彎曲變形題解資料doc

1、第6章 彎曲變形習(xí)題解答xABClq(a)a 6-1 用直接積分法求下列各梁的撓曲線方程和最大撓度梁的抗彎剛度EI為已知(a)解:(1)彎矩方程 0 x l+a M(x)=qlx-qx2/2+q<x-l>2/2-ql2/2 (2)積分 EIq (x)= qlx2/2-qx3/6+q<x-l>3/6-ql2x/2+C EI(x)= qlx3/6-qx4/24+q<x-l>4/24-ql2x2/4+Cx+D(3)定常數(shù)x = 0 q = 0 C = 0x = 0 = 0 D = 0max=B =()(b)l/3ABCxl(b)Mob解:(1)支反力 FA = M

2、o / l (), FC =-Mo / l ()(2)彎矩方程 0 x 4l/3 M (x)= Mo x / l-Mo <x-l> / l (3)積分 EIq (x)= Mo x2 / 2l- Mo <x-l>2 /2 l+C EI(x)= Mo x3 / 6l- Mo <x-l>3/6 l+C x+D(4)定常數(shù)x = 0 = 0 D = 0x = l = 0 C =-Mo l /6 max=B =() 6-2 寫出下列各梁的邊界條件,并根據(jù)彎矩圖和支座情況畫出撓度曲線的大致形狀解:xBAk(a)C2l2lMoaAxaEAaaCBF(b)BCABCAx =

3、 0 = 0 x = a = 0 x = l = k = Mo / lk x = 3a = l = Fa /2EA xABCDaaaMob。MobaaaABCDFFx(d)(c)BCAD弧圓直線BCADaaaABCDx(e)MobMob弧圓直線BCADx = 0 q = 0 x = 0 = 0 x = 0 =0 x = 3a = 0 aaaqxABCD(f)BCADx = 0 = 0 x = 0 = 0 , q = 0x =2a =0 x = 2a = 0 6-3 用疊加法求下列各梁C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角梁的抗彎剛度EI為已知xABCa2aq(a)aaaABCDxFaF(b)ABCDxFa

4、(1)xABCq(1)ABCDxF(2)xABCq(2)(a)解:查表得 (), () 疊加:( ),()(b)解:查表得 () , ()l/4FABCx(c)l/4l/4l/4Fqa2qaaaABCDx(d) 疊加:( ), ()qABCDx(1)FABCx(1)qa2ABCDx(2)ABCx(2)F(c)解:查表得 () 疊加:( ), ()(d)解:查表得 ( ), ( ), (), ()疊加:( ), ()aBA(a)aEI2EICq6-4 用分段剛化法求下列各梁C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角梁的抗彎剛度為已知(a) 解:(1)分別剛化AB和BC段梁,圖(a)梁變形為圖(1)和圖(2)梁變

5、形的代數(shù)和(2)查表得B(1)aEICq,aBA(2)aEI2EICF=qaM=qa2/2(3) 疊加:( ) ()(b)解:(1)圖(b)梁變形后,C處轉(zhuǎn)角為零,所以該梁的變形計(jì)算可轉(zhuǎn)化為圖(1)梁的變形計(jì)算分別剛化圖(1)梁的CD和BD段,如圖(2)(3)所示,則圖(2)和圖(3)梁在B截面的撓度和轉(zhuǎn)角之和分別與圖(b)梁C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角數(shù)值相等(撓度方向相反)F(b)aBAaEI2EIaaEIC(1)DEIF/2aBaBa2EICF/2EIM=Fa/2aBa2EICF/2EID(2)(3)D(2)查表得, (3) 疊加:( ) () =aBA(c)aEI2EICqaBA(3)a

6、EI2EICqB(1)aEICqaBA(2)aEI2EICF=qaM=qa2/2(c)解:(1)分別剛化AB和BC段梁,圖(c)梁變形為圖(1),圖(2)和圖(3)梁變形的代數(shù)和由題6-4(a)可得,(2)查表得 ,(3) 疊加:( ) ()F(d)aBAaEI2EIaaEICF(1)aBa2EICFEIaBa2EICFEID(2)D(d)解:(1)與題6-4(c)類似,該梁變形計(jì)算可轉(zhuǎn)化為圖(1)和圖(2)梁變形的疊加即梁12在B截面的撓度和轉(zhuǎn)角代數(shù)和分別與原梁C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角數(shù)值相等(撓度方向相反)(2) 由題6-4(b)可得 ( ), ()(3) 查表得 ( ),()(4) 疊

7、加:( ),()6-5 用力矩面積法求題6-4中各梁C截面撓度和B截面的轉(zhuǎn)角(a)aBA(a)aEI2EICqABC1.5qa2。C10.5qa2C20.75a1.5a5a/3C3。解: (1) 作彎矩圖 分三塊查表6-1計(jì)算M圖面積i及其形心Ci對(duì)B截面的坐標(biāo)差 1 = -qa3/6 xC - xC1 = 0.75a 2 = -0.5qa3 xC - xC2 = 1.5a 3 = -0.5qa3 xC - xC3 = 5a/3(2) 計(jì)算BC 由于A = 0,A = 0,故( )()(b)F(b)aBAaEI2EIaaEICA3a/25a/32a/3B。C1C2。C3。Fa0.5FaC解:

