必修五解三角形?？碱}型

1、必修五解三角形常考題型1.1正弦定理和余弦定理正弦定理【典型題剖析】考察點1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.例2在ABC中，已知c=+，C=30°，求a+b的取值范圍?？疾禳c2：利用正弦定理判斷三角形形狀例3在ABC中，·tanB=·tanA，判斷三角形ABC的形狀。例4在ABC中，如果，并且B為銳角，試判斷此三角形的形狀?？疾禳c3：利用正弦定理證明三角恒等式例5在ABC中，求證.例6在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，C=2B，求證.考察點4：求三角形的面積例7在ABC中，a,b,c分別是三個內角

2、A,B,C的對邊，若,求ABC的面積S.例8已知ABC中a,b,c分別是三個內角A,B,C的對邊，ABC的外接圓半徑為12，且,求ABC的面積S的最大值?？疾禳c5：與正弦定理有關的綜合問題例9已知ABC的內角A,B極其對邊a,b滿足求內角C例10在ABC中，A，B，C所對的邊分別為a,b,c,且c=10,，求a,b及ABC的內切圓半徑。易錯疑難辨析易錯點 利用正弦定理解題時，出現(xiàn)漏解或增解【易錯點辨析】本節(jié)知識在理解與運用中常出現(xiàn)的錯誤有：（1）已知兩邊和其中一邊的對角，利用正弦定理求另一邊的對角時，出現(xiàn)漏解或增解；（2）在判斷三角形的形狀時，出現(xiàn)漏解的情況。例1（1） 在ABC中，（2） 在

3、ABC中，易錯點 忽略三角形本身的隱含條件致錯【易錯點解析】解題過程中，忽略三角形本身的隱含條件，如內角和為180°等造成的錯誤。例2在ABC中，若求的取值范圍。高考真題評析例1（2010·廣東高考）已知a，b，c分別是ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若則例2（2010·北京高考）如圖1-9所示，在ABC中，若則ABC1圖1-9例3（2010·湖北高考）在ABC中，則等于（ ）例4（2010·天津高考）在ABC中，（1）求證 ；（2）若，求的值。 余弦定理典型題剖析考察點1： 利用余弦定理解三角形例1：已知ABC中，求A，C和。例2：ABC

4、中，已知，求A，B，C考察點2： 利用余弦定理判斷三角形的形狀例3：在ABC中，已知且，試判斷ABC的形狀。例4：已知鈍角三角形ABC的三邊求k的取值范圍?？疾禳c3：利用余弦定理證明三角形中的等式問題例5在中，a,b,c分別是角A，B，C的對邊，（1）求證（2）求證例6在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c。（1）求證（2）求證考察點4：正余弦定理的綜合應用例7：在中，已知例8：設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求A的大??；（2）求的值。例9：設得到內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求邊長a；（2）若的面積S=10，求的周長。易錯疑難解析易錯點 利用余弦定理判斷

5、三角形的形狀時出現(xiàn)漏解情況【易錯點辨析】在等式兩邊同時約去一個因式時，需要十分小心，當該因式恒正或恒負時可以約去，一定要避免約去可能為零的因式而導致漏解。例1：在中，已知試判斷的形狀易錯點 易忽略題中的隱含條件而導致錯誤【易錯點辨析】我們在解題時要善于應用題目中的條件，特別是隱含條件，全面、細致地分析問題，如下列題中的ba就是一個重要條件。例2：在中，已知求。高考真題評析例1：（2011.山東模擬）在中，D為BC邊上一點，若則例2：（2010.天津高考）在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若則A等于（ ）A30° B.60° C.120° D.150

6、76;例3：（2010.北京高考）某班設計了一個八邊形的班徽（如圖1-14所示），它由腰長為1，頂角為a的四個等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，該八邊形的面積為（ ）A. B.C. D. 例4：（2010.安徽高考）設是銳角三角形，a，b，c分別是內角A，B，C所對邊長，且。（1）求角A的值；（2）若，求b，c（其中bc）例5：（陜西高考）如圖1-15所示，在中，已知B=45°，D是BC邊上一點，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的長。圖1-15例6：（2010.江蘇高考）在銳角中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若求的值。必修五解三角形常考題型1.1正弦定理和余弦定

