構(gòu)不存在穩(wěn)定性問(wèn)題，其非遞歸結(jié)構(gòu)不會(huì)產(chǎn)生極限環(huán)現(xiàn)象等有限精度問(wèn)題；不會(huì)產(chǎn)生極限環(huán)現(xiàn)象等

3、有限精度問(wèn)題；q 最后，最后，F(xiàn)IR還可以還可以FFT用來(lái)濾波。故用來(lái)濾波。故FIR應(yīng)用應(yīng)用越來(lái)越多。越來(lái)越多。三、線性相位設(shè)計(jì)的重要性三、線性相位設(shè)計(jì)的重要性1 1、系統(tǒng)的相移會(huì)造成信號(hào)波形的改變、系統(tǒng)的相移會(huì)造成信號(hào)波形的改變時(shí)間時(shí)間 t幅幅度度原始信號(hào)原始信號(hào)時(shí)間時(shí)間 t幅幅度度相移相移90o時(shí)間時(shí)間 t幅幅度度相移相移 180o2 2、系統(tǒng)非線性相移造成輸出信號(hào)失真系統(tǒng)非線性相移造成輸出信號(hào)失真dd)()(f1 f2f時(shí)時(shí)延延f1 f2f時(shí)時(shí)延延f1 f2f ( )f1 f2f ( ) 系統(tǒng)相位特性決定了信號(hào)不同頻率的時(shí)延系統(tǒng)相位特性決定了信號(hào)不同頻率的時(shí)延3 3、忽略相位信息的后果、

4、忽略相位信息的后果輸入波形輸入波形DFT變換變換忽略相忽略相位信息位信息IDFT變換變換輸出波形輸出波形4 4、要求線性相位的例子、要求線性相位的例子n通信系統(tǒng)：通信系統(tǒng)：調(diào)制解調(diào)器、綜合業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)網(wǎng)調(diào)制解調(diào)器、綜合業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)網(wǎng)（ISDN）等。等。n希爾伯特變換器：希爾伯特變換器：要求輸入輸出信號(hào)正交。要求輸入輸出信號(hào)正交。n高保真音響系統(tǒng)：高保真音響系統(tǒng)：音樂(lè)的相位失真必須減到音樂(lè)的相位失真必須減到最小，盡可能逼真地重現(xiàn)原來(lái)的聲音。最小，盡可能逼真地重現(xiàn)原來(lái)的聲音。n理想微分器：理想微分器：n線性相位要求：線性相位要求：5 5、線性相位的、線性相位的FIRFIR濾波器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)濾波器設(shè)計(jì)基礎(chǔ)con

5、stant)(ddgg)(NpgpTTph00)(sin- 系統(tǒng)的群延遲系統(tǒng)的群延遲7.2 線性相位線性相位FIR濾波器特點(diǎn)濾波器特點(diǎn) FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)：濾波器的單位沖激響應(yīng)：( )01h nnN10( )( )NnnH zh n z系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)：在在 z 平面有平面有N 1 個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn)在在 z = 0 處是處是N 1 階極點(diǎn)階極點(diǎn) 一線性相位特點(diǎn)一線性相位特點(diǎn)命題：設(shè)命題：設(shè)FIRFIR單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)h(n)h(n)為實(shí)序列，為實(shí)序列，且滿足偶對(duì)稱（或奇對(duì)數(shù)）條件：且滿足偶對(duì)稱（或奇對(duì)數(shù)）條件：)1()(nNhnhor)1()(nNhnh)()()()(jjweH

6、eHnh)21()(N22) 1()(Nor則：則：線性相位分析線性相位分析)1()(nNhnh10) 1(10)1(11010)()()1()()(NmmNNmmNnNmNnnNnnzmhzzmhznNhznhzH)()(1) 1(zHzzHN證明：證明：1 1、偶對(duì)稱時(shí)：、偶對(duì)稱時(shí)：即：即：)()(21)(1)1(zHzzHzHN10) 1()(21NnnNnzzznh 所以有所以有： 10)2) 1()2) 1(2) 1(2121)(NnNnNnNZZnhz)()(1) 1(zHzzHN線性相位分析線性相位分析) 1 ()2) 1(cos)()()(102)1()( HNneNjjNnn

7、heeHj則則 為線性相位。為線性相位。2) 1()(N其物理意義：其物理意義： 該該FIR有有(N-1)/2個(gè)個(gè) 采樣周期的群時(shí)延。采樣周期的群時(shí)延。10)2)1()2)1(2)1(2121)()(NnNnNnNZZnhzzH線性相位分析線性相位分析2 2奇對(duì)稱時(shí)奇對(duì)稱時(shí))1()(nNhnh10)1(10)1(11010)()()1()()(NmmNNmmNnNmNnnNnnzmhzzmhznNhznhzH)()(1) 1(zHzzHN即即所以有：所以有：)()(21)(1) 1(zHzzHzhN10)1()(21NnnNnzzznh)()(1) 1(zHzzHN10)2)1()2)1(2)

