隨機(jī)過程知識點(diǎn)匯總

1、第一章隨機(jī)過程的基本概念與基本類型一.隨機(jī)變量及其分布1 .隨機(jī)變量X,分布函數(shù)F(x) P(X x)離散型隨機(jī)變量X的概率分布用分布列pk P(X xk)分布函數(shù)F(x)pk連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率分布用概率密度f(x) 分布函數(shù)F(x) x f(t)dt2 . n維隨機(jī)變量X (Xi, X2， ,Xn)其聯(lián)合分布函數(shù) F(x) F(xi，x2，,xn)P(Xi xi，X2 x2，,Xn Xn，)離散型聯(lián)合分布列連續(xù)型聯(lián)合概率密度3 .隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望：離散型隨機(jī)變量X EXxkPk 連續(xù)型隨機(jī)變量XEX xf (x)dx方差：DX E(X EX)2 EX2 (EX)2反映隨機(jī)變量取

2、值的離散程度協(xié)方差(兩個隨機(jī)變量 X,Y)： Bxy E(X EX )(Y EY) E(XY) EX EY相關(guān)系數(shù)(兩個隨機(jī)變量 X,Y)： xy LBXY;_若0,則稱X,Y不,DX DY相關(guān)。獨(dú)立不相關(guān) 04 .特征函數(shù) g(t) E(eitX )離散 g(t)eitxk Pk連續(xù) g(t) eitx f (x)dx重要性質(zhì)：g(0) 1, |g(t)| 1, g( t) 前，gk(0) ikEXk5 .常見隨機(jī)變量的分布列或概率密度、期望、方差0 1 分布 P(X 1) p,P(X 0) q EX p DXpq二項(xiàng)分布P(X k) C：pkqnkEXnpDXnpq泊松分布P(X k) e

3、k!EXDX均勻分布略.(x a)21 1-i 1 i12-正態(tài)分布 N(a, 2) f (x) e 2 EX a DX 22x指數(shù)分布f(x) e ，xEX -DX 6 . N維正態(tài)隨機(jī)變量0, x 0X (Xi，X2，,Xn)的聯(lián)合概率密度XN(a,B)a (ai,a2, ,an) , x (?2, ,xn),B (bj)nn正定協(xié)方差陣二.隨機(jī)過程的基本概念1 .隨機(jī)過程的一般定義設(shè)(，P)是概率空間，T是給定的參數(shù)集，若對每個 t T,都有一個隨機(jī)變量X與之對應(yīng)，則稱隨機(jī)變量族X(t,e),t T是(，P)上的隨機(jī)過程。簡記為X(t),t T。含義：隨機(jī)過程是隨機(jī)現(xiàn)象的變化過程，用一族

4、隨機(jī)變量才能刻畫出這種隨 機(jī)現(xiàn)象的全部統(tǒng)計規(guī)律性。另一方面，它是某種隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，而實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的 樣本函數(shù)是隨機(jī)的。當(dāng)t固定時，X(t,e)是隨機(jī)變量。當(dāng)e固定時，X(t,e)時普通函數(shù)，稱為隨機(jī)過 程的一個樣本函數(shù)或軌道。分類：根據(jù)參數(shù)集T和狀態(tài)空間I是否可列，分四類。也可以根據(jù)X(t)之間的概率關(guān)系分類，如獨(dú)立增量過程，馬爾可夫過程，平穩(wěn)過程等。2 .隨機(jī)過程的分布律和數(shù)字特征用有限維分布函數(shù)族來刻劃隨機(jī)過程的統(tǒng)計規(guī)律性。隨機(jī)過程X(t),t T的一維分布，二維分布，n維分布的全體稱為有限維分布函數(shù)族。隨機(jī)過程的有限 維分布函數(shù)族是隨機(jī)過程概率特征的完整描述。在實(shí)際中，要知道隨機(jī)過程的全部

5、有限維分布函數(shù)族是不可能的，因此用某些統(tǒng)計特征來取代(1)均值函數(shù)mx(t) EX(t)表示隨機(jī)過程 X(t),t T在時刻t的平均值(2)方差函數(shù)Dx(t) EX(t) mx(t)2表示隨機(jī)過程在時刻t對均值的偏離程度(3)協(xié)方差函數(shù)Bx(s,t)E(X(s) mx(s)(X(t) mx(t)EX(s)X(t) mx (s)mx(t)且有 Bx(t,t) Dx(t)(4)相關(guān)函數(shù)Rx(s,t) EX(s)X(t) (3)和(4)表示隨機(jī)過程在時刻s, t時的線性相關(guān)程度(5)互相關(guān)函數(shù)：X(t),t T , Y(t),t T是兩個二階距過程，則下式稱為它們的互協(xié)方差函數(shù)。BxY(s,t)E(

