王新磊培優(yōu)4函數(shù)恒成立問題解法試題

1、函數(shù)與不等式中的恒成立問題一、化歸二次函數(shù)法：根據(jù)題目要求，構(gòu)造二次函數(shù)。結(jié)合二次函數(shù)實根分布等相關(guān)知識，求出參數(shù)取值范圍。類型1：設，（1）上恒成立；（2）上恒成立。例1:若不等式的解集是R，求a的范圍。例2：若不等式的解集是R，求a的范圍。類型2：設（在限定范圍內(nèi)恒成立問題。）（1）當時，上恒成立，上恒成立（2）當時，上恒成立上恒成立例3：若不等式x2-2mx+2m+10對滿足0x1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍。例4 若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù) 的取值范圍.二、反客為主法（轉(zhuǎn)換主元法）用一次函數(shù)的性質(zhì)：對于一次函數(shù)有：例5：若不等式x2+px4x+p-3對滿足0p4的所有x都成立，求

2、x的范圍。例6對于滿足|a|2的所有實數(shù)a,求使不等式x2+ax+12a+x恒成立的x的取值范圍.三、參數(shù)分離法（利用函數(shù)的最值（或值域）；。在題目中分離出參數(shù)，化成af(x) （afmax(x) （ag(x)對一切xI恒成立f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方或f(x)ming(x)max例10：如果對任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是 例11 設，若不等式恒成立，求a的取值范圍。例12、當x(1,2)時，不等式(x-1)2恒成立，求實數(shù)c的取值范圍。5、 定義在定義域D內(nèi)的函數(shù)，則稱函數(shù)為“接近函數(shù)”，否則稱“非接近函數(shù)”.函數(shù),)是否為“接近函數(shù)”？如果是，請給出證明；如果不

3、是，請說明理由.函數(shù)與不等式中的恒成立問題的探究在高三復習中經(jīng)常遇到不等式恒成立問題。恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。函數(shù)與不等式中的恒成立問題，一般綜合性強，可考查函數(shù)、數(shù)列、不等式及導數(shù)等諸多方面的知識。同時，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題、綜合駕馭知識的能力。不等式恒成立問題有哪幾種處理方式？下面結(jié)合例題淺談恒成立問題的常見解法及恒成立問題的基本類型：一、化歸二次函數(shù)法：根據(jù)題目要求，構(gòu)造二次函數(shù)。結(jié)合二次函數(shù)實根分布等相關(guān)知識，求出參數(shù)取值范圍。類型1：設，（1）上恒成立；（2）上恒成立。例:若不等式的

4、解集是R，求a的范圍。解析：二次項系數(shù)為10,所以只要即可。例：若不等式的解集是R，求a的范圍。解析：要想應用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數(shù)含有參數(shù)a，所以要討論a-1是否是0。（1）當a-1=0時，不等式化為20恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，類型2：設（1）當時，上恒成立，上恒成立（2）當時，上恒成立上恒成立例：若不等式x2-2mx+2m+10對滿足0x1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍。解析：設f(x)=x2-2mx+2m+1。不等式x2-2mx+2m+10對滿足0x1的所有實數(shù)x都成立函數(shù)f(x)在0x1上的最小值大于0。而f(x)的對稱軸為x=m,原

5、問題又化歸為二次函數(shù)的動軸定區(qū)間的分類討論問題。(1)當m0時，f(x)在0,1上是增函數(shù)，因此f(0)是最小值，解得 m1時，f(x)在0,1 上是減函數(shù)，因此f(1)是最小值 解得 m1綜合(1)(2)(3) 得 注：此型題目還可以用參數(shù)分離法。例3 若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù) 的取值范圍.分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)在R上恒成立問題，并且注意對二次項系數(shù)的討論.解：依題意，當恒成立，所以，當此時當有綜上所述，f(x)的定義域為R時，二、反客為主法（轉(zhuǎn)換主元法）用一次函數(shù)的性質(zhì)：對于一次函數(shù)有：例1：若不等式x2+px4x+p-3對滿足0p4的所有x都成立，求x的范圍。解析：觀察所給的字母范

