概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末試題(2)一、填空題(每小題 3分，共15分)1 .設(shè)事件A,B僅發(fā)生一個的概率為 0.3,且P(A) P(B) 0.5,則A, B至少有一個不發(fā)生的概率為.2 .設(shè)隨機變量 X服從泊松分布，且 P(X 1) 4P(X2),則P(X 3) .23 .設(shè)隨機變量X在區(qū)間(0,2)上服從均勻分布，則隨機變量Y X在區(qū)間(0,4)的概率密度為4 .設(shè)隨機變量 X,Y相互獨立，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，P(X 1) e2,則, Pmin(X,Y) 15 .設(shè)總體X的概率密度為f(x)(1)x , 0 x 1,0,其它1.X1,X2, ,Xn是來自X的樣本，則未知參數(shù)的極大似然估計量

2、為二、單項選擇題(每小題 3分，共15分)1 .設(shè)A, B,C為三個事件，且 A, B相互獨立，則以下結(jié)論中不正確的是()(A)若P(C) 1,則AC與BC也獨立.(B)若P(C) 1,則AUC與B也獨立.(C)若P(C) 0,則AUC與B也獨立.(D)若C B,則A與C也獨立.2 .設(shè)隨機變量 XN(0,1), X的分布函數(shù)為(x),則P(|X| 2)的值為()(A) 21(2) .(B) 2 (2) 1.(0 2(2).(D) 1 2 (2).3 .設(shè)隨機變量 X和Y不相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是()(A) X 與 Y 獨立.(B) D(X Y) DX DY .(C) D(X Y) DX D

3、Y .(D) D(XY) DXDY .4 .設(shè)離散型隨機變量 X和Y的聯(lián)合概率分布為(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)若X,Y獨立，則(A)(05.設(shè)總體219,9.11, 66X的數(shù)學(xué)期望為1119183的值為()(A)(D)518工18,Xi,X2,L ,Xn 為來自X的樣本，則下列結(jié)論中正確的是()(A) Xi是的無偏估計量(B) Xi是的極大似然估計量（C） Xi是 的相合（一致）估計量.（D） X1不是的估計量.三、（7分）已知一批產(chǎn)品中90妙合格品，檢查時，一個合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.05 , 一個次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為

4、0.02，求（1） 一個產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的概率；（2） 一個經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率四、（12分）從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是2/5.設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求 X的分布列、分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差.五、（10分）設(shè)二維隨機變量（X,Y）在區(qū)域D （x,y）|x 0, y 0, x y 1上服從均勻分布.求（1） （X,Y）關(guān)于X的邊緣概率密度；（2） Z X Y的分布函數(shù)與概率密度X和縱坐標(biāo)Y相22x y 2的概y六、（10分）向一目標(biāo)射擊，目標(biāo)中心為坐標(biāo)原點，已知命中點的橫坐標(biāo) 互獨立，且均

5、服從 N（0,22）分布.求（1）命中環(huán)形區(qū)域 D （ x,y） |1率；（2）命中點到目標(biāo)中心距離 Z Jx2 Y2的數(shù)學(xué)期望.七、（11分）設(shè)某機器生產(chǎn)的零件長度（單位：cm） X N（ , 2）,今抽取容量為16的樣本，測得樣本均值x 10,樣本方差S2 0.16.（1）求的置信度為0.95的置信區(qū)間；（2）檢驗假設(shè)H。： 20.1 （顯著性水平為0.05）.（附注）t°.05（16） 1.746, t0.05（15） 1.753, t0.025（15） 2.132,0.05(16) 26.296,2.05(15) 24.996,0.025(15) 27.488.概率論與數(shù)理統(tǒng)

6、計期末試題(2)與解答-、填空題(每小題 3分，共15分)(1) 設(shè)P(A) 0.5 , P(B) 0.6, P(B|A) 0.8 ,則A, B至少發(fā)生一個的概率為 P(AUB) P(A) P(B) P(AB) 1.1 0.2 0.9.(2) 設(shè)X服從泊松分布，若 EX2 6 ,則P(X>1) =1 (x 1). 0 x 2(3) 設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為 f(x) 4今對X進彳T 8次0,其他.5315獨立觀測，以Y表示觀測彳1大于1的觀測次數(shù)，則 DY 8 - 3 8 88(4) 元件的壽命服從參數(shù)為 二的指數(shù)分布，由5個這種元件串聯(lián)而組成的系統(tǒng)，能夠100正常工作100小時以上