6、X(s) mx(s)(Y(t) mY(t)迎, 上),那么RxY(s,t)EX(s)Y(t),稱為互相關(guān)函EX(s)Y(t) mx(s)mY(t)數(shù)。若EX(s)Y(t) mx(s)my(t),則稱兩個隨機(jī)過程不相關(guān)。3 .復(fù)隨機(jī)過程 乙 XtjYt均值函數(shù)mz (t) EXt jEYt方差函數(shù)2Dz(t) E|Zt mz(t)|2E(Zt mz)(乙 mz(t)用七辛Bz(s,t) E(zs mz (s)(zt mz(t)協(xié)萬差函數(shù)_ 相關(guān)函數(shù)Rz(s,t) EzsztEzsZ mz(s)m；(t)4 .常用的隨機(jī)過程(1)二階距過程：實(shí)(或復(fù))隨機(jī)過程X(t),t T ,若對每一個t T,

7、都有EX(t)2 (二階距存在)，則稱該隨機(jī)過程為二階距過程。(2)正交增量過程：設(shè)X(t),t T是零均值的二階距過程，對任意的ti 12 t3 t4 T ,有E(X(t2) X(ti)(X(t4) X(t3) 0,則稱該隨機(jī)過程為正交增量過程。其協(xié)方差函數(shù) Bx(s,t) Rx(s，t)；(min(s,t)(3)獨(dú)立增量過程：隨機(jī)過程X(t),t T ,若對任意正整數(shù) n 2,以及任意的tlt2tnT ,隨機(jī)變量 Xt)X(tJX(t4)Xt),X(tn)X 伍 J 是相互獨(dú)立的，則稱X(t),t T是獨(dú)立增量過程。進(jìn)一步，如X(t),t T是獨(dú)立增量過程，對任意s t,隨機(jī)變量X(t)

8、X(s)的分布僅依賴于t s,則稱X(t),t T是平穩(wěn)獨(dú) 立增量過程。(4)馬爾可夫過程：如果隨機(jī)過程 X(t),t T具有馬爾可夫性，即對任意正整數(shù)n 及 tlt2tn丁，P(X(ti)Xi，,X(tni)Xni)。，都有P X(tn)XnX(ti)Xi,X(tni)乩 PX(*)X0X(*i)Xni, 則則稱X(t),t T是馬爾可夫過程。(5)正態(tài)過程：隨機(jī)過程X,t T ,若對任意正整數(shù)n及匕工，,tn T, (X(ti),X(t2) X(tn)是n維正態(tài)隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)是n維正態(tài)分布函數(shù)，則稱X(t),t T是正態(tài)過程或高斯過程。(6)維納過程：是正態(tài)過程的一種特殊情形。設(shè)

9、W(t), t為實(shí)隨機(jī)過程，如果， W(0) 0；是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程；對任意s,t增量W(t) W(s)服從正態(tài)分布，即 W(t) W(s)N(0, 2t s) 2 0。 則稱W(t), t 為維納過程，或布朗運(yùn)動過程。另外：它是一個Markov過程。因此該過程的當(dāng)前值就是做出其未來預(yù)測中所 需的全部信息。維納過程具有獨(dú)立增量。該過程在任一時間區(qū)間上變化的概率分布獨(dú)立于其在任一的其他時間區(qū)間上變化的概率。它在任何有限時間上的變化服從正態(tài)分布， 其方差隨時間區(qū)間的長度呈線性增加o(7)平穩(wěn)過程：嚴(yán)(狹義)平穩(wěn)過程： X(t),t T ,如果對任意常數(shù) 和正整數(shù)n及匕&,儲T, tl ,t