7、理正弦定理【典型題剖析】考察點1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【點撥】 本題考查利用正弦定理實現(xiàn)三角形中邊與角的互化，利用三角形內角和定理及正弦定理的變形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解：【解題策略】要牢記正弦定理極其變形形式，要做到靈活應用。例2在ABC中，已知c=+，C=30°，求a+b的取值范圍。【點撥】 此題可先運用正弦定理將a+b表示為某個角的三角函數(shù)，然后再求解。解：C=30°，c=+，由正弦定理得： a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150

8、6;-A）.a+b=2(+)sinA+sin(150°-A)= 2(+)·2sin75°·cos(75°-A)= cos(75°-A) 當75°-A=0°，即A=75°時，a+b取得最大值=8+4； A=180°-(C+B)=150°-B,A150°，0°A150°,-75°75°-A75°，cos75°cos(75°-A)1， cos75°=×=+.綜合可得a+b的取值范圍為(+,8+

9、4>考察點2：利用正弦定理判斷三角形形狀例3在ABC中，·tanB=·tanA，判斷三角形ABC的形狀?！军c撥】通過正弦定理把邊的關系轉化為角的關系，利用角的關系判斷ABC的形狀。解：由正弦定理變式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，.為等腰三角形或直角三角形?！窘忸}策略】“在ABC中，由得A=B”是常犯的錯誤，應認真體會上述解答過程中“A=B或A+B=”的導出過程。例4在ABC中，如果，并且B為銳角，試判斷此三角形的形狀?！军c撥】通過正弦定理把邊的形式轉化為角的形式，利用兩角差的正弦公式來判斷ABC的形狀。解：.又B為銳角，B=45°.由由正弦定理

10、，得,代入上式得：考察點3：利用正弦定理證明三角恒等式例5在ABC中，求證.【點撥】觀察等式的特點，有邊有角要把邊角統(tǒng)一，為此利用正弦定理將轉化為.證明：由正弦定理的變式得：同理【解題策略】在三角形中，解決含邊角關系的問題時，常運用正弦定理進行邊角互化，然后利用三角知識去解決，要注意體會其中的轉化與化歸思想的應用。例6在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，C=2B，求證.【點撥】本題考查正弦定理與倍角公式的綜合應用.證明：【解題策略】有關三角形的證明題中，要充分利用三角形本身所具有的性質?？疾禳c4：求三角形的面積例7在ABC中，a,b,c分別是三個內角A,B,C的對邊，若,求ABC的

11、面積S.【點撥】先利用三角公式求出sinB,sinA 及邊c，再求面積。解：由題意，得B為銳角，由正弦定理得【解題策略】在ABC中，以下三角關系式在解答三角形問題時經常用到，要記準、記熟，并能靈活應用，例8已知ABC中a,b,c分別是三個內角A,B,C的對邊，ABC的外接圓半徑為12，且,求ABC的面積S的最大值?！军c撥】本題主要考察正弦定理與三角形面積公示的綜合應用。解：【解題策略】把三角形的面積公式和正弦定理相結合，通過討論三角函數(shù)值的取值，求得面積的最大值?？疾禳c5：與正弦定理有關的綜合問題例9已知ABC的內角A,B極其對邊a,b滿足求內角C【點撥】本題主要考察解三角形中的正弦定理、和差

12、化積公式等基礎知識，考察運算能力、分析能力和轉化能力。解法1：（R為ABC的外接圓半徑），又A,B為三角形的內角，當時，由已知得綜上可知，內角.解法2：由及正弦定理得，從而即又0A+B，【解題策略】切化弦、邊化角是三角關系化簡的常用方法，熟練運用三角恒等變換公式是解題的關鍵。例10在ABC中，A，B，C所對的邊分別為a,b,c,且c=10,，求a,b及ABC的內切圓半徑?！军c撥】欲求邊，應將已知條件中的邊角統(tǒng)一，先求角再求邊。解：變形為又ABC是直角三角形。由解得【解題策略】解此類問題應注意定理與條件的綜合應用。-易錯疑難辨析易錯點 利用正弦定理解題時，出現(xiàn)漏解或增解【易錯點辨析】本節(jié)知識在理

13、解與運用中常出現(xiàn)的錯誤有：（1）已知兩邊和其中一邊的對角，利用正弦定理求另一邊的對角時，出現(xiàn)漏解或增解；（2）在判斷三角形的形狀時，出現(xiàn)漏解的情況。例1（3） 在ABC中，（4） 在ABC中，【錯解】（1） 由正弦定理得（2） 由正弦定理得【點撥】（1）漏解，由（0°B180°）可得因為ba,所以兩解都存在。（2）增解。由（0°B180°）可得，因為ba,根據(jù)三角形中大邊對大角可知BA,所以不符合條件，應舍去?！菊狻浚?）由正弦定理得又0°B180°（經檢驗都符合題意）（2）由正弦定理得又0°B180°ba,根據(jù)