8、1(2121)(NnNnNnNZZnhz線性相位分析線性相位分析10)2)1()2)1(2)1(2121)()(NnNnNnNZZnhzzH)2()2) 1(sin)()()(102)1()( HNneNjjNnnhjeeHj1022) 1()2) 1(sin)()(NnjNjjNnnheeH或或22) 1()(N則則 為線性相位為線性相位線性相位分析線性相位分析q物理意義：物理意義：FIRFIR有有( (N-1)/2N-1)/2個(gè)采樣周期的群時(shí)延，且個(gè)采樣周期的群時(shí)延，且信號(hào)通過(guò)此類(lèi)信號(hào)通過(guò)此類(lèi)FIR時(shí)，所有頻率成份都有時(shí)，所有頻率成份都有90900 0相移，相移，稱為正交變換。稱為正交變換

9、。二幅度特點(diǎn)二幅度特點(diǎn)1、h(n)偶對(duì)稱，偶對(duì)稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)對(duì)（對(duì)（1）式）式10)21(cos)()(NnNnnhH由于由于:)()1(nhnNh)()()(jjeHeH2/ )1(12112/ )1(cos)21(2)21()21(cos)(2)21()(NmNnmNNnmNmhNhNnnhNhH得得: :線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn))21(cos)21(cos)211(cosNnNnNnN2/ )1(12112/ )1(cos)21(2)21()21(cos)(2)21()(NmNnmNNnmNmhNhNnnhNhH2/ ) 1(0)cos()(Nnnna) 1(

10、),21(2)(),21()0(nNnhnaNha由于由于得得其中其中: :ncos2 , 0)(H2 , 0由于由于 對(duì)對(duì) 是偶對(duì)稱的。是偶對(duì)稱的。因此，因此， 對(duì)對(duì) 為偶對(duì)稱。為偶對(duì)稱。線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)其中，其中， 2/11212/)21(cos)22(2)21(cos)(2)(NmNnmNNnmNmhNnnhH2/1)21(cos)(Nnnnb) 1(),12(2)(, 0)0(nNnhnbb2、h(n)偶對(duì)稱，偶對(duì)稱，N為偶數(shù)為偶數(shù))21(Nh對(duì)（對(duì)（1）式與如上合并項(xiàng)，注意到由于）式與如上合并項(xiàng)，注意到由于N為偶數(shù)，為偶數(shù)， 項(xiàng)即為項(xiàng)即為0，則，則 0

11、)21(cosn )0| )(1zzH)(H 由于由于 時(shí)，時(shí)，且對(duì)且對(duì) 呈奇對(duì)稱。因此，呈奇對(duì)稱。因此， 對(duì)對(duì) 呈奇對(duì)稱。呈奇對(duì)稱。并有并有: :線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn))1()(nNhnh)21(| )1()21(21NhnNhNhNn12110)21(sin)(2)21(sin)()(NNnNnNnnhNnnhH0)21(Nh2/ )1(1sin)(Nnnnc 代入代入(2)(2)式式3、h(n)奇對(duì)稱，奇對(duì)稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)所以有：所以有：其中其中, ,線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)) 1()21(2)(, 0)0(nNnhnccnsin2 ,

12、 0由于由于 在在 均為均為0 0并對(duì)這些點(diǎn)呈奇對(duì)稱。并對(duì)這些點(diǎn)呈奇對(duì)稱。線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn))1()(nNhnh10)21(sin)()(NnNnnhH12)21(sin)(2NNnNnnh)21(sin)12(22/1mmNhNm2/ )1(1)21(sin)(Nnmnd) 1()12(2)(, 0)0(nnNhndd其中：其中： 對(duì)（對(duì)（2 2）式）式4、h(n)奇對(duì)稱，奇對(duì)稱，N為偶數(shù)為偶數(shù)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)2 , 02 , 0 )21(sinn)(H由于由于 在在 處為處為0 0。因此，因此， 對(duì)對(duì) 呈奇對(duì)稱。呈奇對(duì)稱。線性相

13、位濾波器的幅度特點(diǎn)線性相位濾波器的幅度特點(diǎn)總結(jié)：總結(jié)：（1）第）第1，2種一般為低通特性；種一般為低通特性； 第第3，4種一般為高通、帶通特性。種一般為高通、帶通特性。（2）當(dāng)）當(dāng)N，h(n)均為偶（或奇）時(shí)，均為偶（或奇）時(shí)，H( )為奇對(duì)稱。為奇對(duì)稱。當(dāng)當(dāng)N，h(n)為一奇一偶時(shí)，為一奇一偶時(shí)，H( )為偶對(duì)稱。為偶對(duì)稱。)2 , 0( :()2 , 0( :(四種線性相位濾波器四種線性相位濾波器 偶對(duì)稱單位沖激響應(yīng)h(n) h(N1 n)相位響應(yīng)21)(N情況1()o( N1)情況2N為奇數(shù)h(n)0N1nna(n)21NN為偶數(shù)h(n)0nN1b(n)01 22Nn2/ )1(0cos

14、)()(NnnnaHH()o2/1 21 cos)()(NnnnbHH()2o0四種線性相位濾波器四種線性相位濾波器 N為奇數(shù)h(n)0nN1C(n)0121NnN為偶數(shù)h(n)0N1nd(n)012Nn221)(N相位響應(yīng)情況3()2o 23 N情況42/ )1(1)sin()()(NnnncHH()o22/121sin)()(NnnndHH()o2例例 1 如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 01)(nh0n4 其他其他n 顯然，這是第一種類(lèi)型的線性相位顯然，這是第一種類(lèi)型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為率響應(yīng)為 )(2405)2/sin(