10、2 , ,tnT , ( X(ti),X&) X(tn)與(X(ti ), X(t? ) X3 )有相同的聯(lián)合分布，則稱 X(t),t T是嚴(yán)(狹義)平穩(wěn)過程。廣義平穩(wěn)過程：隨機(jī)過程X(t),t T ,如果X(t),t T是二階距過程；對任意的 t T, mX(t) EX(t)常數(shù)；對任意 s, t T,RX(s,t) EX(s)X(t) RX(t s), 或僅與時間差t s有關(guān)。則滿足這三個條件的隨機(jī)過程就稱為廣義平穩(wěn)過程，或?qū)捚椒€(wěn)過程，簡稱平穩(wěn)過程。第二章泊松過程一.泊松過程的定義(兩種定義方法)1 ,設(shè)隨機(jī)計數(shù)過程 X(t),t 0 ,其狀態(tài)僅取非負(fù)整數(shù)值，若滿足以下三個條件，則

11、稱：X(t),t T是具有參數(shù)的泊松過程。X(0) 0;獨(dú)立增量過程，對任意 正 整 數(shù) n, 以 及 任 意 的 tl t2tn T X(t2) X(ti),X(t3) X(t2), ,X(tn) X (tn 1)相互獨(dú)立，即不同時間間隔的計數(shù)相互獨(dú)立；在任一長度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)t 0 的的泊松分布， 即對任意 t,s 0, 有t ( t)nP X(t s) X(s) n e tA一-n 0,1,Ln!EX(t) t,.：0),表示單位時間內(nèi)時間A發(fā)生的平均個數(shù),也稱速率或強(qiáng)度。2,設(shè)隨機(jī)計數(shù)過程 X(t),t 0 ,其狀態(tài)僅取非負(fù)整數(shù)值，若滿足以下三個條件，則稱：X(

12、t),t 0是具有參數(shù)的泊松過程。X(0) 0;獨(dú)立、平穩(wěn)增量過程；P X(t h) X(t) 1h o(h)oP X(t h) X(t) 2o(h)第三個條件說明，在充分小的時間間隔內(nèi)，最多有一個事件發(fā)生，而不可能有兩個或兩個以上事件同時發(fā)生，也稱為單跳性。s( t 1) stt( s 1) s t二.基本性質(zhì)1 ,數(shù)字特征mX(t) EX(t) t DX(t)Rx(s,。Bx(s,t) Rx(s,t) mx(s)mx(t) min(s,t) 推導(dǎo)過程要非常熟悉2, Tn表示第n 1事件A發(fā)生到第n次事件發(fā)生的時間間隔，T0，n 1是時間序列,隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布。概率密度為 f(t

13、) e 1 0,分布函數(shù)0, t 0Ft (t)1 e八0均值為ETn -n 0, t 0證明過程也要很熟悉到達(dá)時間的分布 略三.非齊次泊松過程到達(dá)強(qiáng)度是t的函數(shù)P X(t h) X(t) 1 (t)h o(h) 一口 一X(0) 0;獨(dú)立增量過程；o 不具有P X(t h) X(t) 2 o(h)平穩(wěn)增量性。均值函數(shù) mX(t) EX(t): (s)ds定理：X(t),t 0是具有均值為mx(t): (s)ds的非齊次泊松過程，則有四.復(fù)合泊松過程設(shè)N(t),t 0是強(qiáng)度為的泊松過程，Yk,k 1,2,L是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變N(t)量，且與 N(t),t 0獨(dú)立，令X(t)Yk則稱X(t

14、),t 0為復(fù)合泊松過程。k 1重要結(jié)論：X(t),t 0是獨(dú)立增量過程；若E(Yi2),則EX(t)tE(Y1),DX(t) tE (Yf)第五章馬爾可夫鏈泊松過程 是時間連續(xù)狀態(tài)離散的馬氏過程，維納過程是時間狀態(tài)都連續(xù)的馬氏過程。時間和狀態(tài)都離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈。馬爾可夫過程的特性：馬爾可夫性或無后效性。即：在過程時刻 然所處的狀態(tài) 為已知的條件下，過程在時刻 t品所處狀態(tài)的條件分布與過程在時刻 b之前所處 的狀態(tài)無關(guān)。也就是說，將來只與現(xiàn)在有關(guān)，而與過去無關(guān)。表示為PX(tn) XX(ti) Xi, ,X(tXn1P X(tn) XX(tn i)Xn一.馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移

