2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度ppt課件

1、一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概念二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布三、小結(jié)三、小結(jié)第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度密度定義定義 設(shè)設(shè) X X 是一隨機(jī)變量，若存在一個(gè)非負(fù)是一隨機(jī)變量，若存在一個(gè)非負(fù) 可積函數(shù)可積函數(shù) f ( x ), f ( x ), 使得使得xttfxXPxFxd)()(其中其中F ( x )F ( x )是它的分布函數(shù)是它的分布函數(shù)則稱(chēng)則稱(chēng) X X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，是連續(xù)型隨機(jī)變量，f ( x )f ( x )是它的是它的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為密度函數(shù)或概率密度概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為密度函數(shù)或概率密度一、連續(xù)

2、型隨機(jī)變量及其概率密度一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度-10-550.020.040.060.08x xf ( x)f ( x)x xF ( x )F ( x )分布函數(shù)分布函數(shù)F ( x )F ( x )與密度函數(shù)與密度函數(shù) f ( x ) f ( x )的幾何意義的幾何意義)(xfy 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)f ( x )f ( x )的性質(zhì)的性質(zhì)1 1、0)(xf2 2、1)(d)(Fxxf常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，或求其中的未知續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)參數(shù)3 3、在在 f ( x ) f ( x

3、) 的連續(xù)點(diǎn)處，的連續(xù)點(diǎn)處，)()(xFxff ( x ) f ( x ) 描述了描述了X X 在在 x x 附近單位長(zhǎng)度的區(qū)間內(nèi)附近單位長(zhǎng)度的區(qū)間內(nèi)取值的概率取值的概率4 4 對(duì)于任意可能值對(duì)于任意可能值 a , a ,連續(xù)型隨機(jī)變連續(xù)型隨機(jī)變量取量取 a a 的概率等于零的概率等于零. .即即. 0 aXP)(aX )(aXxa0 x事實(shí)上事實(shí)上)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)(aXP由此可得：由此可得：)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(d)(aFbFxxfbab bx xf ( x)f ( x)-10-550

4、.020.040.060.08a a連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān)區(qū)間的概率與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān))()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a. 0 aXP若若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，是連續(xù)型隨機(jī)變量， X=a 是不是不可能事件，則有可能事件，則有, 0 aXP若若是不可能事件是不可能事件aX . 0 aXP假設(shè)假設(shè) X 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量, （3 3）連連續(xù)續(xù)型型離離散散型型是是不不可可能能事事件件則則不不能能確確定定aX .1)2(;) 1 (., 0, 20),2

5、4()(2XPcxxxcxfX求確定常數(shù)其它具有概率密度隨機(jī)變量設(shè)解解, 1d)()1( xxf由由例例1 1, 1d)24(202xxxc得.83c解之得的概率密度為知由Xc83)2(., 020),24(83)(2其它xxxxf 2102483122121dxdxxxdxxfXP例例 設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 解：由F(x)的連續(xù)性，有xfAxxAxxxF及概率密度求常數(shù)1,110,0,02 1110121limAFAxFx 其他, 010 ,2xxxFxf二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaX

6、bxaabxfX記為記為區(qū)間上服從均勻分布區(qū)間上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間則稱(chēng)則稱(chēng)其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 1. 均勻分布均勻分布xo)(xf a b概率密度概率密度函數(shù)圖形函數(shù)圖形均勻分布概率密度函數(shù)演示均勻分布概率密度函數(shù)演示均勻分布的意義均勻分布的意義,),(Xba變量變量上服從均勻分布的隨機(jī)上服從均勻分布的隨機(jī)在區(qū)間在區(qū)間.),(性性是是相相同同的的內(nèi)內(nèi)的的可可能能中中任任意意等等長(zhǎng)長(zhǎng)度度的的子子區(qū)區(qū)間間落落在在區(qū)區(qū)間間baxo)(xf a bab 1 lablp l即即 X X 的取值在的取值在(a,b)(a,b)內(nèi)任何長(zhǎng)為內(nèi)任何長(zhǎng)為 d

7、 c d c 的小區(qū)間的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān)的概率與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān), , 只與其長(zhǎng)度成正只與其長(zhǎng)度成正比比. . 這正是幾何概型的情形這正是幾何概型的情形. . ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函數(shù)分布函數(shù)xo)(xF a b 1均勻分布分布函數(shù)圖形演示均勻分布分布函數(shù)圖形演示 例例2 某公共汽車(chē)站從上午某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班分鐘來(lái)一班車(chē)，即車(chē)，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)此等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是是7:00 到到 7:30 之間的之間的均勻隨機(jī)變量均勻隨

8、機(jī)變量, 試求他候車(chē)時(shí)間少于試求他候車(chē)時(shí)間少于5 分鐘的概率分鐘的概率.解解依題意，依題意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00為起點(diǎn)為起點(diǎn)0，以分為單位，以分為單位其它, 0300,301)(xxf 為使候車(chē)時(shí)間為使候車(chē)時(shí)間X少于少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到達(dá)車(chē)站之間到達(dá)車(chē)站.所求概率為：所求概率為：30251510XPXP3130130130251510dxdx即乘客候車(chē)時(shí)間少于即乘客候車(chē)時(shí)間少于5 分鐘的概率是分鐘的概率是1/3.從上午從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車(chē)，即分鐘來(lái)一班

