微積分二同步練習(xí)冊(cè)最終使用版

1、第五章 不定積分§5.3 湊微分法和分部積分法（第5.15.2節(jié)的內(nèi)容，請(qǐng)參見(jiàn)本練習(xí)冊(cè)末尾、第五章“自測(cè)題”前的附加材料）1. 求下列不定積分： (1) ； (2) ；(3)； (4) ；(5) ； (6)；(7)； (8) ；(9) ； (10)；(11)； (12*)；(13*)； (14*)3. 求下列不定積分：(1)； (2)；(3)； (4) ；(5) ； (6)4. 求下列有理函數(shù)的不定積分：(1) ； (2).5. 求下列不定積分：(1) 已知是的一個(gè)原函數(shù)，求；(2) 已知是的一個(gè)原函數(shù)，求. §5.4 換元積分法1. 求下列不定積分： (1)； (2)；(

2、3)； (4)；(5)；(6)； (7)(7) 2*. 求不定積分. 3*. 試求不定積分4*. 已知，求. 第六章 定積分§6.1 定積分的概念與性質(zhì)1. 利用定積分的幾何意義，計(jì)算下列定積分： (1）； (2）；(3）.2. 不計(jì)算積分，比較下列各積分值的大?。ㄖ赋雒鞔_的“”關(guān)系，并給出必要的理由）.(1） 與 ； (2） 與 ；(3） 與 ； (4） 與 3. 利用定積分的性質(zhì)，估計(jì)的大小. 4. 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足，試證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得. 5. 試判斷下列定積分是否有意義（即，被積函數(shù)在相應(yīng)的積分區(qū)間上是否“可積”），并說(shuō)明理由. (1）； (2），其中

3、 6*.根據(jù)定積分的定義，試將極限表達(dá)為定積分的形式（不需要計(jì)算出具體的數(shù)值結(jié)果）：§6.2 微積分基本定理1求下列函數(shù)關(guān)于的導(dǎo)數(shù)： (1）； (2）；(3）； (4*）2求下列極限：(1）； (2）；(3）3求函數(shù)的極值點(diǎn)4計(jì)算下列定積分：(1）； (2）；(3）； (4）；(5），其中；(6），其中為常數(shù)5設(shè)在上連續(xù)，且滿足，試求6*試?yán)枚ǚe分的定義及計(jì)算原理求解數(shù)列極限，其中§6.3 定積分的換元積分法與分部積分法1. 試?yán)枚ǚe分的換元法計(jì)算下列積分： (1）； (2）；(3）； (4）；(5）. 2. 利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算下列定積分：(1）； (2）.3. 設(shè)是

4、上的連續(xù)函數(shù)，試證：對(duì)于任意常數(shù)，均有. 4*. 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，并滿足，試求.5. 利用定積分的分部積分法計(jì)算下列積分：(1）； (2）；(3）.6*. 試計(jì)算，其中.7*. 已知是上的連續(xù)函數(shù)，試證：.§6.4 定積分的應(yīng)用1. 計(jì)算下列曲線圍成的平面封閉圖形的面積：(1）； (2）. 2. 假設(shè)曲線、軸和軸所圍成的區(qū)域被曲線分為面積相等的兩部分，試確定常數(shù)的值.3. 求由下列曲線圍成的平面圖形繞指定軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積：(1）；繞軸， （2）： （i）繞軸（ii）繞軸4. 已知某產(chǎn)品的固定成本為，邊際成本和邊際收益函數(shù)分別為，其中為產(chǎn)品的銷售量（產(chǎn)量），試求最大利潤(rùn).5.