15、概率1 .定義：設(shè)隨機(jī)過程 Xn，n T ,對任意的整數(shù)n T和任意的i0,ii,L ,心I ,條 件概率滿足 P Xn iiniXoio,Xiii,L,Xn"PXni/Xn,則稱Xn ,n T為馬爾可夫鏈。馬爾可夫鏈的統(tǒng)計特性完全由條件概率P Xni in i Xn in所決定。2 .轉(zhuǎn)移概率 P Xn i j Xn i相當(dāng)于隨機(jī)游動的質(zhì)點(diǎn)在時刻 n處于狀態(tài)i的條件 下，下一步轉(zhuǎn)移到j(luò)的概率。記為pj(n)。則pj(n) P Xn i j Xn i稱為馬爾可夫 鏈在時刻n的一步轉(zhuǎn)移概率。若齊次馬爾可夫鏈，則 pj(n)與n無關(guān)，記為pj。P pj i, j I I i,2,L稱為系

16、統(tǒng)的一步轉(zhuǎn)移矩陣。性質(zhì)：每個元素pj 0,每行的和為io3 . n 步轉(zhuǎn)移概率 pj(n) = P Xmn j|Xm i ;P(n) p*i, j I I i,2,L 稱為 n步轉(zhuǎn)移矩陣。重要性質(zhì)：pj(n)pik(l)pkj(nl)稱為C K方程，證明中用到條件概率的乘法公式、馬爾可夫性、齊次性Pj(n)P Xm nj Xm iP Xm i,Xmn jP Xm i掌握證明方法:P Xm i,Xmi k,Xmn jP Xm iP Xm i,Xmik,Xmn j P Xm i,Xmi kkT P Xm i,Xmi kP Xm ipkn l)(m l) Pikl)(m)Pik) pkjn l)k

17、Ik IP(n) Pn說明n步轉(zhuǎn)移概率矩陣是一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的n次乘方。4 . Xn，n T是馬爾可夫鏈，稱Pj P X。 j為初始概率，即0時亥1J狀態(tài)為j的概率；稱Pj(n) P Xn j為絕對概率，即n時刻狀態(tài)為j的概率。PT(0)MP2,L為初始概率向量，PT(n)P1(n), P2(n),L為絕對概率向量。定理： Pj(n)PiPi(n)矩陣形式：PT(n) PT(0)P(n) Pj(n)Pi(n 1)Pji Ii I定理：P Xi ii,X2 i2,L ,Xn inPi Pii1L Pin 1in 說明馬氏鏈的有限維分布完全i I由它的初始概率和一步轉(zhuǎn)移概率所決定。二.馬爾可夫鏈的

18、狀態(tài)分類1 .周期：自某狀態(tài)出發(fā)，再返回某狀態(tài)的所有可能步數(shù)最大公約數(shù)，即 d GC D n: Pi(n) 0。若d 1 ,則稱該狀態(tài)是周期的；若d 1 ,則稱該狀態(tài)是非周 期的。2 .首中概率：fj)表示由i出發(fā)經(jīng)n步首次到達(dá)j的概率。3 . fjfj(n)表示由i出發(fā)經(jīng)終于(遲早要)到達(dá) j的概率。n 14 .如果fii 1 ,則狀態(tài)i是常返態(tài)；如果fii 1,狀態(tài)i是非常返(滑過)態(tài)。5 . infjn)表示由i出發(fā)再返回到i的平均返回時間。若i ，則稱i是正常返n 1態(tài)；若,則稱i是零常返態(tài)。非周期的正常返態(tài)是遍歷狀態(tài)6 .狀態(tài)i是常返充要條件是p(n);狀態(tài)i是非常返充要條件是p(n

19、)。n 0 iin 0 ii 1 fii7 .稱狀態(tài)i與j互通，i j,即i j且j i。如果i j ,則他們同為常返態(tài)或非常 返態(tài)，；若1, j同為常返態(tài)，則他們同為正常返態(tài)或零常返態(tài)，且 i, j有相同的 周期。8 .狀態(tài)i是遍歷狀態(tài)的充要條件是lim p(n) 00 一個不可約的、非周期的、有 n限狀態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的。9 .要求：熟悉定義定理，能由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，從而識別各狀 態(tài)。三.狀態(tài)空間的分解1 .設(shè)C是狀態(tài)空間I的一個閉集，如果對任意的狀態(tài)i C ,狀態(tài)j C ,都有pj 0 (即從i出發(fā)經(jīng)一步轉(zhuǎn)移不能到達(dá) j),則稱C為閉集。如果C的狀態(tài)互通，則稱C 是不