7、的概率為(5) 設(shè)測量零件的長度產(chǎn)生的誤差X服從正態(tài)分布 N( , 2),今隨機地測量16個零1616件，得Xi8,Xi - 3(D) a, b . 2Fx3，則Y 3 5X的分布函數(shù)為Fy (y)(B) 5Fx(y) 3. y (D)1 Fx(-). 34.在置彳t度0.95下， 的置信區(qū)i 1i 1(t0.05(15) 1.7531, t0.025(15) 2.1315)、單項選擇題(下列各題中每題只有一個答案是對的，請將其代號填入()中，每小題3分，共15分)(1) A, B, C是任意事件，在下列各式中，不成立的是()(A) (A B)U B AU B.(B) (AU B) A B.(

8、C) (AU B) AB AB U AB .(D) (AUB)C (A C)U(B C).(2)設(shè)Xi,X2是隨機變量，其分布函數(shù)分別為Fi (x), F2 (x),為使中應(yīng)取/、32(A) a 一，b.551 3(C) a , b .22(3)設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為(A) FX(5y 3).y 3(C)Fx(-).5F(x) aE(x) bE(x)是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值()2,2(B) a -, b -.33101111i 1, 2.424且滿足 P(X1X20) 1,則 X1,X2的相關(guān)系數(shù)為X1 X2(A) 0.(B) 1 .4(5)設(shè)隨機變量XU0,雪夫不等式

9、有P(X 3 Y(C) 1.(D) 1.2_16, Y B(12, 一)且 X, Y 相互獨立，4X 3)()根據(jù)切比(A)0.25.(B)12(C)0.75.(D),.Xi（4）設(shè)隨機變量 X1 , X2的概率分布為P1所圍成的區(qū)域x三、（8分）在一天中進入某超市的顧客人數(shù)服從參數(shù)為 的泊松分布，而進入 超市的每一個人購買 A種商品的概率為 p,若顧客購買商品是相互獨立的，求一天中恰有k個顧客購買 A種商品的概率。四、（10分）設(shè)考生的外語成績（百分制）X服從正態(tài)分布，平均成績（即參數(shù) 之值）為72分，96以上的人占考生總數(shù)的 2.3%,今任取100個考生的成績，以Y表示成績在60分至84分

10、之間的人數(shù)，求（1） Y的分布列.（2）EY 和 DY.（ （2） 0,977,（1） 0,8413）五、（10分）設(shè)（X,Y）在由直線x 1, x e2, y 0及曲線y上服從均勻分布，（1）求邊緣密度fX（x）和fy（y）,并說明X與Y是否獨立.（2）求 P（X Y 2）.六、（8分）二維隨機變量（X,Y）在以（1, 0）, （0, 1）, （1, 0）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求 Z X Y的概率密度。七、（9分）已知分子運動的速度 X具有概率密度f(x)4x29)0,Xi, X2,L , Xn為X的簡單隨0, x 0.機樣本（1） 求未知參數(shù) 的矩估計和極大似然估計；（2）驗證

11、所求得的矩估計是否為的無偏估計。八、（5分）一工人負責(zé)n臺同樣機床的維修，這 n臺機床自左到右排在一條直 線上，相鄰兩臺機床的距離為 a （米）。假設(shè)每臺機床發(fā)生故障的概率均為11,且相互獨立，若 Z表小工人修完一臺后到另一臺需要檢修的機床所走 n的路程，求EZ.概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末試題(4)、填空題(每小題 3分，共15分)(1)設(shè)事件 A與B相互獨立，事件 B與C互不相容， 事件 A與C互不相容，且P(A) P(B) 0.5, P(C) 0.2,則事件 A、B、C中僅C發(fā)生或僅C不發(fā)生的 概率為 P(ABC ABC) P(ABC) P(ABC)(2)甲盒中有2個白球和3個黑球，乙盒中有 3