15、)2/5sin(11)(jjjnjjnjjeeeeeeeH）（該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖1中。因?yàn)橹?。因?yàn)閔(n)的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度N=5， 群延遲也是整數(shù)，群延遲也是整數(shù)，()=(N-1)/2=2。 例例1 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（a） 振幅特性振幅特性; (b) 相位相位; (c) 群延遲群延遲 52.501.2500223202232022324202443210()(a)(b)(c)3.7)(ejH()例例 2 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 01)(nh0n5 其他其他n h(n)為偶對(duì)稱且長(zhǎng)度為偶對(duì)稱且長(zhǎng)度N=6，因此，這是第二種類(lèi)型

16、的線性因此，這是第二種類(lèi)型的線性相位相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 )2/sin()3sin(11)(25506jnjjnjjeeeeeH該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖2中。中。 例2系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(a） 振幅特性; (b) 相位; (c) 群延遲 4.53.01.50022320223202232()4202443210(a)(b)(c)(ejH() 例例 3 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=(n)-(n-2) h(n)為奇對(duì)稱且長(zhǎng)度為奇對(duì)稱且長(zhǎng)度N=3，因此，這是第三種類(lèi)型的線性因此，這是第三種類(lèi)型

17、的線性相位相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 )sin(2)sin(2)(1)(22jjjjjjjjejeeeeeeH該系統(tǒng)的振幅、該系統(tǒng)的振幅、 相位和群延遲示于圖相位和群延遲示于圖6-6中。中。 例3系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（a） 振幅特性; (b) 相位; (c) 群延遲 0223202232022303.01.501.53.02.01.51.00.50(a)(b)(c)()(ejH() 例例 4 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=(n)-(n-1) h(n)為奇對(duì)稱且長(zhǎng)度為奇對(duì)稱且長(zhǎng)度N=2，這是第四種類(lèi)型的線性相位這是第四

18、種類(lèi)型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 該系統(tǒng)的振幅、 相位和群延遲示于圖4中。 例4 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（a） 振幅特性; (b) 相位; (c) 群延遲 022320223202230.803.01.501.53.02.01.51.00.50()()(ejH三、零點(diǎn)特性三、零點(diǎn)特性 線性相位線性相位FIRFIR傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 滿足滿足 則則 的零點(diǎn)必為互為倒數(shù)的共軛對(duì)（以單位圓對(duì)稱）的零點(diǎn)必為互為倒數(shù)的共軛對(duì)（以單位圓對(duì)稱）)(zH)(zH)()()(1)1(AzHzzHN)(zH)(zH)(zH)(nh)(nhiziz0)(i

19、zH1iz0)(1izHiz0)(1izH1)(iz0)(izH證：證： 為實(shí)序列，為實(shí)序列， 若存在若存在 使得使得 。 則必存在則必存在 使得使得 （由（由( (A)A)式可知）。式可知）。 由于由于 是實(shí)序列，對(duì)是實(shí)序列，對(duì) 也必定是也必定是 的零的零 點(diǎn)，即點(diǎn)，即 類(lèi)似地類(lèi)似地 ，因此線性相位，因此線性相位FIRFIR 中，若有復(fù)零點(diǎn)中，若有復(fù)零點(diǎn) ，則一定有，則一定有 與之對(duì)應(yīng)。與之對(duì)應(yīng)。線性相位線性相位FIR濾波器的零點(diǎn)位置圖濾波器的零點(diǎn)位置圖 0 11jImzRe zz1z1*11z11z221zz0Re zjImz1 10Re zjImz1 10Re zjImz1 10Re z

20、jImz1 1221zz11zz1(a)(b)(c)(d )(e)三、零點(diǎn)特性三、零點(diǎn)特性討論：第討論：第1 1，2 2，3 3，4 4類(lèi)類(lèi)FIRFIR的的 零點(diǎn)的特點(diǎn)。零點(diǎn)的特點(diǎn)。 如：第如：第1 1類(lèi)沒(méi)有確定零點(diǎn)；類(lèi)沒(méi)有確定零點(diǎn)； 第第2 2類(lèi)在類(lèi)在 時(shí)確定有零點(diǎn)；時(shí)確定有零點(diǎn)；第第3 3類(lèi)在類(lèi)在 均有零點(diǎn)；均有零點(diǎn)；第第4 4類(lèi)在類(lèi)在 為零點(diǎn)。為零點(diǎn)。-1j-j1iziz1)(iz1iz)(1z)(1z)0(1z)2 , 0(1z7.3 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法窗函數(shù)設(shè)計(jì)法一、設(shè)計(jì)方法一、設(shè)計(jì)方法又稱傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)計(jì)法又稱傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)計(jì)法)()()(10jdNnjnjeHenheH逼近理想濾波器理想濾