6、圍，當給定的是參數(shù)范圍時，我們可以用改變主元的辦法，將p視為主變元，即將原不等式化為：(x-1)p+x2-4x+30，令，則當0p4時，有恒成立，所以只需即，所以x的范圍是 x3。例2對于滿足|a|2的所有實數(shù)a,求使不等式x2+ax+12a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x2-2x+10在|a|2時恒成立,設f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在-2,2上恒大于0，故有：

7、即解得：x3. 即x(,1)(3,+)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.三、參數(shù)分離法（利用函數(shù)的最值（或值域）；。在題目中分離出參數(shù)，化成af(x) （afmax(x) （ag(x)對一切xI恒成立f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方或f(x)ming(x)max例：如果對任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是 解析：畫出y1=,y2=kx的圖像，由圖可看出 0k1K=1 7、當x(1,2)時，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范圍。解：設y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示

8、的拋物線要使對一切x (1,2),y11,并且必須也只需當x=2時y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga21, 10,注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)y= x2+4x及一次函數(shù)y=2x-6a-4，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。6、設，若不等式恒成立，求a的取值范圍。 解：若設，則為上半圓。設，為過原點，a為斜率的直線。在同一坐標系內(nèi) 作出函數(shù)圖象依題意，半圓恒在直線上方時，只有時成立，即a的取值范圍為。 由此可以看出，對于參數(shù)不能單獨放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來解。利用函數(shù)圖象解題時，思路是從邊界處（從相等處）開始形成的（一）換元引參，顯露問題實質(zhì) 1、對于所有

9、實數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍。 解：因為的值隨著參數(shù)a的變化而變化，若設，則上述問題實質(zhì)是“當t為何值時，不等式恒成立”。這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，它等價于求解關(guān)于t的不等式組：。 解得，即有，易得。2、設點P（x，y）是圓上任意一點，若不等式x+y+c0恒成立，求實數(shù)c的取值范圍。（五）合理聯(lián)想，運用平幾性質(zhì) 9、不論k為何實數(shù)，直線與曲線恒有交點，求a的范圍。解：，C（a，0），當時，聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系，則有點A（0，1）必在圓上或圓內(nèi)，即點A（0，1）到圓心距離不大于半徑，則有，得。分析：因為題設中有兩個參數(shù)，用解析幾何中有交點的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來解題是比較

10、困難的。若考慮到直線過定點A（0，1），曲線為圓。（六）分類討論，避免重復遺漏 10、當時，不等式恒成立，求x的范圍。解：使用的條件，必須將m分離出來，此時應對進行討論。當時，要使不等式恒成立，只要， 解得。當時，要使不等式恒成立，只要，解得。當時，要使恒成立，只有。 綜上得。解法2：可設，用一次函數(shù)知識來解較為簡單。11、當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。（七）構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想 12、（1990年全國高考題）設，其中a為實數(shù)，n為任意給定的自然數(shù)，且，如果當時有意義，求a的取值范圍。解：本題即為對于，有恒成立。這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將

11、a分離出來，得，對于恒成立。構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域。由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)。于是有的最大值為：，從而可得。四、同步跟蹤練習 1、對任意的實數(shù)，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍3、 知是定義在的單調(diào)減函數(shù)，且對一切實數(shù)x成立，求實數(shù)a的取值范圍。4、 當a、b滿足什么條件時，關(guān)于x的不等式對于一切實數(shù)x恒成立？5、已知f(x)=,在x=1與x=-2時，都取得極值。 （1）求a、b的值； （2）若x-3,2都有f(x)恒成立，求實數(shù)c的取值范圍。解、（1）a=,b=-6.（2）由f(x)min=-+c-得 或6、定義在定義域D內(nèi)的函數(shù)，則稱函數(shù)為“接近函數(shù)”，否則稱“非接近函數(shù)”.函數(shù),)是否為“接近函數(shù)”？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由.解：因為 是“接近函數(shù)”7、對于函數(shù)，若存在實數(shù)，使成立，則稱為的不動點。 （1）當a=2，b=2時，求的不動點； （2）若對于任何實數(shù)b，函數(shù)恒有兩相異的不動點，求實數(shù)a的取值范圍