12、個白千和2個黑球，今從每個盒中各取 21個球，發(fā)現(xiàn)它們是同一顏色的，則這顏色是黑色的概率為 P(B2|A)-2(3)設(shè)隨機變量 X的概率密度為 f(x)2x,0,0x1, 其它，現(xiàn)對X進行四次獨立重復(fù)觀察，用Y表示觀察值不大于 0.5的次數(shù)，則EY2 DY (EY)2 - 1 -. 44(4)設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的分布列為(X ,Y)(1, 0)(1,1)(2,0)(2,1)""P""0402 a b若 EXY 0.8,則 cov(X,Y) EXY EXEY 0.8 0.7 0.1 . 設(shè)Xi,X2,L ,X17是總體N( ,4)的樣本，S2是

13、樣本方差，若P(S2 a) 0.01 ,則a 8.(注：2.01(17) 33.4,202005(17)35.7,0201(16) 32.0,22.005(16) 34.2 )、單項選擇題(每小題 3分，共15分)(1)設(shè)A、B、C為三個事件，P(AB) 0且P(C|AB) 1 ,則有 (C )(A) P(C) P(A) P(B) 1.(C) P(C) P(A) P(B) 1.(B) P(C) P(AU B).(D) P(C) P(AUB).(2)設(shè)隨機變量 X的概率密度為f(x)且Y aX b N(0,1),則在下列各組數(shù)中應(yīng)取(B )(A) a 1/2, b 1.(B) a 72/2, b

14、 V2.(C) a 1/2, b 1.(D) a 72/2, bV2.(x 2)2e 4(3)設(shè)隨機變量 X與Y相互獨立，其概率分布分別為X 01P0.40.6Y01P0.40.6則有 (C )(A) P(X Y) 0.(C) P(X Y) 0.52.(B) P(X Y) 0.5.(D) P(X Y) 1.(4)對任意隨機變量X ,若EX存在，則EE(EX)等于(A) 0.(B) X.(5)設(shè)Xi,X2,L ,xn為正態(tài)總體(C)N(EX.(D) (EX)3.,4）的一個樣本，又表示樣本均值，則的置信度為的置信區(qū)間為(A)(X四、五、(B)(C)(D)u /2(X(X(XUi（8分）裝有、.n

15、,x/2un , x4U /2 - ,n).2.n2u /2 2n ).2n)./2 -= , X u /2 -=）.nn10件某產(chǎn)品（其中一等品 5箱子中丟失一件產(chǎn)品，但不知是幾等品， 是一等品，求丟失的也是一等品的概率。（10分）設(shè)隨機變量X的概率密度為ax 1, 0f（X）0 ,求（1）常數(shù)a ；（2） X的分布函數(shù)F （x）;（12分）設(shè)（X,Y）的概率密度為f (X, y)求（1）邊緣概率密度 fX（x）, fY（y）；（3） Z X Y的概率密度fz(Z).六、（10分）（1）設(shè) X U0,1,（2）設(shè) X N（0,1）,七、（10分）設(shè)總體的概率密度為f(x;)件，二等品 3件，

16、三等品 2件）的 今從箱中任取2件產(chǎn)品，結(jié)果都x 2,其它.(3) P(10 y x,其它.(2) P(X YYU0,1且X與Y獨立，求X 3).1)；E|X Y|;Y N(0,1)且 X 與 Y獨立，求 E |X Y|.0£1,(0)試用來自總體的樣本 Xi,X2,L ,xn ,求未知參數(shù)的矩估計和極大似然估計0 ,概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末試題（1）一、填空題1.0.92.1 1-e63.fY(y)fx (y)127y=,0 y 4, 4,.y0 ,其它.4.5.$1nln1二、單項選擇題15 D A B A A三、解:'任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢驗認(rèn)為是合格品(1)(2)四、解:任取一

17、產(chǎn)品確是合格品P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95P(B|A)案)0.1 0.02 0.857.0.9 0.950.8570.9977 .X的概率分布為p(x k) C；(|)k(5)30,1,2,3.X0123P2754368125125125125kkX的分布函數(shù)為F(x)0 , 27 125, 81, 125 1170,1,2,12513,x 3.EXDX182555D202x, 0 x 1,其它其中f (x,z x)2,1,02,1,x z 1.0,其它0,其它.fz (z)Z的分布函數(shù)為fz(z)zdx02xz 2z故z的概率密度為fz(z)2z, 0

18、 z0,其它.1,0,zfz (z)fz(y)dyz0 2ydy,或利用分布函數(shù)法Fz(z) P(Z z) P(X1,z)D10,1.0,2dxdy,1,1.1,0,z 1,1.fz (z) Fz (z)2z,0 z 1, 其它.六、解:(1) PX,Y) Df (x,y)dxdy(2)EZE(.X2Y2)七、解:(1)所以(2)因為rerer28的置信度為(X t /2(n10, s 0.4,1)x2ey28 dxdy1e 8 rdrdr28 rdrdr2Td(,xr2e 8r28 r2drr2e 8 dr12 .2 x2 y8-r21x8 dr下的置信區(qū)間為1X t /2(nn 16,0.