14、三角形中大邊對大角可知BA，不符合條件，應舍去，。易錯點 忽略三角形本身的隱含條件致錯【易錯點解析】解題過程中，忽略三角形本身的隱含條件，如內角和為180°等造成的錯誤。例2在ABC中，若求的取值范圍。【錯解】由正弦定理得【點撥】在上述解題過程中，得到了后，忽略了三角形的內角和定理及隱含的均為正角這一條件。【正解】由正弦定理可知0°B45°，1.13，故13.高考真題評析例1（2010·廣東高考）已知a，b，c分別是ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若則【命題立意】本題主要考察正弦定理和三角形中大邊對大角的性質，解題的關鍵是確定角C的值?！军c撥】在AB

15、C中，又，故，由正弦定理知又ab，因此從而可知，即。故填1.【名師點評】解三角形相關問題時，應靈活掌握邊角關系，實現(xiàn)邊角互化。例2（2010·北京高考）如圖1-9所示，在ABC中，若則【命題立意】本題考查利用正弦定理解決三角形問題，同時要注意利用正弦定理得到的兩解如何取舍。【點撥】由正弦定理得，C為鈍角，B必為銳角，故填1【名師點評】在范圍內，正弦值等于的角有兩個，因為角C為鈍角，所以角B必為銳角，防止忽略角的范圍而出現(xiàn)增解ABC1圖1-9例3（2010·湖北高考）在ABC中，則等于（ ）【命題立意】本題考查正弦定理及同角三角函數(shù)基本關系式，解題的關鍵是確定角B的范圍?！军c

16、撥】由正弦定理得，B為銳角。，故選D【名師點評】根據(jù)三角形性質大邊對大角準確判斷角B的范圍，從而確定角B的余弦值。例4（2010·天津高考）在ABC中，（1）求證 ；（2）若，求的值。【命題立意】本題主要考察正弦定理、兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角的正弦與余弦等基礎知識，同時考察基本運算能力。證明：（1）在ABC中，由正弦定理及已知，得。于是即因為B-C，從而B-C=0，所以B=C .解：（2）由和（1）得，故又02B，于是從而，。所以【名師點評】（1）證角相等，故由正弦定理化邊為角。（2）在（1）的基礎上找角A與角B的函數(shù)關系，在求2B的正弦值時要先判斷2B的

17、取值范圍。 余弦定理典型題剖析考察點1： 利用余弦定理解三角形例1：已知ABC中，求A，C和?！军c撥】解答本題可先由余弦定理列出關于邊長的方程，首先求出邊長，再由再由正弦定理求角A，角C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其他的邊和角。解法1：由正弦定理得，解得或6.當時，當時，由正弦定理得解法2：由，知本題有兩解。由正弦定理得，或，當時，由勾股定理得：當時，ABC為等腰三角形，。【解題策略】比較兩種解法，從中體會各自的優(yōu)點，從而探索出適合自己思維的解題規(guī)律和方法。三角形中已知兩邊和一角，有兩種解法。方法一利用余弦定理列出關于第三邊的等量關系列出方程，利用解方程的方法求出第三邊的長，這樣可免

18、去判斷取舍的麻煩。方法二直接運用正弦定理，先求角再求邊。例2：ABC中，已知，求A，B，C【點撥】解答本題可由余弦定理求出角的余弦值，進而求得各角的值。解法1：由余弦定理得：。因為所以。因為所以因為所以解法2：由解法1知，由正弦定理得，因為，所以BC，所以角C應該是銳角，因此。又因為所以【解題策略】已知三角形三邊求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止增解或漏解?？疾禳c2： 利用余弦定理判斷三角形的形狀例3：在ABC中，已知且，試判斷ABC的形狀。【點撥】本題主要考察利用正弦定理或余弦定理判斷三角形的形狀，從問題的已知條出發(fā)，找到三角形邊