5、 已知某產(chǎn)品在定價(jià)時(shí)的市場(chǎng)需求量，在任意價(jià)格處的需求價(jià)格彈性為，其中均為常數(shù)，為產(chǎn)品在價(jià)格處的市場(chǎng)需求量。試求該產(chǎn)品的市場(chǎng)需求函數(shù)§6.5 反常積分初步1. 判定下列無(wú)窮限積分的斂散性；若收斂, 則求其值. (1) （為常數(shù)）； (2) （為常數(shù)）；(3)（其中，均為常數(shù)）. 2. 求下列極限：(1) ；(2*) . 3. 判定下列積分的斂散性；若收斂, 則求其值. (1) ，為常數(shù)；(2) ； (3) .4. 利用函數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)，以及的結(jié)果，分別計(jì)算，. 5. 計(jì)算下列反常積分（提示：利用函數(shù)的定義，以及的結(jié)果）(1) ； (2) . 6*. 考察曲線，試求解：(1) 該曲線與軸

6、和直線所圍成的平面圖形的“面積”；(2) 上述圖形繞周旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的“體積”. 第七章 多元函數(shù)微積分學(xué) §7.1 預(yù)備知識(shí) §7.2 多元函數(shù)的概念 1. 已知點(diǎn)，在軸上找出與點(diǎn)相距的點(diǎn)2. 求過(guò)點(diǎn)，的平面方程3. 分別寫(xiě)出下列區(qū)域的“x-型”與“y-型”表達(dá)形式：(1) 由、所圍成的區(qū)域；(2) 由、所圍成的區(qū)域；(3) 由、所圍成的區(qū)域4. 求下列函數(shù)的定義域并畫(huà)出定義域的示意圖：（1）；（2）5. 設(shè)，求6. 試求下列二元函數(shù)的極限：（1）； （2）7*. 設(shè)，討論在點(diǎn)處的連續(xù)性§7.3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 1. 求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)：（1），求

7、；（4），求2. 求下列函數(shù)的指定偏導(dǎo)數(shù)：（1），求；（2），求；（3），求3. 設(shè)，分別討論在處是否連續(xù)、是否存在偏導(dǎo)數(shù)4. 求下列函數(shù)的全微分：（1）；（2）5. 求函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分6. 計(jì)算的近似值7. 已知一矩形的長(zhǎng)為6米、寬為8米。當(dāng)長(zhǎng)增加5厘米，寬減少10厘米時(shí)，求矩形對(duì)角線長(zhǎng)度變化的近似值。§7.4 多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法 1. 求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)：（1），求；（2），求；（3），求；（4），求2. 設(shè)，求3. 設(shè)可導(dǎo)，證明：4. 求下列方程所確定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）5. 求下列二元（三元）方程所確定的隱函數(shù)（）的全微分：（1）；（2）

8、§7.5 高階偏導(dǎo)數(shù) 1. 設(shè), 求2. 設(shè), 求3. 設(shè)可微, , 求4. 設(shè)可微, ，求5. 設(shè)，求§7.6 多元函數(shù)的極值 1. 求的極值2. 求在區(qū)域上的最大值與最小值3. 求在條件，下的最值4. 求曲線上到平面距離最短的點(diǎn)5. 假設(shè)某企業(yè)在兩個(gè)相互分割的市場(chǎng)上出售同一種商品，商品在兩個(gè)市場(chǎng)上的需求量與定價(jià)分別滿足,，其中分別是該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)上的價(jià)格(單位：萬(wàn)元/噸)，分別是該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)上的需求量(單位：噸)，且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)為。如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格無(wú)差別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷售量及統(tǒng)一的價(jià)格，使該企業(yè)的總利潤(rùn)最大化。§7.7

9、 二重積分 1. 將二重積分按兩種次序化為累次積分，其中積分區(qū)域分別給定如下：（1）由曲線與直線所圍成；（3）由直線，所圍成2. 交換積分次序：（1）； （2）；（3）3. 計(jì)算二重積分：（1）；（2）；（3），其中由所圍成4. 計(jì)算累次積分：（1）； （2）5. 畫(huà)出區(qū)域，并把化為極坐標(biāo)系下的二次積分：（1）；（2）6. 利用極坐標(biāo)變換計(jì)算：（1），；（2）7. 用二重積分計(jì)算曲線，圍成的平面圖形的面積8. 用二重積分計(jì)算由坐標(biāo)面與平面所圍立體的體積9*. 計(jì)算二重積分10*. 試證明下列命題：（1）若連續(xù)于，則；（2）若在上均連續(xù)、單增，則第八章 無(wú)窮級(jí)數(shù)§8.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概