19、05, t0.025(15)2.132的置信度為0.95的置信區(qū)間為(9.7868, 10.2132 )2Ho : 2 0.1的拒絕域為2 15S- 15 1.6 240.122.(n 1).2_0.05(15) 24.9962 24 24.996 繪(15),所以接受Ho .概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末試題(2)答案1.1 e2 2e2 1 3e24._5_1 _55P(Xi 100)1 1 e e5.(0.2535, 1.2535).三、解:'一天中恰有k個顧客購買 A種商品 k0, 1, L四、解:CnP(B)'一天中有n個顧客進入超市n k, kP(CnB)P(Cn)P(B|C

20、n)n kn knen k n!k*k!C：pk(1p)nkn k n k(1 p)n k (n k)!小pk!k 0,1, L .1, L(1) Y B(100, p),其中P(60X 84)(84-22)60 7212()2 (-)0.02396P(X 96) 1( 72)241(一)24(一)0.977 ,所以0.6826 .故Y的分布列為P(Yk) ,(0.6826)(0.3174)100 k(2) EY 100 0.6826 68.26, DY 68.26 0.3174 21.6657.五、解：區(qū)域D的面積SDe2 1dx ln x1 xe2121(X,Y)的概率密度為f (x, y

21、) 2,0,(x,y) d,其它.(1)fX(x)f (x, y)dy口 dy,0 20 ,其它.其它.fY(y)e1dx,1 2d21 y e ,dx,2e y 1,1 21其它f(x,y)dx 112-(e 1),2112y 2 ,(2)因 f(x, y)fx(x) fY(y),所以(3) P(X Y2) 1 P(XY 2)其它X ,Y不獨立.f(x,y)dxdyx y 2140.75.六、解i： (X,Y)的概率密度為f(x, y)1,0,(x, y) D, 其它.設(shè)Z的概率密度為fZ (z),則fz(z)f(z y, y)dy1, 0 y f(z y, y)1,2y當(dāng)解2：分布函數(shù)法，

22、設(shè)0,其它Fz(z)P(Z1 或 z 1 時 fz (z) 0z 1 時 fz (z)z 10kdy所以Z的密度為z 1fZ(z)V, |z| ,0 ,其它.Z的分布函數(shù)為FZ (z),則z) P(X Y z) f (x, y)dxdyx y z0 ,dxdy,Di1 ,0 , (z 1)241 ,z 1,1 z 1, z 1.故Z的密度為fZ (z)FZ (z)|z| 1,其它.七、解:(1)先求矩估計EX04x3dxxedx2x2,"e再求極大似然估計L(X1,L ,Xn；1 4x213 -e(上 )23nn24n(xj%)21 n12-xii 1In L 3nln ln(n24

23、n)2ln(xL xn)12In L3n 2-32xi 0的極大似然估計(2)所以矩估計二 EX2的無偏估計.八、解：設(shè)從左到右的順序?qū)C床編號為1, 2, L , nX為已經(jīng)修完的機器編號，Y表示將要去修的機床，則11P(X I) -, P(Y j) -, i,j 1,2,L ,nnn1P(X i, Y j) P(X i)P(Y j) nZ |i j |a n n于是 EZ |i j|aP(X i, Y j) i 1 j 1n ni|i j |a 2nin(i j) (j i)j 1j i 1(n X的分布函數(shù)為 1) a.3n3)概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末試題(一、填空題1. P(ABC ABC) P(ABC) P(ABC)c12. P(B2 |A) 2一22153. EY2DY(EY)2一1一444. cov(X,Y) EXY EXEY 0.8 0.7 0.15.8二、單項選擇題C B C C D三、解：設(shè) A從從箱中任取2件都是一