高三數(shù)學(xué)線性規(guī)劃

1、專 題 六3420()230 (032)351.xyxyxyxyxyxyzxy就是變量 、 滿足的一組條件，一般表現(xiàn)為不等式 組 ，如如果約束條件對(duì)應(yīng)的不等式均為一次，則又可稱為線性約束條件就是欲求最大值或最小值所涉及的變量 、 的解析式，如果目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于兩個(gè)變量、 的一次解析式，則目標(biāo)函數(shù)又可稱為線性目標(biāo)函約束條件：目：數(shù)，如標(biāo)函數(shù)34()35()()zxyxy就是在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的問題如在線性約束條件 下求函數(shù)的最大值或最小值問題可行解就是滿足線性約束條件 的解 ， ，它是由約束條件構(gòu)二元線性規(guī)劃成的集合的一問題：個(gè)元素56()由所有可行解組成的區(qū)域稱為可行

2、域，也是約束條件中各個(gè)不等式解集的交集，在坐標(biāo)系中表現(xiàn)為各個(gè)不等式所示的平面區(qū)域的公共部分可行域可能是封閉的多邊形，也可能是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)可域最優(yōu)解就是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，可行解可能只有一個(gè)，也有可能有無數(shù)個(gè) 當(dāng)一邊界所在直線的斜率與線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線斜率相等時(shí) ，最優(yōu)解一般是在邊界上或頂點(diǎn)行域：上取得2220210011()416525A. B. C. D.525416xyxyxyyzxy 設(shè) ， 滿足約束條件，則的最小值是 例1：考點(diǎn)考點(diǎn)1 求線性約束條件下的非線性目標(biāo)函數(shù)問題求線性約束條件下的非線性目標(biāo)函數(shù)問題1,1所求最小值實(shí)質(zhì)上求平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距

3、離的最小值的平方，解答時(shí)首先根據(jù)約束條件畫出平面區(qū)域，然后觀察點(diǎn)與平面區(qū)域的位置關(guān)系，進(jìn)而求得分析：最小值2222221,121| 12 1 1|0(1)(1)12411.5APPxyxyxy 如圖所示，由平面區(qū)域的形狀易知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離就是點(diǎn) 到直線的距解離，即，即，析：故選 123求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題主要題型有： 求與平面區(qū)域相關(guān)的距離最值；求與平面區(qū)域相關(guān)的斜率最值； 求與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最值問題解答時(shí)同樣要分析非線性目標(biāo)函數(shù)與平面區(qū)域的位置關(guān)系，進(jìn)而確定它【思維啟迪】們的最值0022011yx yxyxyyux 實(shí)數(shù) ， 滿足不等式組，求的取變?cè)囶}值范圍1

4、1yx因?yàn)楸磉_(dá)式與斜率的坐標(biāo)公式類似，因此可轉(zhuǎn)化為斜率問題分析：來解決()1()11,10,02,21,0111.331PAOPxyyuxyxOABkuk 滿足已知不等式組的可行域如圖所示，視 ，為坐標(biāo)平面可行域內(nèi)的點(diǎn)，則表示動(dòng)點(diǎn) ，與定點(diǎn)連線的斜率，由條件求得各交點(diǎn)的坐標(biāo)，由斜率公式得，所以解析：100%50%30%10%101.8制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)預(yù)測，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為和，可能的最大虧損率分別為和，投資人計(jì)劃投資金額不超過萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過萬元問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多

5、少萬元，才能使可能的盈例2：利最大？考點(diǎn)考點(diǎn)2 應(yīng)用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題應(yīng)用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題根據(jù)已知的數(shù)據(jù)建立不等式約束條件和目標(biāo)函數(shù)，然后通過作出平面區(qū)域和平行直線確定目標(biāo)函數(shù)分析：的最值100.30.11.8.000.5()xyxyxyxyzxy設(shè)投資人分別用 、 萬元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目由題意知，目標(biāo)函數(shù)為，上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示含邊界，即為解析：可行域000.500.510100.30.11.80.30.11.84.1 40.5 67 ()46466lxylxyzzRMzMxyxyxyxyxzxyyz 作直線 ：，并作平行于直線 的一組直線系，其中有一條直線經(jīng)過可

6、行域上的點(diǎn)時(shí)， 最大，這里點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)解方程故投資人組，用 萬元得此投資時(shí)萬元所以當(dāng)，時(shí)， 取甲項(xiàng)目，萬元投資乙得最大值項(xiàng)目，才1.8能在確保虧損不超過萬元的前提下，使可能的盈利最大()f xymm線性規(guī)劃在實(shí)際應(yīng)用中較為廣泛，利用線性規(guī)劃解決應(yīng)用問題的方法可按下列步驟進(jìn)行：根據(jù)題意，建立數(shù)學(xué)模型，作出可行域；設(shè)所求的目標(biāo)函數(shù)，；平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線方程確【思定 的最大維啟迪】值或最小值222180 m18 m54015 m35010006008000 某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共計(jì)，擬分割成兩類房間作為旅游客房大房間每間面積為，可住游客 名，每名游客每天住宿費(fèi)元；小房間每間面積為

