旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算

1、第七講 旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算分別以矩形、直角三角形、直角梯形的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)（下圖） 旋轉(zhuǎn)軸叫做它們的軸，在軸上這條邊的長(zhǎng)度叫做它們的高，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而形成的圓面叫做它們的底面，不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做它們的側(cè)面，這條邊無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，都叫做旋轉(zhuǎn)體的母線圓柱的側(cè)面展開(kāi)后是個(gè)矩形，它的寬是圓柱的母線，長(zhǎng)是圓柱底面的周長(zhǎng)由此可得 其中是圓柱側(cè)面的母線長(zhǎng)，是底面半徑（下左圖）。 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如上右圖這個(gè)扇形的半徑是圓錐的母線，弧長(zhǎng)是圓錐底面的周長(zhǎng)，于是可得 其中是圓錐側(cè)面的母線，C

2、是圓錐底面的周長(zhǎng)，是圓錐底面的半徑。圓臺(tái)是用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截圓錐而得到的，所以圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是兩個(gè)扇形的差，常叫扇環(huán)形這個(gè)扇環(huán)形的寬是圓臺(tái)側(cè)面的母線，外弧長(zhǎng)和內(nèi)弧長(zhǎng)分別是圓臺(tái)的下底面和上底面的周長(zhǎng)，于是可得 其中是圓臺(tái)側(cè)面母線長(zhǎng)， 、 分別是圓臺(tái)上底和下底周長(zhǎng)， 、 分別是圓臺(tái)上底和下底的半徑（如下圖） 圓柱的體積等于它的底面積S與高h(yuǎn)的乘積，即 ，其中為圓柱底面的半徑圓錐的體積等于它的底面積S與高h(yuǎn)的積的三分之一， 即 ，其中為圓錐底面半徑。圓臺(tái)的體積是： 其中，、分別是上底和下底的半徑例1 甲、乙兩個(gè)圓柱形水桶，容積一樣大，甲桶底圓半徑是乙桶的1.5倍，乙桶比甲桶高25厘米，求

3、甲、乙兩桶的高度。 分析與解答 如下圖由題意，設(shè)乙桶半徑為r，則甲桶半徑為1.5r；甲桶高度為h，則乙桶高度為h25，則（1.5r）2hr2（h25）， 2.25r2hr2（h25），2.25hh25，h20（厘米），h2545（厘米）答：甲桶高度為20厘米，乙桶高度為45厘米例2 一塊正方形薄鐵板的邊長(zhǎng)是22厘米，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，沿弧剪下一個(gè)扇形，用這塊扇形鐵板圍成一個(gè)圓錐筒，求它的容積（結(jié)果取整數(shù)部分）解：如下圖 扇形弧長(zhǎng)=×2×22=11厘米，因此所作的圓錐筒底的周長(zhǎng)=2=11，解得=5.5厘米。 因?yàn)槟妇€長(zhǎng)是22厘米，所以圓錐的高 厘米 674

4、（立方厘米）答：所求圓錐筒的容積約為674立方厘米 例3 在倉(cāng)庫(kù)一角有一堆谷，呈圓錐形（如下圖），量得底面弧長(zhǎng)為2米，圓錐的高為1米，這堆谷重約多少公斤（谷的比重是每立方米重720公斤，結(jié)果取整數(shù)部分）？ 解：因?yàn)榈酌婊￠L(zhǎng)為2米，所以×2=2 求得=（米），因此，谷堆的體積為： （立方米） 谷子的重量為720×306（公斤）答：這堆谷子重約306公斤。例4 有一個(gè)倒圓錐形的容器，它的底面半徑是5厘米，高是10厘米。容器內(nèi)放著一些石子，石子的體積為立方厘米。在容器內(nèi)倒?jié)M水后，再把石子全部拿出來(lái)，求此時(shí)容器內(nèi)水面的高度。 解：如上圖，設(shè)石子取出后，容器內(nèi)水面高度為厘米，則倒圓錐