21、波器的頻率響應(yīng)的頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)思路是：設(shè)計(jì)思路是：逼近方法（時(shí)域上）：逼近方法（時(shí)域上）：deeHnhnhjnjdd)(21)()(20逼近但由此得到的沖擊響應(yīng)一般無(wú)限長(zhǎng)且非因果（如理但由此得到的沖擊響應(yīng)一般無(wú)限長(zhǎng)且非因果（如理想低通），故需要使用加窗方法進(jìn)行截取。想低通），故需要使用加窗方法進(jìn)行截取。)()()(nhnwnhd窗函數(shù)設(shè)計(jì)法窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的由來(lái)的由來(lái)二、窗函數(shù)的概念及加窗時(shí)域過(guò)程二、窗函數(shù)的概念及加窗時(shí)域過(guò)程理想低通濾波器：理想低通濾波器：1 1、加窗過(guò)程的時(shí)域?qū)崿F(xiàn)、加窗過(guò)程的時(shí)域?qū)崿F(xiàn)ccjjdeeH, 0,)()()(sin21)(nndeenhcjnjdcchd(n)是中心點(diǎn)在

22、是中心點(diǎn)在a的偶對(duì)稱無(wú)限長(zhǎng)非因果序列的偶對(duì)稱無(wú)限長(zhǎng)非因果序列加窗截?cái)嗉哟敖財(cái)? ,取矩形窗：取矩形窗：)()()(nRnhnhNd)()(nRnwN按照線性相位濾波器的約束，按照線性相位濾波器的約束，h(n)必須是偶對(duì)稱必須是偶對(duì)稱的，對(duì)稱中心應(yīng)為長(zhǎng)度的一半，即（的，對(duì)稱中心應(yīng)為長(zhǎng)度的一半，即（N-1)/2所以有：所以有：2/ ) 1(10 ,)21()21(sin)()(NNnNnNnnhnhcccd窗函數(shù)的概念及加窗時(shí)域過(guò)程窗函數(shù)的概念及加窗時(shí)域過(guò)程=(N-1)/2(N-1) n)(nhd=(N-1)/2(N-1) n)(nh)(nRN物理意義：物理意義：(1) 截?cái)嘟財(cái)鄅d(n)RN(n

23、)=h(n) 可認(rèn)為是：可認(rèn)為是： hd(n)與與“窗口窗口”函數(shù)函數(shù)RN(n)相乘，稱為相乘，稱為“矩形窗矩形窗”。(2) 推廣：推廣： h(n) = hd(n)w(n) （1） 稱稱w(n)為窗函數(shù)為窗函數(shù)，一般取值，一般取值n:0:N-1。 “加窗加窗”意味著對(duì)意味著對(duì)hd(n)加權(quán)。加權(quán)。2、加窗的頻率解釋、加窗的頻率解釋q加窗在時(shí)域上是對(duì)信號(hào)加窗在時(shí)域上是對(duì)信號(hào)“切斷切斷”，通過(guò)一個(gè)，通過(guò)一個(gè)“窗口窗口”得到一段信號(hào)得到一段信號(hào)hd(n)。q那么這種逼近的效果如何？對(duì)理想頻響的影響那么這種逼近的效果如何？對(duì)理想頻響的影響如何？如何？)()(jeWnw)()(jddeHnh設(shè)：設(shè)：由由

24、DTFT的頻域卷積定理，有的頻域卷積定理，有deWeHeHjjdj)()(21)()( （2）物理意義：物理意義：W(ej )決定了決定了H(ej )逼近逼近Hd(ej )的效果。的效果。加窗的頻率解釋加窗的頻率解釋例：討論舉矩形窗設(shè)計(jì)出的例：討論舉矩形窗設(shè)計(jì)出的 逼近逼近 Hd(ej )的效果。的效果。)()(jeHnh)1 ()1 ()()()(10jNjNnnjjRNReeeeWnRnwjRNjjReWNeeW)()2/sin()2/sin()()21(解：解：幅度函數(shù)幅度函數(shù))2/sin()2/sin()(NWR加窗的頻率解釋加窗的頻率解釋jdjdeHeH)()(ccdH, 0, 1)

25、(deWeHeHjRjdj)()()(21)(jHRdedWH)()()(21而理想低通數(shù)字濾波器而理想低通數(shù)字濾波器其中：其中：（3 3）加窗的頻率解釋加窗的頻率解釋n 畫(huà)出畫(huà)出 、 、 ，如下圖所示，說(shuō)明，如下圖所示，說(shuō)明（3）式的卷積過(guò)程和結(jié)果。）式的卷積過(guò)程和結(jié)果。 )(RW)(dH)(H加窗的頻率解釋加窗的頻率解釋加窗的頻率解釋加窗的頻率解釋加窗的頻率解釋加窗的頻率解釋結(jié)論：結(jié)論：1）吉布斯現(xiàn)象是由于時(shí)域）吉布斯現(xiàn)象是由于時(shí)域“加窗切斷加窗切斷”hd(n)產(chǎn)生的。產(chǎn)生的。H( )過(guò)渡帶與過(guò)渡帶與WR( )的主瓣寬度有關(guān)；阻的主瓣寬度有關(guān)；阻帶衰減與帶衰減與WR( )的旁瓣有關(guān)；的旁瓣

