數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展 羅增儒

1、數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展“行動成才、崗位成家”的一二三陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 羅增儒 郵編：710062電話：E-mail：我將要與大家交流的話題是“數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展”，采用的方式是“講故事”（故事也就是案例，講故事也就是教學(xué)聊天, 方言亦叫擺龍門陣、侃大山、神吹、嘮嗑（東北）, 片閑傳（陜西），傾計（廣東）我真誠希望，我們今天的交流，既不辜負(fù)這個美好的金秋、更不辜負(fù)你們更加金色、美好的未來教師發(fā)展的途徑很多（有的崗位成才、有的行政成官、有的讀學(xué)位成家），崗位成才教師的發(fā)展也會有自己的個性化軌跡，切入點各有不同：有的在職業(yè)理想中學(xué)習(xí)；（從小就有當(dāng)教師的理想）有的在教學(xué)實踐中研究；（在教學(xué)第一線摸爬滾打

2、，勤奮努力）有的在案例分析中前進；（不停頓的反思課怎么上、題怎么解）有的在同伴互助中提升；有的在論文寫作中發(fā)展；（愛寫教學(xué)筆記，投稿發(fā)表文章）有的得益于名師的指點；（或提攜）有的由于在某個公開課上一炮打響；有的在在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、寫作小論文上獲得成功；所有這些，你們都可以根據(jù)自己的實際加以選擇和借鑒下面，我想說一些基于個人體驗的、“行動成才、崗位成家”的建議：一個機遇，兩條途徑，三重境界一個機遇：課程改革兩條途徑：在“校本教研”中“行動成才”，在“教育數(shù)學(xué)”中“崗位成家”提高數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)解題兩個核心競爭力，占領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)解題兩個專業(yè)制高點，成為數(shù)學(xué)教育家或教育數(shù)學(xué)家三重境界：第一境界是經(jīng)驗

3、型教師（站上講臺），第二境界是技術(shù)型教師（站穩(wěn)講臺），第三境界是研究型教師（站好講臺）1 課程改革的歷史機遇（建議1）隨著新世紀(jì)課程改革的開展，我國數(shù)學(xué)教學(xué)的生活化取向、活動化取向、個性化取向正在熱情地展開（體現(xiàn)了人本主義、大眾數(shù)學(xué)、建構(gòu)主義），同時也面臨許多始料未及、而又缺乏現(xiàn)成解決方案的問題，向我們提出了從理論到實踐的挑戰(zhàn)、從教學(xué)到數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)，這是教師發(fā)展的歷史機遇（參見鄭毓信數(shù)學(xué)教育改革十五誡數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2014，6）需要研究的問題很多比如，一方面對所有的課程都有“三維目標(biāo)”（知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀），另方面，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)（2011）對數(shù)學(xué)課程分為總目標(biāo)

4、和學(xué)段目標(biāo)，從知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度等四個方面加以闡述（有的學(xué)科還從五個、六個方面加以闡述）；此外還有“四基”（通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗），它們之間是什么關(guān)系？標(biāo)目容內(nèi)各門課程數(shù)學(xué)課程每學(xué)期數(shù)學(xué)課程每一章數(shù)學(xué)內(nèi)容每一節(jié)數(shù)學(xué)內(nèi)容課程或課堂目標(biāo)知識與技能知識技能數(shù)學(xué)思考過程與方法問題解決情感、態(tài)度與價值觀情感態(tài)度過程與方法是否對應(yīng)“數(shù)學(xué)思考”與“問題解決”？“是”的原因是什么？“不是”的理由又是什么？繼續(xù)展開，可思考的問題就更多了.（下面，先看具體的例子） 1-1 教學(xué)中遇到的一些案例故

5、事1：線面垂直的引進在課堂引入時，有老師創(chuàng)設(shè)如下教學(xué)情境（學(xué)生起立、問好之后） 教師：剛才你們起立時，身體是怎樣的？ 學(xué)生：是站立的教師：“站立”是什么意思？如果同學(xué)們在操場上集合，當(dāng)體育老師喊“立正！”時，你們應(yīng)該怎么做？ 學(xué)生：站直身子 教師：如何判斷你們的身子是否站直了？ 學(xué)生：與地面垂直 教師：那么怎樣才叫做與地面垂直呢？與地面垂直的意義又是什么呢？ 學(xué)生：教師：請你們先在小組中討論一下，再回答老師好嗎？也可以結(jié)合一些例子說明，譬如體操運動員在平衡木上怎樣才不會摔下來；幻燈投影時，如果要使圖像的大小和形狀都不改變，那么光線與屏幕應(yīng)該是什么關(guān)系等等經(jīng)過一番討論后，教師再引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中

