微專題圓錐曲線幾何條件的處理策略

1、微專題圓錐曲線幾何條件的處理策略圓錐曲線處理心法：一、幾何條件巧處理，事半功倍！ 二、謀定思路而后動，胸有成竹！三、代數(shù)求解不失分，穩(wěn)操勝券！ 四、解后反思收貨大，觸類旁通 ！1.平行四邊形處理策略幾何性質(zhì)代數(shù)實現(xiàn)對邊平行斜率相等，或向量平行對邊相等長度相等，橫（縱）坐標(biāo)差相等對角線互相平分中點重合例1.（2015，新課標(biāo)2理科20）已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，線段的中點為 ()證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由【答案】()詳見解析；（）能，或【解析】試題分析：()題中涉及弦

2、的中點坐標(biāo)問題，故可以采取“點差法”或“韋達(dá)定理”兩種方法求解：設(shè)端點的坐標(biāo)，代入橢圓方程并作差，出現(xiàn)弦的中點和直線的斜率；設(shè)直線的方程同時和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦的中點，并尋找兩條直線斜率關(guān)系；（）根據(jù)()中結(jié)論，設(shè)直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得坐標(biāo)，利用以及直線過點列方程求的值試題解析：()設(shè)直線，將代入得，故，于是直線的斜率，即所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值（）四邊形能為平行四邊形因為直線過點，所以不過原點且與有兩個交點的充要條件是，由()得的方程為設(shè)點的橫坐標(biāo)為由得，即將點的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即于是解得，因為，所以當(dāng)?shù)男?/p>

3、率為或時，四邊形為平行四邊形考點：1、弦的中點問題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系2.直角三角形處理策略幾何性質(zhì)代數(shù)實現(xiàn)（1）兩邊垂直斜率乘積為-1，或向量數(shù)量積為0（2）勾股定理兩點的距離公式（3）斜邊中線性質(zhì)（中線等于斜邊一半）兩點的距離公式例2.橢圓（）的離心率為，長軸端點與短軸端點間的距離為，（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，為坐標(biāo)原點，若為直角三角形，求直線的斜率解析：（2）根據(jù)題意，過點滿足題意的直線斜率存在，設(shè)，聯(lián)立消去得， 令，解得。設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，則，（1）當(dāng)為直角時， 所以，即，所以所以，解得（2）當(dāng)或為直角時，不妨設(shè)為直角，此時，所以即又，將代入，消去得，

4、解得或（舍去）將代入得，所以，經(jīng)檢驗所得值均符合題意，綜上，的值為和3.等腰三角形處理策略幾何性質(zhì)代數(shù)實現(xiàn)（1）兩邊相等兩點的距離公式（2）兩角相等底邊水平或豎直時，兩腰斜率相反（3）三線合一（垂直且平分）垂直：斜率或向量 平分：中點坐標(biāo)公式例3.在直角坐標(biāo)系中，已知點,為動點，且直線與直線斜率之積為，（1）求動點的軌跡方程；（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點,若點在軸上，且，求點的縱坐標(biāo)的范圍解析：（1）設(shè)動點的坐標(biāo)為，依題意可知整理得，所以動點的軌跡的方程為（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，滿足條件的點的縱坐標(biāo)為0，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，將代入，并整理得，設(shè)，則，設(shè)的中點為，則，所以

5、，由題意可知，又直線的垂直平分線的方程為，令解得，當(dāng)時，因為，所以當(dāng)時，因為，所以，綜上所述，點的縱坐標(biāo)的范圍是.4.菱形的處理策略例4.橢圓M：（）過點，且離心率為（1）求橢圓M的方程；（2）是否存在菱形，同時滿足以下三個條件：點在直線上； 點在橢圓上 ； 直線的斜率等于1；如果存在，求出點的坐標(biāo)，如果不存在，說明理由。解析：（1）由題意得解得，；所以橢圓M的方程為（2）不存在滿足題意的菱形，理由如下：假設(shè)存在滿足題意的菱形，設(shè)直線的方程為，且，線段的中點，則由可得，由可得，又，所以，若四邊形為菱形，則是的中點，點的縱坐標(biāo)，又因為點在橢圓上，所以與矛盾，故不存在滿足題意的菱形。5.圓的處理策