5、容器的容積等于水的體積加上石子的體積，根據(jù)體積公式有： ××52×10=×（）2×=6答：石子取出后，容器內(nèi)水面的高為6厘米例5 有一草垛，如下圖，上部是圓錐形，下部是圓臺(tái)形，圓錐的高為0.7米，底面圓周長(zhǎng)為6.28米；圓臺(tái)的高為1.5米，下底面周長(zhǎng)為4.71米。如果每立方米草約重150公斤，求這垛草的重量（結(jié)果取整數(shù)部分） 分析與解答 圓錐的底面半徑：=1（米）圓錐的體積： （立方米）圓臺(tái)的下底半徑： （米）圓臺(tái)上底半徑： （米）圓臺(tái)高： =米則 = =3.63（立方米）草垛體積為： =0.733.63=4.36（立方米），故草垛的重量為：1

6、50×4.36654（公斤）答：草垛約重654公斤例6 如下右圖，在長(zhǎng)為35厘米的圓筒形管子的橫截面上，最長(zhǎng)直線段為20厘米，求這個(gè)管子的體積 分析 如上左圖，AB是截面圓環(huán)的最長(zhǎng)直線段，O是截面圓環(huán)的圓心過(guò)O作AB的垂線，垂足是C，以 O為圓心，以O(shè)C為半徑作圓，即管截面的內(nèi)圓周連結(jié)AO，根據(jù)勾股定理有：AO2AC2CO2，AO2OC2AC2，同理AO2OC2BC2，·AO2·OC2·（AO2OC2） =×=×（）2解：先求出管子橫截面的圓環(huán)面積為： ×（）2=100（平方厘米）則管子的體積為： =圓環(huán)面積× =

7、100×35 =3500（立方厘米）答：這個(gè)管子的體積為3500立方厘米例7 一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為16厘米，寬為12厘米以它的一條對(duì)角線為軸旋轉(zhuǎn)此長(zhǎng)方體，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體求這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積（結(jié)果中保留，即不用近似值代替） 分析與解答 如下圖， 記這個(gè)長(zhǎng)方形為ABCD，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O過(guò)O作EF垂直于AC，分別交 BC、 AD于 E、 F由對(duì)稱(chēng)性知道：EOOF設(shè)P為AO上的任一點(diǎn)，過(guò)P作AO的垂線，分別交折線ABE和線段 AF于 M和N，那么MPPN因此，四邊形ABEF繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體即為四邊形ABEO繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體同樣，四邊形CDFE繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體即為四邊形CDFO繞A

8、C旋轉(zhuǎn)得到的立體并且，由于對(duì)稱(chēng)性，四邊形ABEO與CDFO是完全一樣的，因此由它們繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體也是完全一樣的這樣，這兩個(gè)立體的體積相等所以，長(zhǎng)方形ABCD繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體的體積等于四邊形ABEO繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體的體積的兩倍記由長(zhǎng)方體ABCD繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體為W，由四邊形ABEO繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體為U，由ABB'（B'在AO上，BB'垂直于AO）、四邊形BEOB'繞AC旋轉(zhuǎn)得到的立體分別記為U1、U2顯然，U1與U2有一條公共的邊界（由BB'旋轉(zhuǎn)而成的圓），且U1與U2合成U因此VW2VU2（VU1VU2）由AB12厘米，BC16厘米

9、及勾股弦定理得： AC=20厘米，所以AO=CO=AC=10厘米 再由得： BB'9.6厘米在直角三角形ABB'中再用勾股弦定理，得 AB'7.2厘米，所以B'OAOAB'2.8厘米U1是一個(gè)圓錐，底面半徑BB'9.6厘米，高AB'7.2厘米，所以： （立方厘米）U2是一個(gè)圓臺(tái)，它是大、小兩個(gè)圓錐的差，大圓錐以 BB'為底面半徑，CB'為高，小圓錐以EO為底面半徑，CO為高，容易知道CB'COOB'12.8厘米，由EO：OCAB：BC可以求出EO7.5厘米因此 （立方厘米）所以 =2× 853.8