26、有關(guān)； H( )的過(guò)渡帶寬等的過(guò)渡帶寬等于于 WR( )的主瓣寬度的主瓣寬度4 /N，反比于反比于N。)2(2/)2/sin()2/sin()2/sin()(1NNSaNNWNR 2）矩形窗）矩形窗則則N不影響主瓣與旁瓣的相對(duì)幅度，因此不影響主瓣與旁瓣的相對(duì)幅度，因此N增大，增大，不影響不影響H( )的肩峰，只影響余振頻率增大。的肩峰，只影響余振頻率增大。加窗的頻率解釋加窗的頻率解釋3 3）選窗原則：）選窗原則： W( )旁瓣盡可能小，能量集中在主瓣。旁瓣盡可能小，能量集中在主瓣。( (N增大增大) ) W( )主瓣盡可能窄，過(guò)渡帶窄。主瓣盡可能窄，過(guò)渡帶窄。( (N減小減小) ) 二者的矛盾

27、在工程上折中。加寬主瓣換取旁瓣抑制。二者的矛盾在工程上折中。加寬主瓣換取旁瓣抑制。三、常用窗函數(shù)舉例三、常用窗函數(shù)舉例jRjRRNeWeWnwnR)()()()()2/sin()2/sin()(NWR1、矩形窗：、矩形窗：其中：其中：2、Bartlett窗（三角形窗）窗（三角形窗）21012( )212112nNnNw nnNnNN常用窗函數(shù)舉例常用窗函數(shù)舉例)12()12(41)(21)(NWNWWWRRR其中其中如下圖所示，可以看出如下圖所示，可以看出W( )與與WR( )相比主瓣加寬了，相比主瓣加寬了，而旁瓣抑制更好。（因旁瓣抵消一部分）而旁瓣抑制更好。（因旁瓣抵消一部分）21N)()1

28、2cos(121)(nRNnwN3、Hanning窗（升余弦窗）窗（升余弦窗）jRjReWeW)()(常用窗函數(shù)舉例常用窗函數(shù)舉例4、Hamming窗（改進(jìn)升余弦窗）窗（改進(jìn)升余弦窗）)()12cos(4 . 054. 0)(nRnNnwN對(duì)升余弦窗改進(jìn)，使能量更集中在主瓣。對(duì)升余弦窗改進(jìn)，使能量更集中在主瓣。常用窗函數(shù)舉例常用窗函數(shù)舉例)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRnNnNnwN10,)1211()(020NnINnInw5、Blackman窗（二階升余弦窗）窗（二階升余弦窗）與上與上3的改進(jìn)思路類(lèi)似，但增加二階諧波。的改進(jìn)思路類(lèi)似，但增加二階諧波。6

29、、Kaiser窗（凱塞窗）窗（凱塞窗）常用窗函數(shù)舉例常用窗函數(shù)舉例說(shuō)明：說(shuō)明： 為可選擇的參數(shù)。為可選擇的參數(shù)。 越大，越大， w(n)變化越快。變化越快。 =0，w(n)為矩形窗；為矩形窗； =5.44， w(n)接近接近Hamming; =8.5， w(n)接近接近Blackman。dyexIyjxsin021)(21!)2(1kkkx其中：其中：（零階貝塞爾（零階貝塞爾Bessel函數(shù)）函數(shù)）常用窗函數(shù)舉例常用窗函數(shù)舉例w(n)0.20矩形窗三角窗布拉克曼窗海寧窗海明窗(N1) / 2N1n00.81-100-80-60-40-200/Gain, d

30、BRectangular window00.81-100-80-60-40-200/Gain, dBHanning window00.81-100-80-60-40-200/Gain, dBHamming window00.81-100-80-60-40-200/Gain, dBBlackman window各種窗函數(shù)的傅里葉變換（各種窗函數(shù)的傅里葉變換（N=51)N=51)窗函數(shù)窗函數(shù)窗譜性能指標(biāo)窗譜性能指標(biāo)加窗后濾波器性能指標(biāo)加窗后濾波器性能指標(biāo)旁瓣峰值旁瓣峰值/dB主瓣寬度主瓣寬度過(guò)渡帶寬過(guò)渡帶寬阻帶最小衰減阻帶最小衰減/dB矩形窗矩

31、形窗三角形窗三角形窗漢寧窗漢寧窗海明窗海明窗布拉克曼窗布拉克曼窗凱澤窗凱澤窗( =7.865)-13-25-31-41-57-5724443.35.55-21-25-44-53-74-80討論：常用幾中窗函數(shù)的性能列于表討論：常用幾中窗函數(shù)的性能列于表7-3，使用時(shí)可，使用時(shí)可查閱。表查閱。表7-2的規(guī)律：阻帶衰減的分貝數(shù)越大（性能的規(guī)律：阻帶衰減的分貝數(shù)越大（性能好），代價(jià)是過(guò)渡帶越大。好），代價(jià)是過(guò)渡帶越大。四、設(shè)計(jì)方法及舉例四、設(shè)計(jì)方法及舉例 1、窗函數(shù)法設(shè)計(jì)步驟：、窗函數(shù)法設(shè)計(jì)步驟：(1) 給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù)給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej ).(2)計(jì)算理

32、想計(jì)算理想hd(n).(3)按要求選窗按要求選窗w(n) .（過(guò)渡帶寬、阻帶最小衰減等）（過(guò)渡帶寬、阻帶最小衰減等）.(4)查表定查表定N .(5) h(n) = hd(n)w(n) (6) 求求H(ej )DTFTh(n)，檢驗(yàn)是否滿足設(shè)計(jì)要求。檢驗(yàn)是否滿足設(shè)計(jì)要求。 例例1 用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通低通濾波器，設(shè)濾波器，設(shè)N=11,c=0.2rad。sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnNnh nnn2、應(yīng)用舉例、應(yīng)用舉例解解 用理想低通作為逼近濾波器有用理想低通作為逼近濾波器有