10、念和性質(zhì)1.利用下列級(jí)數(shù)的部分和,求和以及和值.(1) ； (2) 2. 判斷下列級(jí)數(shù)是否收斂；若收斂，求其和值. (1) ；(2) ；(3) 3已知級(jí)數(shù)收斂，且和值為，證明：(1) 級(jí)數(shù)收斂，且和值為；(2) 級(jí)數(shù) 收斂. 4利用無(wú)窮級(jí)數(shù)性質(zhì)以及幾何級(jí)數(shù)與調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性，判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 5給定級(jí)數(shù)，有，試證級(jí)數(shù)收斂，其和§8.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1利用比較判別法或其極限形式判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： (1) ； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 2利用比值判別法或根值法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： (1) ； (2) ； (3) ； (

11、4) ；(5) ；(6) 3*證明：若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則與均收斂4*假設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，試證：1）級(jí)數(shù)發(fā)散；2）級(jí)數(shù)收斂§8.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1. 判別下列級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂，條件收斂還是發(fā)散？(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) .2. 判別下列交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性：(1) ；(2) .3如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，試證：(1) 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；(2) 級(jí)數(shù)收斂. §8.4 冪級(jí)數(shù)1求下列級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) .2求下列級(jí)數(shù)的收斂域，以及它們?cè)谑諗坑蛏系暮秃瘮?shù)： (1) ；(2) .3求冪級(jí)數(shù)收斂域及和函數(shù)，并求的和.

12、 4已知級(jí)數(shù)在時(shí)收斂,試討論在以下各點(diǎn)處的斂散性：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .5將下列函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并寫(xiě)明后者的收斂域. (1) ； (2) ；(3) ； (4) .6求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，并求收斂域. (1) ； (2) 第九章 微分方程初步§9.1 微分方程的基本概念1. 驗(yàn)證下列各函數(shù)是否為所給微分方程的通解：(1) ，；(2) ，；(3) ，2. 驗(yàn)證函數(shù)是否為初值問(wèn)題，的解：3. 驗(yàn)證函數(shù)是否分別為：1）微分方程的解；2）初值問(wèn)題，的解：§9.2 一階微分方程1. 求下列方程的通解或在給定條件下的特解：(1) ； (2) ；(3) ；

13、 (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ，2. 設(shè)函數(shù)滿足方程，試求3*. 設(shè)函數(shù)滿足方程，試求4*. 設(shè)，證明：和函數(shù)滿足微分方程方程，并求第十章 差分方程§10.1 差分方程的基本概念1. 計(jì)算下列差分：(1) ，求； (2) ，求2. 按教材P330定義改寫(xiě)下列差分方程，并指出方程的階數(shù)：(1) ； (2) 3. 驗(yàn)證以下是否為數(shù)列所給方程的解（其中，為任意常數(shù)）：(1) ，；(2) ，§10.2 簡(jiǎn)單的一階常系數(shù)差分方程的解法求下列差分方程的通解或滿足給定條件的特解：(1) ； (2) ；(3) ，【補(bǔ)充材料】 第五章 不定積分（2011學(xué)年

14、第一學(xué)期內(nèi)容縮編）§5.1 原函數(shù)與不定積分的概念 §5.2 基本積分公式1. 已知一曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于，求曲線的方程. 2. 求下列不定積分：(1) 已知, 求不定積分；(2) 已知, 求不定積分；(3) 已知, 求不定積分. 3. 求下列不定積分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) . 第五章 自測(cè)題一、選擇題 1設(shè)，則的結(jié)果是 A B C D 2= A B C D 3設(shè)，則 A B C D 4若，則下列等式中一定成立的是 A B C D 5下列等式中不成立的是 A B C D 6 A