20、可約的。如果狀態(tài)空間不可約，則馬爾可夫鏈Xn,n T不可約?；蛘哒f除了C之外沒有其他閉集，則稱馬爾可夫鏈Xn,n T不可約。2 . C為閉集的充要條件是：對任意的狀態(tài) i C ,狀態(tài)j C,都有p(n) 0。所以 閉集的意思是自C的內(nèi)部不能到達(dá)C的外部。意味著一旦質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入閉集 C中，它將 永遠(yuǎn)留在C中運(yùn)動。如果pii 1,則狀態(tài)i為吸收的。等價于單點(diǎn)i為閉集。3 .馬爾可夫鏈的分解定理：任一馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間 I ,必可唯一地分解成有 限個互不相交的子集D,Ci,C2,L CnL的和，每一個Cn都是常返態(tài)組成的不可約閉 集；Cn中的狀態(tài)同類，或全是正常返態(tài)，或全是零常返態(tài)，有相同的周期，且f

21、j 1。D是由全體非常返態(tài)組成。分解定理說明：狀態(tài)空間的狀態(tài)可按常返與非常返分為兩類，非常返態(tài)組成集合D ,常返態(tài)組成一個閉集 C。閉集C又可按互通關(guān)系分為若干個互不相交的基本常返閉集Ci,C2,L CnL o 含義：一個馬爾可夫鏈如果從 D中某個非常返態(tài)出發(fā)，它或者一直停留在D中，或某一時刻進(jìn)入某個基本常返閉集 Cn , 一旦進(jìn)入就永不離開。一個馬爾可夫鏈如果從某一 常返態(tài)出發(fā)，必屬于某個基本常返閉集Cn,永遠(yuǎn)在該閉集Cn中運(yùn)動。4.有限馬爾可夫鏈：一個馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間是一個有限集合。性質(zhì)：所有非常返態(tài)組成的集合不是閉集；沒有零常返態(tài)；必有正常返態(tài)；狀態(tài)空間I D Ci C2 L Cn,

22、 D是非常返集合， Ci,C2,L Cn是正常返集合。不可約有限馬爾可夫鏈只有正常返態(tài)。四.p(n)的漸近性質(zhì)與平穩(wěn)分布1.為什么要研究轉(zhuǎn)移概率 p的遍歷性？研究pjn)當(dāng)n時的極限性質(zhì)，即P Xn j Xo i的極限分布，包含兩個問題：一是lim pjn)是否存在；二是如果存在，是否與初始狀態(tài)有關(guān)。這一類問題稱作遍 n歷性定理。如果對i, j I ,存在不依賴于i的極限lim pijn) pj 0,則稱馬爾可夫鏈具有遍 歷性。一個不可約的馬爾可夫鏈，如果它的狀態(tài)是非周期的正常返態(tài)，則它就是 一個遍歷鏈。具有遍歷性的馬爾可夫鏈，無論系統(tǒng)從哪個狀態(tài)出發(fā)，當(dāng)轉(zhuǎn)移步數(shù) n充分大時，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率

23、都近似等于pj,這時可以用pj作為p的近似值。 2.研究平穩(wěn)分布有什么意義？判別一個不可約的、非周期的、常返態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楸闅v的，可以通過討論lim p(n)來解決，但求極限時困難的。所以，我們通過研究平穩(wěn)分布是否存在來 n判別齊次馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楸闅v鏈。一個不可約非周期常返態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的充要條件是存在平穩(wěn)分布，且平穩(wěn)分布即極限分布lim pjn) =, j I on3 . Xn，n 0是齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間為 I , 一步轉(zhuǎn)移概率為Pj,概率分布ji pijj,j I稱為馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，滿足 i Ij 1j I4 .定理：不可約非周期馬爾可夫鏈?zhǔn)钦７档某湟獥l件是存在

24、平穩(wěn)分布，且此平1 穩(wěn)分布就是極限分布 ,j I o 推論：有限狀態(tài)的不可約非周期馬爾可夫鏈必存在平穩(wěn)分布。5 .在工程技術(shù)中，當(dāng)馬爾可夫鏈極限分布存在，它的遍歷性表示一個系統(tǒng)經(jīng)過相 當(dāng)長時間后達(dá)到平衡狀態(tài)，此時系統(tǒng)各狀態(tài)的概率分布不隨時間而變，也不依賴 于初始狀態(tài)。6 .對有限馬爾可夫鏈，如果存在正整數(shù) k,使pjk) 0,即k步轉(zhuǎn)移矩陣中沒有零 元素，則該鏈?zhǔn)潜闅v的。第六章平穩(wěn)隨機(jī)過程一.定義(第一章)嚴(yán)平穩(wěn)過程：有限維分布函數(shù)沿時間軸平移時不發(fā)生變化。寬平穩(wěn)過程：滿足三個條件：二階矩過程EX2;均值為常數(shù)EX(t)常數(shù); 相關(guān)函數(shù)只與時間差有關(guān)，即 RX(t,t ) E X(t)標(biāo))RX