10、（立方厘米）答：所求的旋轉(zhuǎn)體體積為853.8立方厘米。習(xí)題七一、填空題：1一個(gè)圓柱體的側(cè)面積是m平方厘米，底面半徑是2厘米，它的體積是_立方厘米2一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為8厘米，底面直徑為12厘米，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積等于_平方厘米3圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2厘米和5厘米，母線長(zhǎng)為4厘米，那么這個(gè)圓臺(tái)的表面積等于_4用半徑為2厘米的半圓形鐵皮卷成的圓錐形容器，則它的底面半徑為_(kāi)厘米，容積是_立方厘米5一個(gè)圓錐的高是10厘米，側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，那么圓錐的側(cè)面積等于_二、選擇題：1一個(gè)圓柱體高80厘米，側(cè)面積為1.5平方米，它的全面積是_（精確到0.01平方米）（A）1.78平方米 （B）2.06平方

11、米（C）3.74平方米 （D）5.25平方米2圓錐的側(cè)面積為427.2平方厘米，母線長(zhǎng)為17厘米，那么圓錐的高是_（精確到0.01厘米）（A） 5.75厘米（B）15厘米（C） 16.52厘米 （D）5.25厘米3圓柱的一個(gè)底面積是S，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是_（A）4S（B）2S （C）S （D）4母線和底面直徑相等的圓錐叫做等邊圓錐，一個(gè)等邊圓錐的底面半徑是5厘米，那么它的側(cè)面積是_（A） 25平方厘米 （B） 50平方厘米（C） 100平方厘米 （D） 250平方厘米5把一個(gè)底面半徑是1厘米的圓柱體側(cè)面展開(kāi)，得到一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱體的體積是立方厘米（取3.14）（

12、A） 1 （B） 3.14（C） 3.14×3.14 （D） 3.14×6.286長(zhǎng)、寬分別為6寸、4寸的長(zhǎng)方形鐵片，把它圍成一個(gè)圓桶，另加一個(gè)底，形成圓柱形的杯子，這個(gè)杯子的最大容積是_ （A） （B） （C） （D）三、解答題：1一個(gè)底面直徑是20厘米的圓柱形容器中裝著水，水中放置一個(gè)底面半徑是9厘米、高20厘米的鐵質(zhì)圓錐體，當(dāng)圓錐從桶中取出后，桶內(nèi)的水將下降多少厘米？2在一只底面半徑為20厘米的圓柱形小桶里，有一半徑為10厘米的圓柱形鋼材浸在水中當(dāng)鋼材從桶里取出后，桶里的水下降了3厘米求這段鋼材的長(zhǎng)3有A、B兩個(gè)容器，如下頁(yè)圖，先將A容器注滿水，然后倒入B容器，求B容

13、器的水深。（單位：厘米） 4從一個(gè)底面半徑為3厘米，高為4厘米的圓柱中，挖去一個(gè)以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點(diǎn)的圓錐，得到一個(gè)如下圖的幾何體求這個(gè)幾何體的表面積和體積 5圓錐形煙囪帽的底的半徑是40厘米，高是30厘米，計(jì)算它的側(cè)面面積。若煙囪表面要涂油漆，已知每平方米需要油漆150克，問(wèn)需油漆多少克？6一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為25厘米，而兩個(gè)底面半徑之比為1：3，已知圓臺(tái)的側(cè)面積等于1000平方厘米，求這個(gè)圓臺(tái)的全面積7把一條導(dǎo)線以螺旋狀繞在圓柱管上，繞成十圈，圓柱管的外圓周長(zhǎng)4厘米，導(dǎo)線的兩端點(diǎn)位于圓柱的同一條母線上，每線長(zhǎng)（兩端點(diǎn)之間的距離）為9厘米試求導(dǎo)線的長(zhǎng)度8在長(zhǎng)為1米的圓筒形管子的橫截面上，最長(zhǎng)直線段為12厘米，求此管子的體積9如下頁(yè)圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD