中考數(shù)學(xué)專練總復(fù)習(xí)《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）

1、圓全章復(fù)習(xí)與鞏固知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角1圓的定義(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓.(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.要點(diǎn)詮釋： 圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可； 圓是一條封閉曲線.2圓的性質(zhì)(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心. 在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖

2、形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸.(3)垂徑定理及推論： 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧. 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧. 弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧. 平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦. 平行弦夾的弧相等.要點(diǎn)詮釋： 在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）3兩圓的性質(zhì)(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線.(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切

3、兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn).4與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角. 圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角. 圓周角的性質(zhì)： 圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半. 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等. 90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角. 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形. 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角.要點(diǎn)詮釋：(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：頂點(diǎn)在圓上；角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是

4、在同圓或等圓中.要點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1判定一個(gè)點(diǎn)P是否在O上設(shè)O的半徑為，OP=，則有點(diǎn)P在O 外；點(diǎn)P在O 上；點(diǎn)P在O 內(nèi).要點(diǎn)詮釋：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2判定幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上的方法當(dāng)時(shí)，在O 上.3直線和圓的位置關(guān)系設(shè)O 半徑為R，點(diǎn)O到直線的距離為.(1)直線和O沒有公共點(diǎn)直線和圓相離.(2)直線和O有唯一公共點(diǎn)直線和O相切.(3)直線和O有兩個(gè)公共點(diǎn)直線和O相交.4切線的判定、性質(zhì)(1)切線的判定： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. 到圓心的距離等于圓的半徑的

5、直線是圓的切線.(2)切線的性質(zhì)： 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑. 經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn). 經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心.(3)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng).(4)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.5圓和圓的位置關(guān)系設(shè)的半徑為，圓心距.(1)和沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離 .(2)和沒有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)含(3)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部外切.(4)和有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)切.(5)和有兩個(gè)公共點(diǎn)相

6、交.名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分BAC、ABC、ACB； (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.要點(diǎn)三、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形1三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直

7、角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：(1) 任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形；(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：2圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形

8、，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角.(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等.要點(diǎn)四、圓中有關(guān)計(jì)算1圓中有關(guān)計(jì)算圓的面積公式：，周長(zhǎng).圓心角為、半徑為R的弧長(zhǎng).圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為的扇形的面積.弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有.要點(diǎn)詮釋：(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；(2)在扇形面積公式中，涉及

9、三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.【典型例題】類型一、圓的基礎(chǔ)知識(shí)關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題1-2】1如圖所示，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，3)、B (2，2)、C (4，2)，則ABC外接圓半徑的長(zhǎng)度為 【解析】由已知得BCx軸，則BC中垂線為 那么，ABC外接圓圓心在直線x=1上， 設(shè)外接圓圓心P(1,a)，則由PA=PB=r得到：PA2=PB2 即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)

10、2 化簡(jiǎn)得 4+a2-6a+9=9+a2+4a+4 解得 a=0 即ABC外接圓圓心為P(1,0) 則 【總結(jié)升華】 三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn)，由B、C的坐標(biāo)知：圓心P（設(shè)ABC的外心為P）必在直線x=1上；由圖知：BC的垂直平分線正好經(jīng)過（1，0），由此可得到P（1，0）；連接PA、PB，由勾股定理即可求得P的半徑長(zhǎng) 類型二、弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理2如圖所示，O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，已知AE1cm，EB5cm，DEB60°，求CD的長(zhǎng) 【答案與解析】作OFCD于F，連接OD AE1，EB5， AB6 ， OEOA-AE3-12在RtOEF中， DEB6

11、0°， EOF30°， ， 在RtDFO中，OF，ODOA3， (cm) OFCD， DFCF， CD2DFcm【總結(jié)升華】因?yàn)榇箯蕉ɡ砩婕按怪标P(guān)系，所以常?？梢岳孟倚木啵▓A心到弦的距離）、半徑和半弦組成一個(gè)直角三角形，用勾股定理來解決問題，因而，在圓中常作弦心距或連接半徑作為輔助線，然后用垂弦定理來解題作OFCD于F，構(gòu)造RtOEF，求半徑和OF的長(zhǎng)；連接OD，構(gòu)造RtOFD，求CD的長(zhǎng)舉一反三：【變式】如圖，AB、AC都是圓O的弦，OMAB，ONAC，垂足分別為M、N，如果MN3，那么BC 【答案】由OMAB，ONAC，得M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)（垂徑定理），則M