15、B C D 7設(shè)，且，則= A B C D 8在內(nèi)，均可導(dǎo)，且，則 A B C （常數(shù)） D 之間的關(guān)系不確定二、填空題 1若，則 2設(shè)，則f (x)= 3已知的一個(gè)原函數(shù)為，則 4設(shè)，則 5不定積分 6設(shè)，則 三、解答題1計(jì)算下列不定積分： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ； (7) ； (8) 2*. 已知，求不定積分. 3*已知，求. 第六章 自測(cè)題一、選擇題 1設(shè)是a, b上的連續(xù)函數(shù)，則下列論斷不正確是( )(A) 是的一個(gè)原函數(shù) (B) 是的一個(gè)原函數(shù) (C) 是的一個(gè)原函數(shù) (D) 在a, b上可積 2設(shè)是連續(xù)函數(shù)，是的原函數(shù)，則( ) (A) 當(dāng)

16、是奇函數(shù)時(shí)，必為偶函數(shù) (B) 當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，必為奇函數(shù) (C) 當(dāng)是周期函數(shù)時(shí)，必為周期函數(shù) (D) 當(dāng)是單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，必為單調(diào)遞增函數(shù)3設(shè)在區(qū)間a,b上， 則下列不等式成立的是( ) (A) (B) (C) (D) 4設(shè)在內(nèi)為連續(xù)可導(dǎo)的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是( )(A) (B) (C) (D) 5.設(shè)在內(nèi)連續(xù)，且在時(shí)可導(dǎo)，且則下列正確的是( ) (A) 不存在 (B) 存在且不存在 (C) 存在且 (D) 存在且 6設(shè)函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)時(shí)， 與為同階無(wú)窮小，則( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 7已知?jiǎng)t為( )(A) 正常數(shù) (B) 負(fù)常數(shù) (C) 零 (

17、D) 非常數(shù)8已知 則為( )(A) 正常數(shù) (B) 負(fù)常數(shù) (C) 零 (D) 非常數(shù)二、填空題1設(shè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則 2設(shè)連續(xù)，且，已知，則3設(shè)，那么4設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足，則三、解答題 1. 求下列定積分：(1) ； 2) ；(3)；(4) 設(shè)，求2求下列反常積分： (1) ；(2) 3. 求由拋物線與它在點(diǎn)及點(diǎn)處的兩條切線所圍成圖形的面積.4. 求由曲線及直線圍成圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)形成的體積. 5. 設(shè)某產(chǎn)品的邊際成本 (萬(wàn)元/臺(tái))，其中表示產(chǎn)量，固定成本為(萬(wàn)元)，邊際收益 (萬(wàn)元/臺(tái))，試求：1）總成本函數(shù)和總收益函數(shù)；2）獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量；3）達(dá)到上述最大利潤(rùn)后，又多生產(chǎn)了

18、4臺(tái)，此時(shí)總利潤(rùn)的近似變化值第七章 自測(cè)題 一、選擇題 1極限存在的充分條件是 . A 點(diǎn)沿?zé)o窮條路徑趨于點(diǎn)時(shí)，的極限均存在且相等 B 存在 C 點(diǎn)沿過(guò)的任意直線趨于時(shí)，的極限均存在且相等 D 在處連續(xù)2若，則 . A B C D 3二元函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在是其在該點(diǎn)可微的 . A 充分條件 B 必要條件 C 充要條件 D 非充要條件4設(shè)函數(shù)定義于有界閉區(qū)域，那么正確的是 . A 若可微、存在唯一駐點(diǎn)，且為極值點(diǎn)，則必為最值點(diǎn) B 若可微，且存在最值點(diǎn)，則必為駐點(diǎn) C 若連續(xù)，且存在唯一的極值點(diǎn)，則必為最值點(diǎn) D 若連續(xù)于，則在內(nèi)必存在最值 5設(shè)在的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且. 若是可微函數(shù)