8、(1) 作彎矩圖 由于對(duì)稱只需取一半分三塊查表6-1計(jì)算M圖面積i及其形心Ci對(duì)B截面的坐標(biāo)差 1 = Fa2/4 xC - xC1 = 2a/3 2 = Fa2/2 xC - xC2 = 3a/2 3 = Fa2/4 xC - xC3 = 5a/3(2) 計(jì)算BC 由于C = 0,B = 0,故( )()(c)解: (1) 作彎矩圖 設(shè)ACBC和AB段M圖面積分別為,1和2,CoC1分別為和1的形心S,S1,S2分別為1和2對(duì)C截面的靜矩查表6-1可得aBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/43a/2C1Co。aBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/43a/2C1Co。aBA(c

9、)aEI2EICq0.5qa23a/4A3a/2。C1Co。2qa2BaBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/43a/2CC1Co。=-4qa3/3,1=-qa3/6,2=-1= -7qa3/6,xC - xco =3a/2, xC xC1 =3a/4, S1=1(xC xC1)=-qa4/8, S= (xC xC o)=-2qa4(2)由于A = 0,A = 0,故( )()(d)F(d)aBAaEI2EIaaEICF解: (1) 作彎矩圖 設(shè)DBCD段M圖面積分別為1和2,C1, C2分別為1和2的形心查表6-1可得1= Fa2/2, 2=Fa2 , xB xC1 =2a/3, xC

10、 xC2=3a/2 (2) 梁變形后,C = 0,B = 0,FaA3a/22a/3BCD。C1C2D( )()6-6 折桿CAB在A處有一軸承,允許AC段繞自身的軸線自由轉(zhuǎn)動(dòng),但A處不能上zlaxyCABFbhd下移動(dòng)已知F = 60 N,b = 5 mm,h = 10 mm,d = 20 mm,l = 500 mm,a = 300 mm,E = 210 GPa,G = 0.4E,試求B處的垂直位移解:(1)AB段彎曲變形在B處產(chǎn)生的垂直位移為mm(2) CA段扭轉(zhuǎn)變形在B處產(chǎn)生的垂直位移為mm所以B =B 1 +B2 = 6.17+2.05 = 8.22 mm6-7 圖示簡(jiǎn)支梁由兩根槽鋼組

11、成,已知l = 4 m,F = 20 kN,E =210 GPa,許用撓度 = l /400,試按剛度條件選擇槽鋼的型號(hào)CFBA2l2l解: I cm4 查型鋼表,選16a槽鋼可滿足剛度要求6-8 圖示實(shí)心圓截面軸,兩端用軸承支撐,已知F = 20 kN,a = 400 mm,b =200 mm軸承許用轉(zhuǎn)角 = 0.05 rad, = 60 MPa,材料彈性模量E = 200 GPa,試確定軸的直徑d解:(1)強(qiáng)度計(jì)算 kNm d1mmbaFABC(2) 剛度計(jì)算 查表得d2 mm欲滿足強(qiáng)度和剛度要求,應(yīng)取d=d1=76.8mm,考慮加工方便,取d =77mmFlaABC6-9 直徑為d的實(shí)心

12、圓形截面直桿放置在水平剛性平面上,單位長(zhǎng)度重量為q,長(zhǎng)度為l,彈性模量為E,受力F = ql/4后,未提起部分仍保持與平面密合試求提起部分的長(zhǎng)度a和提起的高度A 解:(1)依題意,C處曲率為零,所以C截面彎矩為零,即 MC = Fa qa2/2 =0, a =2F /q = l/2aCqAF(2) AC段變形可簡(jiǎn)化為圖示的懸臂梁,由疊加法可得()6-10 簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)載荷F作用,彎曲剛度為EI若要求載荷移動(dòng)時(shí)的軌跡是一條水平直線,試問應(yīng)先把梁彎成什么形狀(用 = f (x) 表示)?解:當(dāng)集中力F作用在微彎的曲梁x處時(shí),該處的撓度仍可按直梁計(jì)算,查表可得l/2ABFl/2ABFlxx若要求F移