6、熟悉的例子，如旗桿、電線桿、橋墩、樓房的立柱、樹木生長的方向這樣自然而然地得到了直線與平面垂直的概念，學(xué)生便有了數(shù)學(xué)就在身邊的感覺(摘自刊物文章) 評析：這位老師接著上課起立、自然地創(chuàng)設(shè)“線面垂直”的情景是值得肯定的，但學(xué)生是否獲得了直線與平面垂直的概念呢？是否獲得了直線與平面垂直的判別方法呢？值得考慮另外，立正、運動員在平衡木上不摔下來、幻燈投影、旗桿、電線桿、橋墩、樓房的立柱、樹木生長的方向等等不加以提煉是數(shù)學(xué)嗎？是學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)嗎？至于重心投影不離支面就不會摔下來，它與“線面垂直”有關(guān)系嗎？幻燈投影能不改變圖像的大小嗎？我們說，有效的情景應(yīng)該起始于精細(xì)的數(shù)學(xué)認(rèn)知分析，使情境具有數(shù)學(xué)對象的

7、必要因素和必要形式（這是一個創(chuàng)作與創(chuàng)造的過程），只注意情景的形式，缺失數(shù)學(xué)及其本質(zhì)（去數(shù)學(xué)化），會好心辦壞事并且，未加提煉的生活現(xiàn)實還不是數(shù)學(xué)！生活世界有自身不可克服的局限性，它不可能給我們提供太多的理性承諾，學(xué)校教育恰恰應(yīng)該著眼于社會生活中無法獲得、而必須經(jīng)由學(xué)校教育才能獲得的經(jīng)驗如何防止“去數(shù)學(xué)化”，既是教學(xué)的挑戰(zhàn)，又是數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)故事2：勾股定理與正弦定理的教學(xué)設(shè)計（1）勾股定理的設(shè)計測量你的兩塊直角三角尺的三邊長度，并將各邊的長度填入下表：根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請猜想三邊的長度之間的關(guān)系評析：這個活動的設(shè)計值得商榷，一塊任意的三角板，它的三邊長很可能并非整數(shù)讓學(xué)生猜想三邊長分別為3、4、5

8、或者5、12、13的直角三角形三邊的關(guān)系，就已經(jīng)不是容易的事，比如，學(xué)生可以由和，猜想（還可能有學(xué)生得出整除；并且，當(dāng)時有無窮個直角三角形滿足），更何況要猜想三個非整數(shù)之間的平方關(guān)系這樣處理，容易導(dǎo)致學(xué)生盲目的猜想和虛假的探究，在這“盲目”和“虛假”中知識夾生、變相填鴨和浪費時間（2）正弦定理的設(shè)計測量三角形的三邊長度、三個角度，填表計算結(jié)果，并作小組交流，會得出有什么結(jié)論？小組一二三評析：說四點看法（1）與“勾股定理的設(shè)計”一樣，這樣處理，容易導(dǎo)致學(xué)生盲目的猜想和虛假的探究，在這“盲目”和“虛假”中知識夾生、變相填鴨和浪費時間（2）關(guān)于數(shù)學(xué)探究 “為什么要計算與的比”缺少交待探究不是把學(xué)生送

9、上公共汽車，美其名曰：學(xué)生自己走到了目的地（3）這種探究沒有反映定理的本質(zhì)正弦定理的一個本質(zhì)含義是:平面幾何中“大邊對大角”的精確數(shù)量化，也就是找出“三角形的邊與角的具體關(guān)系”清對比下面的處理：另一方案：由“大邊對大角”考慮所學(xué)過的增函數(shù)（1）（2）（3）（4）（5）這是在找三角形的邊與角的具體關(guān)系，是在真探究，但會不會太發(fā)散還可以研究.（4）這種探究也沒有反映定理的另一個本質(zhì)：“三角形”的代數(shù)刻畫（怎樣用代數(shù)式刻畫三角形？）我有一次聽完課后問：“能寫出正弦定理的條件和結(jié)論嗎？能寫出正弦定理的逆命題嗎？能證明正弦定理逆命題的真假嗎？”結(jié)果是：全軍覆沒！逆定理 若為正實數(shù)，且， ，則對應(yīng)的線段構(gòu)