25、( ) o寬平穩(wěn)過程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程，而嚴(yán)平穩(wěn)過程一定是寬平穩(wěn)過程。二.聯(lián)合平穩(wěn)過程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1 .定義：設(shè) X(t),t T和X,t T是兩個平穩(wěn)過程，若它們的互相關(guān)函數(shù)E X(t)Y(t )及E Y(t)X(t )僅與時間差 有關(guān)，而與起點(diǎn)t無關(guān)，則稱X(t)和 Y是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程。即，RxY(t,t) E X(t)Y(t)Rxy( ) Rx(t，t) E Y(t)xlt)Ryx()當(dāng)然，當(dāng)兩個平穩(wěn)過程聯(lián)合平穩(wěn)時，其和也是平穩(wěn)過程。2 .相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)： Rx(0) 0 ；Rx( ) RTH，對于實(shí)平穩(wěn)過程， Rx()是 偶函數(shù)。Rx( ) Rx(0)非負(fù)定。若x(t)是周期的，

26、則相關(guān)函數(shù)Rx()也是周 期的，且周期相同。如果 x(t)是不含周期分量的非周期過程， x(t)與x(t )相 互獨(dú)立，則 lim Rx ( ) mx mx 0聯(lián)合平恭!過程 x(t)和 Y(t)的互相關(guān)函數(shù)，|RxY( ) Rx(0)RY(0) , |RYx( ) Rx (0)RY(0); Rxy( ) Ryx( )。x(t)和Y(t)是實(shí)聯(lián)合平穩(wěn)過程時，則，Rxy( ) Ryx()。三.隨機(jī)分析 略四.平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性 、一 一 一1T1 .時間均值：x(t).; ljm亓 Tx(t)dt時間相關(guān)函數(shù)：；x(t)x(t) IJm: TTx(t)x(t一)dt2 .如果(x(t) Ex(

27、t) mx(t)以概率1成立，則稱均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值有 各態(tài)歷經(jīng)性。如果(x(t)xii) Ex(t)x/t-) Rx() 以概率1成立，則稱均方連續(xù) 的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)有各態(tài)歷經(jīng)性。如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值和相關(guān)函數(shù)都有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該平穩(wěn)過 程是各態(tài)歷經(jīng)的或遍歷的。一方面表明各態(tài)歷經(jīng)過程各樣本函數(shù)的時間平均實(shí)際上可以認(rèn)為是相同的；另一 方面也表明Ex(t)與Ex(t)x/t一)必定與t無關(guān)，即各態(tài)歷經(jīng)過程必是平穩(wěn)過程。3 .討論平穩(wěn)過程的歷經(jīng)性，就是討論能否在較寬松的條件下，用一個樣本函數(shù) 去近似計算平穩(wěn)過程的均值、協(xié)方差函數(shù)等數(shù)字特征，即用時間平均代替統(tǒng)計平 均。 只在一定

28、條件下的平穩(wěn)過程，才具有各態(tài)歷經(jīng)性。4 .均值各態(tài)歷經(jīng)性定理：均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)的充要條件 是5 .相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性定理：均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)的 充要條件是第七章平穩(wěn)過程的譜分析 一.平穩(wěn)過程的譜密度 推導(dǎo)過程:隨機(jī)過程X(t), t為均方連續(xù)過程，作截尾處理XNt)X(t)，t T,由于0, t TXNt)均方可積，所以存在 FT,得 F( ,T) XT(t)e j tdtTTX(t)e j tdt ,利用paserval定理及IFT定義得cT c12、，、一 ,，一 -，一、一一 一一、XT2(t)dtTX2(t)dt |F( ,T)| d該式兩邊都