33、用漢寧窗設(shè)計(jì)：用漢寧窗設(shè)計(jì)：( )( )( ),0102( )0.5(1cos)10dHnHnh nh nnnnn用布萊克曼窗設(shè)計(jì)：用布萊克曼窗設(shè)計(jì)： 11( )( )( )22( )(0.420.5cos0.08cos)( )1010dBlBlh nhnnnnnRn例例1 1的低通幅度特性的低通幅度特性例例2、設(shè)計(jì)一線性相位、設(shè)計(jì)一線性相位FIR數(shù)字低通數(shù)字低通LPF，要求通帶要求通帶截止頻截止頻 率為：率為： p=0.2 （帶內(nèi)衰減帶內(nèi)衰減1dB），），阻帶截阻帶截止頻率為止頻率為 st=0.3 ，阻帶衰減優(yōu)于，阻帶衰減優(yōu)于-25 dB。解：解：(1) 窗函數(shù)一般帶內(nèi)衰減窗函數(shù)一般帶內(nèi)衰減

34、1 dB都可滿足。主要是都可滿足。主要是考慮阻帶衰減優(yōu)于考慮阻帶衰減優(yōu)于-25 dB，查表查表5-2，選，選Hamming窗。窗。) 1 ()cos(0.40.54(n)Rn1N2w(n)N設(shè)計(jì)方法及舉例設(shè)計(jì)方法及舉例 N81 . 0)(8pstN81,80NN取奇數(shù)deeHnhnjjdd)(21)(deeHnjjdcc)(21(2) 從過(guò)渡帶要求確定從過(guò)渡帶要求確定NHamming：過(guò)渡帶過(guò)渡帶即要求：即要求：（第（第1類(lèi)，類(lèi)，F(xiàn)IR 線性相位條件約束）線性相位條件約束）(3) 理想理想LPF p st)2()40()40(2 . 0sinnn設(shè)計(jì)方法及舉例設(shè)計(jì)方法及舉例 窗口法特點(diǎn)：可得出

35、窗口法特點(diǎn)：可得出h(n)的解析式。的解析式。)3()()()(nwnhnhdFTcdttth)()(sin)( DTFTcdnnnh)()(sin)()( jHd2w)(jwdeH從從(1)、(2)導(dǎo)出導(dǎo)出(3)式式n:(080)的共的共81點(diǎn)，即設(shè)計(jì)好了。點(diǎn)，即設(shè)計(jì)好了。（4）討論：第討論：第(3)步計(jì)算可用步計(jì)算可用FT與與DTFT關(guān)系來(lái)計(jì)算關(guān)系來(lái)計(jì)算q窗口法設(shè)計(jì)的主要優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，使用方便。窗口法設(shè)計(jì)的主要優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，使用方便。q窗口函數(shù)大多有封閉的公式可循，性能、參數(shù)窗口函數(shù)大多有封閉的公式可循，性能、參數(shù)都已有表格、資料可供參考，都已有表格、資料可供參考， 計(jì)算程序簡(jiǎn)便，計(jì)算程序簡(jiǎn)便

36、， 所以很實(shí)用。所以很實(shí)用。q缺點(diǎn)是通帶和阻帶的截止頻率不易控制。缺點(diǎn)是通帶和阻帶的截止頻率不易控制。其他應(yīng)用補(bǔ)充：其他應(yīng)用補(bǔ)充：1、理想、理想Hilbert變換的時(shí)、頻計(jì)算。變換的時(shí)、頻計(jì)算。2,0,)(jjeHjd0,0,jjor00)(2121)(dejdjenhnjnjd0)0(, 0,)2(sin22dhnnn) 1(1 1)(ndnnh 計(jì)算單位沖激響應(yīng)。計(jì)算單位沖激響應(yīng)。 或或其他應(yīng)用補(bǔ)充：其他應(yīng)用補(bǔ)充：)(jeH02jj)(jeH02jj2 2、理想微分器的時(shí)、頻計(jì)算及、理想微分器的時(shí)、頻計(jì)算及FIRFIR設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)。 2),2(0,)(jjeHjd20)2(2121)(dej

37、dejnhnjnjd計(jì)算單位沖激響應(yīng)。計(jì)算單位沖激響應(yīng)。2)sin()cos(nnnn其他應(yīng)用補(bǔ)充其他應(yīng)用補(bǔ)充n若選用矩形窗若選用矩形窗: :n則則 ，顯然，顯然 。實(shí)現(xiàn)形式有。實(shí)現(xiàn)形式有前面所講的前面所講的3 3、4 4兩種類(lèi)型?！镜匦痛靶Ч⒉缓谩?jī)煞N類(lèi)型。【但矩型窗效果并不好】)()21()(nRNnhnhNd21N)1()(nNhnh)(nhn0N-1第3類(lèi)N為奇)(nhn0N-1第4類(lèi)N為偶)(jeH 0N=11N=11)(jeH0N=6其他應(yīng)用補(bǔ)充其他應(yīng)用補(bǔ)充cjcjhpeeH,0, 0)(),(1 )(jlpjjhpeHeeH)()(sin)()(sin)(nnnnnhchp2

