求二元函數(shù)極限的幾種方法(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上1.二元函數(shù)極限概念分析定義1 設(shè)函數(shù)在上有定義，是的聚點(diǎn)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在某正數(shù),使得時(shí)，都有 ,則稱在上當(dāng)時(shí)，以為極限，記.上述極限又稱為二重極限.2二元函數(shù)極限的求法2.1 利用二元函數(shù)的連續(xù)性命題 若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則. 例1 求 在點(diǎn)的極限. 解： 因?yàn)樵邳c(diǎn)處連續(xù)，所以 例2 求極限 解： 因函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)連續(xù)，故可直接代入求極限，即=2.2 利用恒等變形法將二元函數(shù)進(jìn)行恒等變形，例如分母或分子有理化等.例3 求 解： 例4 解： 原式 2.3 利用等價(jià)無窮小代換一元函數(shù)中的等價(jià)無窮小概念可以推廣到二元函數(shù).在二元函數(shù)中常見

2、的等價(jià)無窮小，有 ； ； ；同一元函數(shù)一樣，等價(jià)無窮小代換只能在乘法和除法中應(yīng)用.例5 求 解： 當(dāng) ，時(shí)，有.，所以 這個(gè)例子也可以用恒等變形法計(jì)算，如： 2.4 利用兩個(gè)重要極限， 它們分別是一元函數(shù)中兩個(gè)重要極限的推廣.例6 求極限 . 解： 先把已知極限化為，而 當(dāng) 時(shí)，所以 故原式= 例7 求 極限.解： 因?yàn)?，當(dāng)時(shí)，所以 ，再利用極限四則運(yùn)算可得：·1=.這個(gè)例子也可以用等價(jià)無窮小代換計(jì)算，如：當(dāng) ，時(shí)， ，.所以， 2.5 利用無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量的結(jié)論 例8 求 解: 因?yàn)?是無窮小量， 是有界量 ，故可知 ， 例9 求 解 原式=因?yàn)?是有界量，又

3、是無窮小量，所以 ， .雖然這個(gè)方法計(jì)算實(shí)際問題上不那么多用，但計(jì)算對(duì)無窮小量與有界量的乘積形式的極限的最簡(jiǎn)單方法之一 .2.6利用變量替換法通過變量替換可以將某些二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來計(jì)算，從而使二元函數(shù)的極限變得簡(jiǎn)單.但利用時(shí)一定要滿足下面的定理。定理：函數(shù)點(diǎn)的取心領(lǐng)域內(nèi)有定義的且、沿向量的方向余弦，若二元函數(shù)的極限,則若的值與、無關(guān)，則；若的值與、有關(guān)，則不存在； 例10 求 解 因 時(shí)， ，令 ，顯然滿足定理的條件，則，所以 ， . 例11 求極限 解：令 又顯然滿足定理的條件，則2.7 利用夾逼準(zhǔn)則二元函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則：設(shè)在點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)有，且 （常數(shù)），則 . 但要注意求二

4、元函數(shù)極限時(shí)是對(duì)兩個(gè)變量同時(shí)放縮例12 求 解: 因?yàn)?，由夾逼準(zhǔn)則，得 .例13 求極限解: ，又，故 =02.8 先估計(jì)后證明法此方法的運(yùn)用往往是先通過觀察推斷出函數(shù)的極限，然后用定義證明.例14 求函數(shù)在點(diǎn)處的極限.解: 此例分2部考慮：先令，考慮沿時(shí)的極限， .因?yàn)槁窂綖樘厥夥较颍虼宋覀冞€不能判斷出極限為.所以下面用定義檢驗(yàn)極限是否為：因?yàn)橛谑?，取?，所以.例15.求在的極限.解：若函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)沿直線趨于原點(diǎn)，則即函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)沿著無窮多個(gè)方向趨于原點(diǎn)時(shí)，它的極限為；但根據(jù)這個(gè)我們不能說它的極限為；由于動(dòng)點(diǎn)沿著其它的路徑，比如沿拋物線趨于原點(diǎn)時(shí)，其極限為從而判斷出不存在；通過例子我們得出