6、略幾何性質(zhì)代數(shù)實現(xiàn)（1）點在圓上點與直徑端點向量數(shù)量積為零（2）點在圓外點與直徑端點向量數(shù)量積為正數(shù)（3）點在圓內(nèi)點與直徑端點向量數(shù)量積為負(fù)數(shù)例5.已知橢圓，點，分別是橢圓的左焦點、左頂點，過點的直線（不與軸重合）交于兩點，（1）求的離心率及短軸長；（2）是否存在直線，使得點在以線段為直徑的圓上，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由. （1）由得，所以的離心率為，短軸長為；（2）方法一：由題意知，設(shè)，則，因為所以，所以點不在以為直徑的圓上，即不存在直線，使得點在以線段為直徑的圓上。方法二、由題意可設(shè)直線的方程為，由 可得 所以，所以，因為所以，所以，所以點不在以為直徑的圓上，即不存在直線

7、，使得點在以線段為直徑的圓上。6.角的處理策略幾何性質(zhì)代數(shù)實現(xiàn)（1）銳角，直角，鈍角角的余弦（向量數(shù)量積）的符號（2）倍角，半角，平分角角平分線性質(zhì)，定理（夾角到角公式）（3）等角（相等或相似）比例線段或斜率例6.【2013.山東，理科22】橢圓： 的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為。（）求橢圓的方程；（）（）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，設(shè)的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；解析：（）法一：由（）知，則，由橢圓定義得， 因為平分，所以，則，所以所以，即法二：由題意可知，即，設(shè),其中，將向量坐標(biāo)代入并化簡得，因為，所以而，所以【跟蹤變式訓(xùn)練】1.【轉(zhuǎn)

8、化為平行的處理】【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準(zhǔn)線于兩點（I）若在線段上，是的中點，證明；（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.【答案】（）見解析；（）（）設(shè)與軸的交點為，則.由題設(shè)可得，所以（舍去），. 設(shè)滿足條件的的中點為.當(dāng)與軸不垂直時，由可得.而，所以.當(dāng)與軸垂直時，與重合，所以，所求軌跡方程為. .12分來2.【轉(zhuǎn)化為等腰三角形處理】【2016高考浙江理數(shù)】（本題滿分15分）如圖，設(shè)橢圓（a1）.（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；（II）若任意以點A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點

9、，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I）；（II）【解析】 （）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得，故， 因此（）假設(shè)圓與橢圓的公共點有個，由對稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點，滿足 記直線，的斜率分別為，且，由（）知，故，所以由于，得，因此， 因為式關(guān)于，的方程有解的充要條件是，所以因此，任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點的充要條件為，由得，所求離心率的取值范圍為3【轉(zhuǎn)化為等腰三角形處理】【2015江蘇高考，18】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點F到左準(zhǔn)線l的距離為3. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交

10、直線l和AB于 點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.【答案】（1）（2）或【解析】試題分析（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個獨立條件即可：一是離心率為，二是右焦點F到左準(zhǔn)線l的距離為3，解方程組即得（2）因為直線AB過F，所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關(guān)鍵就是根據(jù)PC=2AB列出關(guān)于斜率的等量關(guān)系，這有一定運(yùn)算量.首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，解出AB兩點坐標(biāo)，利用兩點間距離公式求出AB長，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出C點坐標(biāo)，利用兩直線交點求出P點坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間距離公式求出PC長，利用PC=2AB解出直線AB斜率,寫出直線AB方程.試題解析：（1）由題意，得且，解得，則

11、，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)軸時，又，不合題意當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，將的方程代入橢圓方程，得，則，的坐標(biāo)為，且若，則線段的垂直平分線為軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意從而，故直線的方程為，則點的坐標(biāo)為，從而因為，所以，解得此時直線方程為或【考點定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系4【圓的處理】.設(shè)為坐標(biāo)原點，已知橢圓的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線方程為（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，若在以為直徑的圓的外部，求直線的斜率的取值范圍【答案】（1），；（2）.試題解析： （1）由題意得，故拋物線的方程為，又，從而橢圓的方程為5分（2）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線由，得7分，9分，根據(jù)題意，得，11分，綜上得12分考點：直線與圓錐曲線位置關(guān)系5【角的處理】【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分14分）設(shè)橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中 為原點，為橢圓的離心率.（）求橢圓的方程；（）設(shè)過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于