10、成一個三角形，且邊的對角為，邊的對角為，邊的對角為證明：由已知知中最多有一個不是銳角，因而，以，為兩角夾邊可以作，使，由，得再由正弦定理，有 ，得 ，所以對應(yīng)的線段構(gòu)成一個三角形，邊的對角為，邊的對角為，邊的對角為故事3 他們需要什么幫助？（1）化簡他需要什么幫助？這位學(xué)生既懂二倍角公式，又懂點英語這是應(yīng)該肯定的，但存在兩個混淆：把作為數(shù)學(xué)整體符號的英文與作為數(shù)學(xué)個體符號混為一談了（約掉了分子分母的），把作為數(shù)學(xué)符號的英文與作為英語單詞的英文混為一談了（2）在一次公開課上，教師講完“負(fù)負(fù)得正”的法則后，有一道題（3）×（4）？學(xué)生除得出12外，還有得出15，9，12的教師請這些學(xué)生解

11、釋答案的由來學(xué)生1：在數(shù)軸上，從3出發(fā)，反方向移動4次，每次移動3格，恰好到15的地方，故得 圖1 學(xué)生2：在數(shù)軸上，從3出發(fā)，反方向移動4次，每次移動3格，恰好到9的地方，故得圖2 （兩個學(xué)生說法一樣，但圖示不同，結(jié)果也就不同）學(xué)生3：在數(shù)軸上，從原點出發(fā)，反方向移動4次，每次移動3格，恰好到12的地方，故得 圖3 他們需要什么幫助？這個案例以“在數(shù)軸上如何自然地說明負(fù)負(fù)得正規(guī)定的合理性”的方式，又一次把傳統(tǒng)的教學(xué)難點提到了議事日程上來我們認(rèn)為，恐怕首先要在數(shù)學(xué)上搞透徹，然后才能在教學(xué)設(shè)計上說清楚、講明白（數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)?。┮粋€顯而易見的問題是：在數(shù)軸上如何顯示與的區(qū)別？1-2 問題涉及的關(guān)系所

12、涉及的關(guān)系主要有：（1）關(guān)注過程和關(guān)注結(jié)果的關(guān)系（過程與結(jié)果，預(yù)設(shè)與生成）沒有過程的結(jié)果是沒有體驗、沒有深刻理解的結(jié)果，是事實的外在灌輸，不追述結(jié)果的過程是缺乏價值、缺乏意義的過程，是時間的低效消費過程與結(jié)果并重精心預(yù)設(shè)是精彩生成的基礎(chǔ)，精彩生成是教學(xué)觀念、教學(xué)能力和精心預(yù)設(shè)的升華預(yù)設(shè)與生成并重（2）學(xué)生自主學(xué)習(xí)和教師講授的關(guān)系（教師與學(xué)生，講授與探究）在課堂教學(xué)中，教師是主導(dǎo)性主體，其對象性活動指向?qū)W生；學(xué)生是發(fā)展性主體，其對象性活動指向自身發(fā)展，教學(xué)應(yīng)該是在這種師生雙主體的關(guān)系下開展的主體性活動（形式主義：必須撤講臺擺桌子，必須先學(xué)后講，教師講不得超過10分鐘，）誤解接受學(xué)習(xí)是舊的，探究學(xué)