29、是隨機(jī)變量，取平均值，這時不僅要對時間區(qū)間T,T取，還要取概率意義下的統(tǒng)計平均，即T c_.、正義ljm E亓TX出為X, t 平均功率。sX()22、.lim E F( ，T)為 X, T 2It功率譜密度，簡稱譜密度?？梢酝瞥霎?dāng) X(t),212- sX( )d譜密度在頻域上的積分。t是均方連續(xù)平穩(wěn)過程時，有說明平穩(wěn)過程的平均功率等于過程的均方值，或等于2 .平穩(wěn)過程的譜密度和相關(guān)函數(shù)構(gòu)成FT對若平穩(wěn)隨機(jī)序列Xn，n 0, 1, 2,L ,則其譜密度和相關(guān)函數(shù)構(gòu)成FT對 二.譜密度的性質(zhì)1 . Sx()是 Rx()的 FT。Sx( )Rx( )e j d如果X(t), t是均方連續(xù)的實(shí)平穩(wěn)

30、過程， 有Rx() Rx( ), Sx()是也實(shí)的非負(fù)偶函數(shù)，則sx()是 的有理分式，分母無實(shí)根。2 .譜密度的物理含義，Sx()是一個頻率函數(shù)，從頻率域來描繪 X(t)統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)字特征，而X(t)是各種頻率簡諧波的疊加，Sx()就反映了各種頻率成分所具有 的能量大小。3 .計算可以按照定義計算，也可以利用常用的變換對(t)1 12 ( ) eal-a=a 0aRx() ej 0Sx(o)Rx(T)Sx() ej Tsin-1,0 等0,0三.窄帶過程及白噪聲過程的功率譜密度1 .窄帶隨機(jī)過程：隨機(jī)過程的譜密度限制在很窄的一段頻率范圍內(nèi)2 .白噪聲過程：設(shè) X(t), t為實(shí)值平穩(wěn)過程，若

31、它的均值為零，且譜密度在所有的頻率范圍內(nèi)為非零的常數(shù)，即Sx( ) No,則稱X(t), t 為白噪聲過程。是平穩(wěn)過程。其相關(guān)函數(shù)為Rx( ) No ()。表明在任意兩個時刻ti和t2, X(ti)和X(t2)不相關(guān),即白噪聲隨時間的變換起伏極快，而過程的功率譜極寬，對不同輸入頻率的信號 都有可能產(chǎn)生干擾。四.聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度 互譜密度沒有明確的物理意義，引入它主要是為了能在頻率域上描述兩個平穩(wěn)過程的相關(guān)性1 .互譜密度與互相關(guān)函數(shù)成FT對關(guān)系2 .性質(zhì)SXY()SXY()Sxy()的實(shí)部是的偶函數(shù)，虛部是的奇函數(shù)，Syx()也是。2Sxy( )|Sx( )|Sy( )| ； 若 X(t

32、)和 Y(t)相互正父，有 Rxy( ) 0 ,則SXY( ) SYX ( )00五.平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)1 .系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù) H()(也可以寫成H(j ) 一般是一個復(fù)值函數(shù)，是系 統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的FT。2 .系統(tǒng)輸入X(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則輸出Y(t)也是實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程。即輸出過程的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)是時間差的函數(shù)。且有Ry( ) Rxy( ) h( ) Rx( ) h( ) h()說明輸出過程的相關(guān)函數(shù)可以通過兩次卷積產(chǎn)生。Rxy( ) Rx( ) h()的應(yīng)用：給系統(tǒng)一個白噪聲過程 X(t),可以從實(shí)測的互相關(guān) 資料估計線性系統(tǒng)的未知脈沖響應(yīng)。因?yàn)镽x( ) N0 (), R

33、xy( ) Rx( ) h( ) No ( u)h(u)du Noh(),從而 3.輸入輸出譜密度之間的關(guān)系sY( ) |H( )2sX()h( )2 h( )H)稱為系統(tǒng)的頻率增益因子或頻率傳輸函數(shù)。有時，采用時域卷積的方法計算輸出的相關(guān)函數(shù)比較煩瑣，可以先計算輸出過程的譜密度，然后反FT計算出相關(guān)函數(shù)。Rx()sY() H( )2sx()Ry()另外 Rxy()Rx()h(),所以 Sxy( ) H()Sx(),Sx( ) H()Sx() 補(bǔ)充：排隊輪平均間隔時間=總時間/到達(dá)顧客總數(shù)平均服務(wù)時間=服務(wù)時間總和/顧客總數(shù)平均到達(dá)率=到達(dá)顧客總數(shù)/總時間平均服務(wù)率=顧客總數(shù)/服務(wù)時間總和一.當(dāng)顧客到達(dá)符合泊松過程時，顧客相繼到達(dá)的間隔時間 T必