9、車(chē)，即 7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)汽車(chē)站，等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)汽車(chē)站，例例3 3設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X服從服從(1,6)(1,6)上的均勻分布，求上的均勻分布，求一元兩次方程一元兩次方程t2+Xt+1=0t2+Xt+1=0有實(shí)根的概率有實(shí)根的概率. . 解解: :.01,0422有有實(shí)實(shí)根根時(shí)時(shí)因因?yàn)闉楫?dāng)當(dāng) XttX故所求概率為故所求概率為: : )04(2XP)22( XXP或或而而X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 : : ,0;61,51)(其其他他xxf, 0)2(,54)()2(62 XPdttfXP且且因此所求概率因此所求概率 .54)04(2 XP2 2 指數(shù)分布指

10、數(shù)分布假設(shè)假設(shè) X X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其他, 00,)(xexfx則稱(chēng)則稱(chēng) X X 服從服從 參數(shù)為參數(shù)為的指數(shù)分布的指數(shù)分布)(EX記作記作X X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為0,10, 0)(xexxFx 0 0 為常數(shù)為常數(shù)對(duì)于任意的對(duì)于任意的 0 a b, 0 a 0， 那么 稱(chēng) X 服從參數(shù)為 和 的正態(tài)分布. 2 2 其中:正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)曲曲線(xiàn)線(xiàn)關(guān)關(guān)于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ; 0)(,)3(xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng);)4(處有拐點(diǎn)處有拐點(diǎn)曲線(xiàn)在曲線(xiàn)在x 即，漸近線(xiàn)為x軸參數(shù)稱(chēng)為位置軸作平移變換著

11、只是沿圖形的形狀不變的大小時(shí)改變當(dāng)固定xxf;,)(,)5(稱(chēng)為形狀參數(shù)圖形越矮越胖越大圖形越高越瘦越小而形狀在改變不變圖形的對(duì)稱(chēng)軸的大小時(shí)改變當(dāng)固定xf.,)(,)6(正態(tài)分布密度函數(shù)圖形演示正態(tài)分布密度函數(shù)圖形演示正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)和唯一確定， 當(dāng)和不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的是不同的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面介紹一種最重要的正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和 表示：( )x ( )x 221( ),2xxex 221( )2txxedt 01, 的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.稱(chēng)其圖形為:( ) x ( ) x 密度函數(shù)( )x ( )x 分布函數(shù)教材P439附表2為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表

12、，借助于附表2 ，可以查表計(jì)算一般正態(tài)分布的概率問(wèn)題。關(guān)于正態(tài)分布表()1( )xx 221( )2txxedt xx表中給出的是 時(shí), (x)的值.0 x 當(dāng) 時(shí)有：0 x例題例題 設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量XN(0，1),求求1P1X2; 2)P-1X2 1P1X2=2）-1） =0.97725-0.8413=0.13595 2)P-1X80=1-F(80)=1-(80-72/12)=1-0.7486=0.25142)P60X84=(84-72/12)-(60-72/12)=0.68263)PX60=(60-72/12)=(-1)=1-(1)=0.1587已知自動(dòng)車(chē)床生產(chǎn)的零件的長(zhǎng)度

13、X(毫米)服從正態(tài)分布)75. 0 ,50(2N,如果規(guī)定零件的長(zhǎng)度在5 . 150 毫米之間為合格品.求:生產(chǎn)零件是合格品的概率解:)75. 0 ,50(2NX例.)5 . 150( XP)5 .515 .48( XP51.550()0.75 所求的概率為：48.550()0.75 )2()2( )2(1()2( 1)2(2 19772. 02 9544. 0 查附表2例.),5 ,27(2NX從旅館到飛機(jī)場(chǎng)沿 A 路走(路程斷，交通擁擠)所需時(shí)間(分鐘)沿 B 路走路程)2 ,30(2NY長(zhǎng)，阻塞少)所需時(shí)間(分鐘)若現(xiàn)在只有 30分鐘.問(wèn)：分別選擇哪一條路為好? 解:依題意，選擇所需時(shí)間

14、超過(guò)規(guī)定時(shí)間的概率較小的路線(xiàn)為好.當(dāng)只有30分鐘可用時(shí):A 路: )30(XP)30(1 XP30271()5 1(0.6)7257. 01 2743. 0 B 路:)30( YP)30(1 YP30301()2 5 . 01 5 . 0 結(jié)論：此時(shí)應(yīng)選擇A路液體的溫度X)5 . 0 ,(2dNX(以計(jì))是一個(gè)隨機(jī)變量，且將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器調(diào)整在0d C例.(1) 假設(shè)90 d, 求 X 小于89的概率.(2) 若要求保持液體的溫度至少為80的概率 不低于0.99，問(wèn) d 至少為多少?解:(1)(89)P X )5 . 090895 . 090( XP)5 . 0805 . 0(1dd