7、，可住游客 名變?cè)囶}，每名游客每天住宿費(fèi)元裝修大房間每間需要元，裝修小房間每間需元如果他只能籌款元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？20015018151806560100060080005340.0,0, ,0,0, ,xyzzxyxyxyxyxyxyxyx yxyx yZZ設(shè)隔出大、小房間分別為 間、 間，收益為 元，則，其中 ， 滿解：足：析 20015020 60()770,121,102,93,84,65,5zxyAzxyzz如圖所示，由圖解法易得過點(diǎn)，時(shí)，目標(biāo)函數(shù) 取得最大值但 ，必須是整數(shù)，還需在可行區(qū)域內(nèi)找出使目標(biāo)函數(shù) 取得最大值的整點(diǎn)

8、顯然目標(biāo)函數(shù) 取得最大值的整點(diǎn)一定是分布在可行區(qū)域的右上側(cè)，則利用枚舉法即可求出整點(diǎn)最優(yōu)值這些整點(diǎn)有：，逐一驗(yàn)證， max0,123,8200 0150 12 200 3 150 8 1800()6,37,18,020011238510 .18002zzxy 可得取整點(diǎn)或時(shí)，元，分別代入所以要獲得最大收益元，有兩種方案：只隔出間隔出注：如果把裝修費(fèi)用考慮在內(nèi)小房，則間大房間 間，選擇第一種小房間 間方案好1,12()12()A1,0 B 0,1 C 0,2 D1,2OAxyM xyxyOA OM 已知 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)，為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是 備選例題:A MOA OM 利

9、用 、 點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化數(shù)量積為線性目標(biāo)函數(shù)，然后利用求線性目標(biāo)函數(shù)的最值方分析：法求解0minmax.01,11 1 00,20 220,2OA OMxyzxylxyzzzzOA OM 作出可行域，如圖所示，設(shè)，作 ：，易知過點(diǎn)時(shí) 有最小值，；過點(diǎn)時(shí) 有最大值，所以的取值范圍是解析：解答線性規(guī)劃交匯問題時(shí)必須清楚交匯的是什么知識(shí)？是通過什么形式交匯的？然后利用相關(guān)的知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，再求線性目標(biāo)函【思維啟迪】數(shù)的最值 ()()0,00,11,0“”()1畫線 直線定界 ：畫出約束條件中對(duì)應(yīng)的直線，注意邊界的虛實(shí)；定側(cè) 特殊點(diǎn)定側(cè) ：根據(jù)“同側(cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)”，常取特殊點(diǎn)、；求 交 半

10、平面定域 ：作各平面區(qū)域個(gè)不等式所的畫法示的半（1）平面區(qū)（2）（3）：的公共部分 1322ll作圖：即根據(jù)約束條件畫出可行域及目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中的任一條 ；找點(diǎn)：即平移直線 ，確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置；求最值：即將最優(yōu)解點(diǎn)的坐標(biāo)代入線性目標(biāo)函數(shù)求出最值由于解答是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能的準(zhǔn)解答線性規(guī)劃問確，操作盡可能題的步驟：的規(guī)范 ()1234563()xyzf xy解線性規(guī)劃根據(jù)題意，設(shè)出變量 、 ；找出線性約束條件；確定線性目標(biāo)函數(shù)， ；畫出可行域 即各約束條件所表示區(qū)域的公共區(qū)域 ；確定最優(yōu)解，得出應(yīng)用問答案；題的一回般思扣實(shí)路及步驟：際問題 ()“”“1”4“”網(wǎng)格

11、布點(diǎn)法：通過直接作圖找出格點(diǎn) 整點(diǎn)，對(duì)靠近邊界上的點(diǎn)是否符合題義，可直接代入，作出合理的取舍要求盡可能準(zhǔn)確地作出網(wǎng)格線和線性區(qū)域整點(diǎn)調(diào)整法：可行域內(nèi)的 最優(yōu)解 不一定是整點(diǎn)， 整點(diǎn)調(diào)整法 的思路是：將可行域中與位于 最優(yōu)解 兩側(cè)的靠近邊界的整點(diǎn)全部列出求線性規(guī)劃問題中的，一一代入目標(biāo)函數(shù)整數(shù)解，再取主要有兩種其中的最優(yōu)方法（2）整點(diǎn)解5“”解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖必須盡可能的準(zhǔn)確，圖上操作盡可能的規(guī)范若圖上的最優(yōu)點(diǎn)并不明顯易分辨時(shí)，可將幾個(gè)最有可能是最優(yōu)點(diǎn)的坐標(biāo)都求出來，然后逐一檢查， 驗(yàn)明正身23 A17 1.(201B 14 C 5 ) D 31xyzxy若變量 ， 滿足約束條件，則的最小全國大綱值為卷632111235.xyxyxxyzxy 約束條件的平面區(qū)域如圖所示：由圖可知，當(dāng)，時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有解最小值為析： 1219810767224501350 A 4650 2.(20 11)Az 某運(yùn)輸公司有名駕駛員和名工人，有 輛載重量為噸的甲型卡車和 輛載重量為 噸的乙型卡車某天需運(yùn)往 地至少噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一次派用的每輛甲型卡車需配 名工人，運(yùn)送一次可得利潤元；派用的每輛乙型卡車需配 名工人，運(yùn)送一次可得利潤元該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤為元四川卷 B 4700C 4900D 5000元元 元12219.