19、角之間的關系，然后判斷三角形的形狀。解法1：（角化邊）由正弦定理得，由，得。又由余弦定理的推論得。即。又為等邊三角形。解法2：（邊化角）又，又A與B均為的內角，A=B.又由，得，即由余弦定理得，而0°C180°，又為等邊三角形?！窘忸}策略】已知三角形關系中的邊角關系式判斷三角形的形狀，有兩條思考路線：一是化邊為角，求出三個角之間的關系式；二是化角為邊，求出三條邊之間的關系式，種轉化主要應用正弦定理和余弦定理。例4：已知鈍角三角形ABC的三邊求k的取值范圍。【點撥】由題意知ABC為鈍角三角形，按三角形中大邊對大角的原則，結合a,b,c的大小關系，故必有C角最大且為鈍角，于是可

20、有余弦定力理求出k的取值范圍。解：0，解得-2k6.而k+k+2k+4，k2.故2k6.故k的取值范圍是【解題策略】應用三角形三邊關系時，應注意大邊對大角。考察點3：利用余弦定理證明三角形中的等式問題例5在中，a,b,c分別是角A，B，C的對邊，（1）求證（2）求證【點撥】本題考察余弦定理及余弦定理與二倍角公式的綜合應用。證明：（1）左邊右邊，故原式成立。（2）左邊右邊，故原式成立?！窘忸}策略】（1）小題利用余弦定理將角化為邊。（2）小題先降冪，然后利用余弦定理將角化為邊。例6在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c。（1）求證（2）求證【點撥】本題考察余弦定理及余弦定理與兩角和差正弦公式的綜

21、合應用證明：（1）由得；。又故原式成立。（2）左邊右邊。故原式成立?？疾禳c4：正余弦定理的綜合應用例7：在中，已知【點撥】本題主要考察正、余弦定理的綜合應用。解：a0,c0,由正弦定理得或.由知ab,若則與已知矛盾?！窘忸}策略】本題邊未知，已知一角，所以考慮使用余弦定理得a，c的關系，再結合正弦定理求注意特殊角的三角函數(shù)值，如：例8：設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求A的大??；（2）求的值?！军c撥】本題考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的綜合應用。解：（1）由余弦定理得所以（2）。例9：設得到內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（1）求邊長a；（2）若的面積S=10，求

22、的周長。【點撥】本題考察正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及同腳三角函數(shù)關系式的綜合應用。解：（1）已知將兩式相除，有又由知0，則，則（2）由得由得。故?！窘忸}策略】把已知兩個關系式相除是本題的難點，也是解決此題的關鍵，相除之后出現(xiàn)，使用正弦定理使問題得到順利解決。易錯疑難解析易錯點 利用余弦定理判斷三角形的形狀時出現(xiàn)漏解情況【易錯點辨析】在等式兩邊同時約去一個因式時，需要十分小心，當該因式恒正或恒負時可以約去，一定要避免約去可能為零的因式而導致漏解。例1：在中，已知試判斷的形狀?！惧e解】由余弦定理得：故為直角三角形。【點撥】利用余弦定理把已知等式中角的形式轉化為邊的形式，其思路是正確的，但是

23、在等式變形中約去了可能為零的因式，產生了漏解的情況，導致結論錯誤?！菊狻坑捎嘞叶ɡ淼茫夯?。為等腰三角形或直角三角形。易錯點 易忽略題中的隱含條件而導致錯誤【易錯點辨析】我們在解題時要善于應用題目中的條件，特別是隱含條件，全面、細致地分析問題，如下列題中的ba就是一個重要條件。例2：在中，已知求?！惧e解】由余弦定理，得由正弦定理，得又0°A180°，或.【點撥】注意到已知條件中這一隱含條件，則，顯然是不可能的?！菊狻坑捎嘞叶ɡ?，得又由正弦定理，得ba，BA.又0°A180°，高考真題評析例1：（2011.山東模擬）在中，D為BC邊上一點，若則【命題立意

24、】本題主要考察余弦定理與方程組的應用?！军c撥】如圖1-13所示，設則再設則在中，由余弦定理得。在中，由余弦定理得。由得解得（負值舍去），故填?！久麕燑c評】根據(jù)題意畫出示意圖由CD=2BD,AC=AB,設出未知量，在兩個三角形中分別利用余弦定理，然后聯(lián)立方程組求解。圖1-13例2：（2010.天津高考）在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若則A等于（ ）A30° B.60° C.120° D.150°【命題立意】本題考察正、余弦定理的綜合應用，考察分析問題、解決問題的能力?！军c撥】由根據(jù)正弦定理得代入得即，由余弦定理得又0°A180°，故選A【名師點評】應用正弦定理把已知條件中轉化成邊b，c的關系，再代入已知得a，b的關系，利用余弦定理變形形式求角的余弦值。例3：（2010.北京高考）某班設計了一個