38、1N3、N點(diǎn)高通點(diǎn)高通FIR設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)顯然：顯然：所以：所以：其中：其中：)(jhpeHn 實(shí)現(xiàn)時(shí)，濾波器實(shí)現(xiàn)時(shí)，濾波器 形式可以是有形式可以是有1 1到到4 4任意一種。但任意一種。但 3 3、4 4型一般用于微分器和相移器中。常用的是采用型一般用于微分器和相移器中。常用的是采用1 1、2 2型，型， 但高通采用但高通采用2 2型不好（見(jiàn)后面的圖示）。型不好（見(jiàn)后面的圖示）。其他應(yīng)用補(bǔ)充：其他應(yīng)用補(bǔ)充：)(jhpeH22)(nhhpn0N-1)(nhhpn0N-1第1類(lèi)，N為奇第2類(lèi)，N為偶)(jhpeH7.4 頻率采樣法頻率采樣法一、頻率抽取設(shè)計(jì)法的基本思路一、頻率抽取設(shè)計(jì)法的基本思路窗口法

39、從時(shí)域出發(fā)，頻率采樣法則從頻域出發(fā)窗口法從時(shí)域出發(fā)，頻率采樣法則從頻域出發(fā)令令)()()(2kjddNeHkHkH逼近達(dá)到使達(dá)到使)()(jdjeHeH逼近若要求若要求h(n)可以對(duì)可以對(duì)H(k) 進(jìn)行進(jìn)行IDFT運(yùn)算，得到：運(yùn)算，得到：)()(nhnhd逼近或延拓或延拓 H(k)為：為：1011)(1)(NkkNNzWkHzzzH)2()()(10kNkHeHNkkj)(jdeH逼近)(21)()()(jNjjeHeHeHkjkeHkH)( 即頻率內(nèi)插，內(nèi)插函數(shù)為：即頻率內(nèi)插，內(nèi)插函數(shù)為：二、線性相位約束二、線性相位約束設(shè)計(jì)線性相位設(shè)計(jì)線性相位FIR時(shí)，時(shí)， H(k)樣值也應(yīng)滿足線樣值也應(yīng)滿

40、足線性相位條件約束。下性相位條件約束。下面也分四類(lèi)來(lái)討論。面也分四類(lèi)來(lái)討論。令：令：Nk)(Nk221)2()(HH)2()( HHkNKHHkNKHHNk)(Nk221)2()(HHkNKHH2221Nk)(NkkNKHH)2()( HH2221Nk)(Nk線性相位約束線性相位約束第第1 1類(lèi)類(lèi) 由：由： 有：有：第第2 2類(lèi)類(lèi) 由：由： 有：有：第第3 3類(lèi)類(lèi) 由：由： 有：有：第第4 4類(lèi)類(lèi) 由：由： 有：有：頻率采樣法頻率采樣法三、頻率采樣設(shè)計(jì)法舉三、頻率采樣設(shè)計(jì)法舉例例例：設(shè)計(jì)一線性相位例：設(shè)計(jì)一線性相位FIR，帶通濾波器，通帶帶通濾波器，通帶500-700Hz，采樣采樣fs=3.3

41、KHz，階數(shù)選階數(shù)選N=33。解：解：(1) (1) 確定確定H(k): 由由 N=33，fs=3.3KHz，可得可得:頻率分辨力：頻率分辨力：KHzNfsf1 . 0要求設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)BPF，線性相位，線性相位，N為奇數(shù)，選第為奇數(shù)，選第1類(lèi)類(lèi)FIR有：有：)2()( HH2) 1()(N)()()(22kfsfjkNjeHeHkH頻率采樣法頻率采樣法其它，028.27.26, 7 . 6 . 5,1)()(33322keeHkHkjkNj(3) (3) 內(nèi)插計(jì)算內(nèi)插計(jì)算H(z) - -用用z z域內(nèi)插域內(nèi)插10)(1)(NkknNWkHNnh320332)(331kknjekH1032013

42、323311)(3311)(1)(NkkkjkNNzekHzzWkHNzzH1)28(1)27(1)26(1)7(1)6(1)5()1 (33112833212733212633217332163321533233zeHzeHzeHzeHzeHzeHzjjjjjjcos42. 068. 1cos58. 078. 117cos16cos)(3316 jjeeH(2) (2) 計(jì)算計(jì)算h(n) ，用，用IDFT四、增加過(guò)渡帶和減少肩峰四、增加過(guò)渡帶和減少肩峰q 直接按上述對(duì)理想直接按上述對(duì)理想Hd(ejw)取樣值，再內(nèi)插。取樣值，再內(nèi)插。q 當(dāng)有跳變處，會(huì)在內(nèi)插時(shí)產(chǎn)生肩峰起伏。當(dāng)有跳變處，會(huì)在內(nèi)插