13、動(dòng)的軌跡是一條水平直線,則應(yīng)使曲梁x截面形心到水平軸線距離等于x ,即曲梁軸線方程為6-11 圖示靜不定梁AB受集中力F作用已知許用應(yīng)力 ,抗彎截面系數(shù)為W (1) 試求許可載荷 F;(2) 為提高梁的承載能力,可將支座B向上移動(dòng),使梁內(nèi)產(chǎn)生預(yù)應(yīng)力試求的最合理的許可值,及相應(yīng)的許可載荷F解:(1)求支反力 選B處支座為多余約束,相當(dāng)系統(tǒng)如圖(a)所示變形條件為 B = 0 , 由疊加原理 FBBAF(a)C B = FB +F =解得 5Fl/32(b)3Fl/16(2)強(qiáng)度計(jì)算 由彎矩圖(b)得 Mmax =MA =3Fl/16 ,F (3) 設(shè)支座B向上移動(dòng)后,其支反力增量為FB,則 ()

14、此時(shí),A處彎矩減小,C處彎矩增大,當(dāng)AC兩處彎矩絕對(duì)值相等時(shí),梁內(nèi)彎矩最小,則 , F MoC(a)aaABFBBACMoMA(1)FA(2)9Mo/16Mo/8C6-12 試求圖示各靜不定梁的支反力,并作彎矩圖彎曲剛度EI為已知（a） 解:(1)選B處支座為多余約束,相當(dāng)系統(tǒng)如圖(1)所示變形條件為 B = 0 (2) 變形計(jì)算 由疊加原理B = FB +Mo =解得 FB = 9Mo/16a () FA = 9Mo/16a () MA = Mo/8(3)作彎矩圖如圖(2)所示(b)a2aFBCA(b)FCBACFFAMA(1)(2)Fa/2Fa解:(1)選C處支座為多余約束,相當(dāng)系統(tǒng)如圖(

15、1)所示變形條件為 C = 0 (2) 變形計(jì)算 由疊加原理查表得C = FC +F =解得 FC = 7F/4 () FA = 3F/4 (), MA = Fa/2(3)作彎矩圖如圖(2)所示(c)qCBA2l2l(c)(1)qCBAFC(2)ql2/329ql2/512解:(1)選C處支座為多余約束,相當(dāng)系統(tǒng)如圖(1)所示變形條件為 C = 0 (2) 變形計(jì)算 由疊加原理查表得C = FC +q =解得 FC = 5ql/8 () FA = FB =3ql/16 ()(3)作彎矩圖如圖(2)所示(d)aaABCq(d)(3)(1)aACqaBCqFC1FAFBMCMBMAMAqa2/8+

16、(2)qa2/12qa2/24(4)解:(1)由對(duì)稱性可知,C處轉(zhuǎn)角為零,可視為固定端,因此,原結(jié)構(gòu)受力和變形等價(jià)于圖(1)中兩梁之和由對(duì)稱性可得: FA = FB = FC1= qa/2 , FC =2FC1 = qa MA = MB = MC(2) 用力矩面積法求AC梁固定端彎曲力偶 解除AC端轉(zhuǎn)動(dòng)約束后,相當(dāng)系統(tǒng)為一簡(jiǎn)支梁,其彎矩圖可由圖(2)和圖(3)疊加而成,因?yàn)锳C兩端相對(duì)轉(zhuǎn)角為零,故由力矩面積法可知,圖(2)(3)彎矩圖面積之和為零,即 MA a = (qa2/8)(2a/3), MA = qa 2/12AB梁半邊彎矩圖如圖(4)所示6-13 直梁的撓度曲線方程為=q x(3lx

17、2 -2x3- l3)/ 48EI,求梁內(nèi)的最大彎矩和最大剪力值并畫出梁上的約束和載荷已知梁長(zhǎng)為l解:(1) 內(nèi)力方程 由撓曲線近似微分方程和MQq間的微分關(guān)系有, ql, ,由QM方程可知 x = 0, Q = 3ql/8, M = 0, =0, 0x = l, Q = -5ql/8, M = -ql2/8, = 0, = 0x = 3l/8(Q=0)時(shí),彎矩有極值,M* = 9ql2/128, Mmax=ql2/8Qmax =5ql/8(3) 由于梁的左端撓度為零而轉(zhuǎn)角不為零,可判斷是鉸支座,右端撓度和轉(zhuǎn)角為零,且有一集中力偶,可判斷是固定端,全跨受均布載荷,如圖所示6-14 圖示懸臂梁一端固定在半徑為R的光滑剛性圓柱面上若要使梁AB上各處與圓柱面完全吻合,且梁與曲面間無(wú)接觸壓力正確的加載方式是哪一種?試求應(yīng)施加的載荷值解:依題意,梁變形后,軸線應(yīng)彎曲為一圓弧,根據(jù)曲率公式,各截面彎矩應(yīng)為常數(shù),因此正確的加載方式是圖(c) 由 FlRBA(a)qlRBA(b)MoRBA(c)l(b)BAEI2EIEIC5 kN/m5 kN/m10 kN/m15 kN2m2 m2 m2 mABCDx100 kN.m15 kN5 kN/m5 m5 m5 m(a) *6-15 試用奇異函數(shù)法或力矩面積法編制計(jì)算機(jī)程序,求圖示各梁最大的撓度和最大的轉(zhuǎn)角EI為常數(shù)l/3ABG