12、N是ABC的中位線，BC=2MN=6.3如圖，以原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，交y軸的正半軸于點(diǎn)C，D為第一象限內(nèi)O上的一點(diǎn)，若DAB = 20°，則OCD = yxOABDC（第3題）【解析】連結(jié)OD，則DOB = 40°，設(shè)圓交y軸負(fù)半軸于E，得DOE= 130°，OCD =65°.【總結(jié)升華】根據(jù)同弧所對(duì)圓周角與圓心角的關(guān)系可求.舉一反三：【變式】如圖所示，ABC內(nèi)接于O，點(diǎn)D是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若BOC=120°，BAD等于( )A.30° B.60° C.75° D.90°【答案】本題可

13、先求出BAC的度數(shù)，BAC所對(duì)的弧是優(yōu)弧，則該弧所對(duì)的圓心角度數(shù)為360°-120°=240°，所以，因此，.類型三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系4如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑的圓O與AD、AC分別交于點(diǎn)E、F，且ACB=DCE請(qǐng)判斷直線CE與O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案與解析】直線CE與O相切理由：連接OEOE=OAOEA=OAE四邊形ABCD是矩形B=D=BAD=90°，BCAD,CD=ABDCE+DEC=90°, ACB=DAC又DCE=ACBDEC+DAC=90°OE=OAOEA=DACDEC+O

14、EA=90°OEC=90° OEEC 直線CE與O相切.【總結(jié)升華】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線舉一反三：【變式】如圖，P為正比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的半徑為3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x、y).(1)求與直線相切時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)請(qǐng)直接寫出與直線相交、相離時(shí)x的取值范圍.【答案】(1)過作直線的垂線，垂足為. 當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，得， (5，7.5). 當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)時(shí)，得， (，). 當(dāng)與直線相切時(shí)， 點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，7.5)或(，). (2)當(dāng)時(shí)，與直線相交. 當(dāng)或時(shí)，與直線相離.類型四、圓中有關(guān)的計(jì)算5如圖所示，已知正方形的邊長(zhǎng)為a，求

15、陰影部分的面積 (幾何方法) 正方形邊長(zhǎng)為a， ， ， 陰影部分的總面積為 (代數(shù)解法)觀察圖形，可知2個(gè)“葉瓣”與1個(gè)空白組成1個(gè)半圓；4個(gè)“葉瓣”與4個(gè)空白組成一個(gè)正方形 設(shè)每個(gè)“葉瓣”面積為x，每個(gè)空白面積為y，則 由×4-，得，即為陰影部分的總面積【總結(jié)升華】比較以上兩種方法，代數(shù)解法更加簡(jiǎn)捷，在運(yùn)用此法時(shí)，不需把兩個(gè)未知數(shù)求出來，只要求出表示陰影部分面積的代數(shù)式的值即可葉形的總面積可看做四個(gè)半圓面積減去正方形面積，則也可以用正方形面積減去四個(gè)空白處面積以上均為幾何方法，還可以設(shè)每個(gè)“葉瓣”面積為x，每個(gè)空白面積為y，列方程組解答類型五、圓與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用6如圖(1)是某

16、學(xué)校存放學(xué)生自行車的車棚示意圖(尺寸如圖(1)，車棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其展開圖是矩形圖(2)是車棚頂部截面的示意圖，所在圓的圓心為O車棚頂部用一種帆布覆蓋，求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e(不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果保留)【答案與解析】連接OB，過點(diǎn)O作OEAB，垂足為E，交于點(diǎn)F，如圖(2) 由垂徑定理，可知E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)， ，EF2 設(shè)半徑為R米，則OE(R-2)m 在RtAOE中，由勾股定理，得 解得R4 OE2， AOE60°， AOB120° 的長(zhǎng)為(m) 帆布的面積為(m2)【總結(jié)升華】本題以學(xué)生校園生活中的常見車棚為命題背景，使考生在考場(chǎng)上能有一種親切的感覺，這也體現(xiàn)了中命題貼近學(xué)生生活實(shí)際的原則求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e，就是求以為底面的圓柱的側(cè)面積根據(jù)題意，應(yīng)先求所對(duì)的圓心角度數(shù)以