19、在約束條件之下的極值點(diǎn)，則下列命題正確的是 . A 恒有B C D 二、填空題 1 . 2設(shè)，則= ， = . 3設(shè)，則= . 4設(shè)在坐標(biāo)系下，則在極坐標(biāo)系下， . 5無(wú)窮限積分 = . 三、解答題 1設(shè)，討論在點(diǎn)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)以及的偏導(dǎo)函數(shù)在在點(diǎn)的連續(xù)性2求下列函數(shù)的全微分：(1) ，求； (2) ，求；(3) 已知有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求3設(shè)在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為正整數(shù)，證明滿足的充要條件是對(duì)任意有4設(shè)，求5設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求6設(shè)由方程所確定，求7求的極值8設(shè)求在上的最值9求周長(zhǎng)為定值的三角形面積的最大值(提示：，其中為三角形的各邊長(zhǎng)) 10某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，當(dāng)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別是和(單

20、位：噸)時(shí)，總收益函數(shù)為，總成本函數(shù)為(單位：萬(wàn)元)。此外，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每噸還需支付排污費(fèi)萬(wàn)元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每噸還需支付排污費(fèi)萬(wàn)元。在限制排污費(fèi)用支出總額為萬(wàn)元的情況下，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時(shí)總利潤(rùn)最大? 最大總利潤(rùn)是多少? 11計(jì)算二重積分：（1） （2）（3） （4）12用二重積分計(jì)算圓錐體被平面所截部分的體積13. 證明：(1) 若為上的正的連續(xù)函數(shù)，則；(2) 若及連續(xù)于，且，與均單增，則第八章 自測(cè)題一、選擇題1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是 .A B 數(shù)列單調(diào)有界 C 部分和數(shù)列有上界 D 2. 下列結(jié)論中正確的是 . A 若級(jí)數(shù),都發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散；B 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)與都

21、收斂；C 若級(jí)數(shù)與都收斂，則級(jí)數(shù)收斂； D 若級(jí)數(shù)收斂,發(fā)散,則的斂散性不確定3. 已知，則級(jí)數(shù) .A 收斂且其和為 B 收斂且其和為 C 收斂且其和為 D 發(fā)散4. 下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是 . A B C D 5. 設(shè)，則下列級(jí)數(shù)中收斂的是 .A B C D 6. 命題“若發(fā)散，則發(fā)散”成立的條件是 . A B C D 7. 若冪級(jí)數(shù)在收斂, 則該級(jí)數(shù)在處 .A 條件收斂 B 絕對(duì)收斂 C 發(fā)散 D 斂散性不能確定8. 若，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 .A B C D 二、填空題1. 若級(jí)數(shù)收斂于S，則級(jí)數(shù)收斂于 .2. 已知級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù) .3. 若級(jí)數(shù)收斂，則的取值為 .4. 級(jí)數(shù)的斂散性是 ，級(jí)數(shù)的

22、斂散性是 . 5. 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的條件是 ，條件收斂的條件是 , 發(fā)散的條件是 .6. 設(shè)冪級(jí)數(shù)在條件收斂，則該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑條件是 .三、解答題 1. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：(1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) .2. 證明：若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 3. 設(shè)，求. 4. 求下列級(jí)數(shù)的收斂域： (1) ； (2) ；(3) ； (4) .5. 求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)，并求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和. 6. 將下列函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，并求其收斂域： (1) ； (2) ； (3) .7. 設(shè)函數(shù)滿足方程，求的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其收斂域. 南京審計(jì)學(xué)院20082009學(xué)年第二學(xué)期微積分二試卷

23、一、填空題（共10個(gè)空，每空2分,滿分20分）1 。2設(shè)需求函數(shù)為，供給函數(shù)為，則消費(fèi)者剩余為 。3. 。4. 設(shè)，則 ， 。5. 交換積分次序 。6. 設(shè)，則 。7. 函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)為 ，后者的收斂域?yàn)?。8方程滿足初始條件的特解為 。二、單項(xiàng)選擇題（共5題，每題2分,滿分10分）1. 下列反常積分收斂的是（ ）2. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，則函數(shù)在點(diǎn)處與函數(shù)在點(diǎn)處（ ） 都取得極大值 恰有一個(gè)取得極大值 至多有一個(gè)取得極大值 都不能取得極大值3. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則（ ）在點(diǎn)處連續(xù) 在點(diǎn)處可微和都存在 存在4. 下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（ ）5. 若冪級(jí)數(shù)在處收斂，則該級(jí)數(shù)