13、習(xí)是新的，其實，歷史上是先有探究學(xué)習(xí)后有接受學(xué)習(xí)，探究學(xué)習(xí)與接受學(xué)習(xí)各有優(yōu)勢與局限性；講授法不是萬能的，沒有講授法是萬萬不能的；應(yīng)該講授與探究結(jié)合（數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)只講“學(xué)生自主探究”，卻完全不提“教師的必要指導(dǎo)”） （3）合情推理和演繹推理的關(guān)系（歸納與演繹）數(shù)學(xué)上有兩種類方法，一類是發(fā)現(xiàn)的方法，一類是論證的方法直覺用于發(fā)現(xiàn)（有利于創(chuàng)新但未必可靠），邏輯用于證明（可靠但不利于創(chuàng)新）應(yīng)既教猜想又教論證（4）生活情境和知識系統(tǒng)性的關(guān)系（生活經(jīng)驗與知識體系）生活中只有數(shù)學(xué)的原型和數(shù)學(xué)的應(yīng)用，誰見過數(shù)學(xué)上的“1”、幾何上的“點”？ 缺乏直觀的概念是盲目的，缺乏概念的直觀是空虛的，數(shù)學(xué)教學(xué)既要有“引進的情

14、景化”，又要有“提煉的去情景化”（數(shù)學(xué)化）沒有加以“數(shù)學(xué)化”提煉的情境、不恰當(dāng)?shù)那榫呈秦?fù)情境、比理解內(nèi)容還難的情境、形式主義與繁瑣哲學(xué)的情景實際上都是一種“負(fù)情景”，它既增加教學(xué)夾生的風(fēng)險，又進行了生命的奢侈消費 （5）改革與繼承的關(guān)系（傳統(tǒng)與創(chuàng)新）用一句話來概括中國數(shù)學(xué)教育的特色，那就是：“在良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上謀求學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展”這里的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”， 其內(nèi)涵就是三大數(shù)學(xué)能力：數(shù)學(xué)運算能力、空間想象能力、 邏輯思維能力；這里的“數(shù)學(xué)發(fā)展”是指：提高用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的能力，促進學(xué)生在德智體各方面的全面發(fā)展與此相應(yīng)的教學(xué)方式，則是貫徹辯證唯物主義精神，進行“啟發(fā)式”教學(xué)，關(guān)注課堂教學(xué)

15、中的數(shù)學(xué)本質(zhì)， 倡導(dǎo)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，運用“變式”進行練習(xí)，加強解題規(guī)律的研究（參見張奠宙關(guān)于中國數(shù)學(xué)教育的特色與國際上相應(yīng)概念的對照人民教育，2010，2） 如何繼承而又促進學(xué)生的發(fā)展？ 應(yīng)該把教學(xué)的主動權(quán)交給教師，有關(guān)部門可以提出指導(dǎo)性意見（如提出四種方式學(xué)習(xí)方式：除接受學(xué)習(xí)外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式），具體實施由教師決定以前，行政決定農(nóng)民怎樣種地，糧食不夠吃，后來，農(nóng)民決定怎樣種地，糧食吃不完課程改革與教師專業(yè)發(fā)展之間存在著良性循環(huán)：一方面，課程改革為教師專業(yè)發(fā)展提供機會，并促進教師的專業(yè)發(fā)展；另一方面，教師的專業(yè)發(fā)展是課程改革的重要支撐，課程改革也因教師活

16、躍的身影和創(chuàng)造的激情而充滿活力課程改革使得中國成為最需要教育家的時候，也成為最可能產(chǎn)生教育家的時候2 教學(xué)發(fā)展的兩條途徑2-1 在“校本教研”中“行動成才”（建議2）校本教研是一種行動研究，行動研究是實踐者在行動中為解決自身問題而參與進行的研究教師結(jié)合自己的教學(xué)實際進行校本教研，就是一種行動研究（1）什么是校本教研？校本教研是教師在教學(xué)過程中以問題為中心開展的研究活動; 校本教研體現(xiàn)了行動研究，并被認(rèn)為是教師專業(yè)發(fā)展的必由之路學(xué)校是校本教研的主陣地；教師是校本教研的主體；教學(xué)問題是校本教研的核心；案例分析是校本教研的具體形式 （2）校本教研的核心要素 實踐與反思，自我反思：是教師個人以自己的教