5、任意方向不能代表任意路徑，也就是說，我們沿動(dòng)點(diǎn)不僅任何路徑而且還必須任意方向；2.9 利用極坐標(biāo)法 當(dāng)二元函數(shù)中含有項(xiàng)時(shí)，考慮用極坐標(biāo)變換：通過綜合運(yùn)用恒等變換，不等式放縮等方法將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含有參量的函數(shù)，進(jìn)而求二元函數(shù)的極限.例16 計(jì)算 解: 極限中的二元函數(shù)含有，令，使得 ，由夾逼準(zhǔn)則得，所以，.例17 求極限.解：若令t為變量，使且，則，當(dāng) 時(shí)，t0.對(duì)任意固定的上式均趨于0，但不能下結(jié)論說=0.事實(shí)上不存在，這只讓沿著任意方向趨于定點(diǎn)(0,0)，此時(shí).=在運(yùn)用此方法時(shí)注意，經(jīng)過初等變換后的函數(shù)滿足用迫斂性得函數(shù)的極限為；若化簡(jiǎn)后的函數(shù)為，但對(duì)于某個(gè)固定的，仍不能判斷函數(shù)的極限為

6、.2.10 利用累次極限法一般情況下，累次極限存在并不能保證二重極限存在，但二元函數(shù)滿足定理2的條件，就可以利用累次極限來計(jì)算極限.定理2 若在點(diǎn)存在重極限與兩個(gè)累次極限，則它們必相等.例18 求極限解: ，對(duì)任意一致的成立；而對(duì)存在，根據(jù)定理1，得.這道題也可以用上述所說的先估計(jì)后證明法和極坐標(biāo)法來計(jì)算，如：（1） 用先估計(jì)后證明法：解: 通過觀察可知極限中的二元函數(shù)分子是分母的高階無窮小量，故極限應(yīng)為，定義證明： 因?yàn)?，故要使 ，則，故 . （2）用極坐標(biāo)法解 令 ，因?yàn)?，由夾逼準(zhǔn)則得，所以，.例19求函數(shù)=的極限.解： 當(dāng)，以為常數(shù)時(shí)， 不存在，從而得原函數(shù)極限不存在;很顯然，這種計(jì)

7、算法是錯(cuò)的；因?yàn)橹?，?dāng)時(shí)，為無窮小量；時(shí)，為有界量，從而得 ，同樣；所以； 此例題我們推出：如果不熟重極限與累次極限的定義反而混亂它們的存在性，所以應(yīng)該要注意下列三點(diǎn)：一）若累次極限存在且相等，而重極限不一定存在；例：中：但不存在。二）雖然重極限存在，但不一定兩累次極限存在；例：中，兩都不存在；三）兩累次極限和重極限中有一個(gè)或兩個(gè)存在不能保證其它的極限的存在性；2.11 利用取對(duì)數(shù)法這一方法適合于指數(shù)函數(shù)求極限.對(duì)于二元指數(shù)函數(shù)，也可以像一元函數(shù)那樣，先取對(duì)數(shù)，然后再求極限.例20 求 解: 設(shè) ，則 ，而 ，令 ，知 ，故原式=；2.12運(yùn)用洛必達(dá)法則求二元函數(shù)的極限例21 求解: 由第一章定理7洛必達(dá)法則可知 2.13利用定義求二元函數(shù)極限例22 用定義驗(yàn)證：解: =，限定，則從而，故設(shè)為任意正數(shù)，取，則當(dāng)時(shí)，就有和一元函數(shù)一樣，在使用函數(shù)定義求極限的時(shí)候，也伴隨有放縮，這時(shí)要注意是對(duì)兩個(gè)自變量的同時(shí)限制 在二元函數(shù)的定義中，要求任意方式趨于時(shí)，函數(shù)都無限接近于因此，很