24、在處（ ） 絕對(duì)收斂 條件收斂 發(fā)散 斂散性不能確定三、計(jì)算題（共6題，第5小題8分，其余小題每題5分，滿分33分）1. 2. 3.4. 設(shè)，是可微函數(shù)，求。5. 設(shè),其中由方程所確定， 求：（1）； （2）。6. 計(jì)算，其中是由和所圍成的區(qū)域。四、（10分）設(shè)有冪級(jí)數(shù)，求：（1）該級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)的和函數(shù)；（2）求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。五、證明題（共2題，每題5分，滿分10分）1設(shè)是以（）為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：對(duì)任何常數(shù)，有。2設(shè)數(shù)列有界，證明級(jí)數(shù)收斂。六、 應(yīng)用題（共2題，滿分17分）1（10分）設(shè)平面圖形由， 所圍成。試求：（1）此平面圖形的面積；（2）此平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

25、2（7分）某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，當(dāng)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別是和（單位：噸），總收益函數(shù)為，成本函數(shù)為（單位：萬(wàn)元）。此外，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每噸還需支付排污費(fèi)1萬(wàn)元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每噸還需支付排污費(fèi)2萬(wàn)元。在限制排污費(fèi)用支出總額為6萬(wàn)元的情況下，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時(shí)總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？南京審計(jì)學(xué)院20092010學(xué)年第二學(xué)期微積分二試卷一、填空題（共9個(gè)空，每空2分,滿分18分）1. 若收斂，則參數(shù)滿足的條件為 。2. 設(shè)，則 ， 。3. 交換積分次序 。4. 設(shè)級(jí)數(shù)的部分和，則 ，該級(jí)數(shù)的和為 。5. 函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)為 ，后者的收斂域?yàn)?。6某商品的需求量對(duì)價(jià)格的彈性為，已知當(dāng)價(jià)格時(shí)，

26、需求量，則需求量對(duì)價(jià)格的函數(shù)關(guān)系為 。二、單項(xiàng)選擇題（共5題，每題2分,滿分10分）1設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ） 在處一定連續(xù) 在與在處僅有一個(gè)連續(xù) 與分別在與處連續(xù) 在與在處都不一定連續(xù)2. 已知反常積分收斂于（），則（ ）3. 下列級(jí)數(shù)中絕對(duì)收斂的是（ ）4. 設(shè)，則函數(shù)在點(diǎn)處可微的充分條件是（ ）在點(diǎn)處連續(xù) 在點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù)5. 若，則積分區(qū)域?yàn)椋?） 由軸，軸及所圍成的區(qū)域 由，及，所圍成的區(qū)域 由，所圍成的區(qū)域 由，所圍成的區(qū)域 三、計(jì)算題（共6題，每小題5分，滿分30分）1. 2. 3. 4.設(shè)，求。5.設(shè)由方程所確定，求偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的值。6. 求，其中是由，和所圍

27、成的區(qū)域。四、（10分）設(shè)有冪級(jí)數(shù)，求：（1）該級(jí)數(shù)的收斂域；（2）在其收斂域內(nèi)的和函數(shù)；（3）求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。五、證明題（5分）設(shè)，證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)。六、（10分）二元函數(shù)，問(wèn)：(1)在點(diǎn)是否連續(xù)，說(shuō)明理由； (2)在點(diǎn)關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)是否存在，說(shuō)明理由。七、 應(yīng)用題（共2題，滿分17分）1（10分）設(shè)平面圖形由，所圍成，試求：（1）此平面圖形的面積；（2）此平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。2（7分）設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量與所用兩種原料A，B的數(shù)量，間有關(guān)系式，欲用元購(gòu)料，已知A，B原料的單價(jià)分別為元和元，問(wèn)購(gòu)進(jìn)兩種原料各多少，可使生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量最多？南京審計(jì)學(xué)院20102011學(xué)年第二學(xué)期微積分二試卷一、填空題（共6個(gè)空，每空2分,滿分12分）1設(shè)，則2由方程確定的曲線在處的法