43、時(shí)產(chǎn)生肩峰起伏。q 可以通過(guò)在過(guò)渡帶中取一些樣值來(lái)使之樣值之可以通過(guò)在過(guò)渡帶中取一些樣值來(lái)使之樣值之間光滑過(guò)渡，使肩峰起伏小些。間光滑過(guò)渡，使肩峰起伏小些。q 但計(jì)算上稍麻煩一些。至于取什么樣的過(guò)渡點(diǎn)，但計(jì)算上稍麻煩一些。至于取什么樣的過(guò)渡點(diǎn)，在工作中大多結(jié)合在工作中大多結(jié)合CAD設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)。五、舉例說(shuō)明五、舉例說(shuō)明13,.3 , 2014, 15 . 001kkkHk，2) 1()(N例：用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位例：用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位LPF(N=15)。已知：已知：解：解： (1) 確定確定H(k)。 取取N為奇，線性相位為奇，線性相位 （為第（為第1類(lèi)）類(lèi)）145 . 0132015

44、 . 001)(141514151422)1(kekkekeHkHjjkNNjk，(2) 計(jì)算計(jì)算h(n)21211 (151)(1)(14152151414152151410jjjjNkknNeeeeWkHNnh舉例說(shuō)明舉例說(shuō)明)7(152cos1151)1514152cos(1151nn14, 1, 0n 頻率采樣型頻率采樣型 1z . )0(h)1(h)2(h)14(h)(nx)(ny1z1z1z1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH(3) (3) 實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu) 橫截型橫截型運(yùn)算量：運(yùn)算量：15次（次（N）乘法，乘法，14次次(N-1)加法。加法。n且且H(k)樣點(diǎn)少，可轉(zhuǎn)化為

45、實(shí)現(xiàn)系數(shù)二二環(huán)形式。樣點(diǎn)少，可轉(zhuǎn)化為實(shí)現(xiàn)系數(shù)二二環(huán)形式。n本題只有一對(duì)復(fù)數(shù)本題只有一對(duì)復(fù)數(shù)H(k) ，一個(gè)實(shí)數(shù)，一個(gè)實(shí)數(shù)H(k) 。 )(nx)(ny1z1z1zNz1111) 0 (H0NW1210N1舉例說(shuō)明舉例說(shuō)明運(yùn)算量：乘法運(yùn)算量：乘法6 6次，加法次，加法6 6次。比前一種形式節(jié)省運(yùn)算量。次。比前一種形式節(jié)省運(yùn)算量。六、窗函數(shù)法與六、窗函數(shù)法與頻率采樣法比較頻率采樣法比較總結(jié)：（總結(jié)：（1 1）FIRFIR設(shè)計(jì)方法中，窗口法便于得到解設(shè)計(jì)方法中，窗口法便于得到解析式，使用方便；而頻率采樣法在采樣點(diǎn)數(shù)少析式，使用方便；而頻率采樣法在采樣點(diǎn)數(shù)少時(shí)很方便，因此頻率采樣法便適用于窄帶濾波時(shí)很

46、方便，因此頻率采樣法便適用于窄帶濾波器設(shè)計(jì)。器設(shè)計(jì)。 （2 2）頻率采樣法的）頻率采樣法的FIRFIR設(shè)計(jì)方法與前述設(shè)計(jì)方法與前述FIRFIR濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的頻率采樣型的理論都是一濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的頻率采樣型的理論都是一個(gè)，但用于不同的方面。個(gè)，但用于不同的方面。7.5 IIR與與FIR數(shù)字濾波器的比較數(shù)字濾波器的比較 1、在相同技術(shù)指標(biāo)下，由于、在相同技術(shù)指標(biāo)下，由于IIR濾波器存在輸出濾波器存在輸出對(duì)輸入的反對(duì)輸入的反 饋，因此可以使用較少的階數(shù)、運(yùn)饋，因此可以使用較少的階數(shù)、運(yùn)算、和存儲(chǔ)單元。通常算、和存儲(chǔ)單元。通常FIR比比IIR階數(shù)高出階數(shù)高出5-10倍。倍。2、FIR可得到嚴(yán)格的

47、線性相位，可得到嚴(yán)格的線性相位，IIR是不能得到嚴(yán)是不能得到嚴(yán)格的線性格的線性 相位。相位。IIR濾波器選擇性越好，相位的濾波器選擇性越好，相位的非線性越嚴(yán)重。非線性越嚴(yán)重。3、FIR濾波器具有穩(wěn)定性；濾波器具有穩(wěn)定性；IIR結(jié)構(gòu)容易引起寄生結(jié)構(gòu)容易引起寄生振蕩。振蕩。7.5 IIR與與FIR數(shù)字濾波器的比較數(shù)字濾波器的比較 4、FIR濾波器具有有限長(zhǎng)沖擊響應(yīng)，易于用濾波器具有有限長(zhǎng)沖擊響應(yīng)，易于用FFT進(jìn)行快速處理。進(jìn)行快速處理。IIR濾波器是不行的。濾波器是不行的。5、IIR濾波器可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)濾波器可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)計(jì)算工具要求不高；計(jì)算工具要求不高；FIR需借助輔助計(jì)算機(jī)分需借助輔助計(jì)算機(jī)分析系數(shù)。析系數(shù)。6、FIR濾波器可以設(shè)計(jì)各種類(lèi)型濾波器，而濾波器可以設(shè)計(jì)各種類(lèi)型濾波器，而IIR主要設(shè)計(jì)較標(biāo)準(zhǔn)形狀的濾波器。主要設(shè)計(jì)較標(biāo)