17、學(xué)活動為對象，對其中的教學(xué)行為、教學(xué)現(xiàn)象和教學(xué)問題進行審視、分析、探討、研究，從而最終解決問題并促進自身的專業(yè)發(fā)展;自我反思是教師與自我的對話; 自我反思是校本教研的基礎(chǔ)教學(xué)前反思：運用已有的知識、經(jīng)驗對教學(xué)進行“精心設(shè)計”，提高教學(xué)的預(yù)測和分析能力教學(xué)中反思：邊教學(xué)、邊反思，具有監(jiān)控性教學(xué)后反思：對教學(xué)過程中出現(xiàn)的現(xiàn)象、問題及時進行分析、研究、總結(jié)、提煉，使教學(xué)經(jīng)驗理論化交流與合作 交流與合作是指教師之間針對某些教學(xué)問題進行相互切磋，合作研討，彼此分享，共同成長；它是教師與教師之間的對話；它是校本教研的主要標(biāo)志包括優(yōu)秀教師幫助和指導(dǎo)青年教師 引領(lǐng)與創(chuàng)新 專業(yè)引領(lǐng)是專業(yè)研究人員參與校本教研，在

18、其中發(fā)揮引領(lǐng)作用，使研究不斷發(fā)展（防止蘿卜煮蘿卜還是蘿卜）專業(yè)引領(lǐng)的實質(zhì)是理論對實踐的指導(dǎo)，其中一個有效的方式是“案例分析”教師要讀書：教育家的書，學(xué)科專業(yè)書：學(xué)習(xí)方法書，心理學(xué)的書，訂閱專業(yè)報刊等 教學(xué)研究的一些案例故事4：“二分法”生活情景的提煉第1、教學(xué)情況的呈現(xiàn)如所周知，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，若，則存在，使作為連續(xù)函數(shù)的一個應(yīng)用，高中新課程介紹了“二分法”求方程的近似解在這個課題的的教學(xué)中，常常見到教師創(chuàng)設(shè)商品“猜價格”游戲，每次猜后老師都會給出“多了”還是“少了”的提示，說高了的往低猜，說低了的往高猜，不斷調(diào)整，逐步接近商品的真正價格，由此引入“二分法”然后，以求一個具體方程（如）的近

19、似解為例，經(jīng)歷求近似解的過程，總結(jié)出“二分法”的一般程序但是，學(xué)生學(xué)完這節(jié)課之后，感到“猜價格”與“二分法”之間，現(xiàn)實情景與數(shù)學(xué)內(nèi)容是兩張皮比如，除了“一半、一半又一半”類似之外，在“猜價格”情景里，學(xué)生見不到“連續(xù)函數(shù)”，見不到“區(qū)間端點的函數(shù)值異號”，見不到“函數(shù)零點”，見不到“方程”，見不到“方程的解”等等到底是：“猜價格”游戲不具有“二分法”的必要因素與必要形式（所以，現(xiàn)實情景與數(shù)學(xué)內(nèi)容必然是兩張皮），還是教學(xué)沒有組織學(xué)生去建立聯(lián)系，教師沒有發(fā)揮出主導(dǎo)作用？報刊上存在專家的不同聲音，你是什么意見？（討論發(fā)言）第2、數(shù)學(xué)化的提練“猜價格”游戲與“二分法”的聯(lián)系，不僅是“一半、一半又一半”

20、類似，下面是一個數(shù)學(xué)化的提練過程： （1）設(shè)商品的價格為元，它在元與元之間（），人猜的價格為元，得連續(xù)函數(shù)，定義域為；并且“人猜對”對應(yīng)著方程的根（2）取中點，若猜得高了，表明，則在區(qū)間上再取中點；若猜得低了，表明，則在區(qū)間上再取中點（3）余此類推，區(qū)間長度越來越小，也就是猜的價格越來越接近真實價格，所猜的價格就是方程根的近似值猜對時就是方程的準(zhǔn)確解（4）于是，我們可以用不斷取中點的方法來求方程的近似根“二分法”第3、對案例分析（校本教研）的啟示（1）如何由“猜價格游戲”（ 生活化情景）提煉出連續(xù)函數(shù)和它的應(yīng)用二分法？就是一道題下來，設(shè)商品的價格為元，它在元與元之間，人猜的價格為元，得連續(xù)函數(shù)

21、，定義域為；并且“人猜對”對應(yīng)著方程的根，就是解了一道數(shù)學(xué)題.學(xué)生在這個數(shù)學(xué)活動中，學(xué)到了二分法，看到連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用，感悟了“函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想”，“近似逼近的數(shù)學(xué)思想”，“數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想”，“特殊與一般的數(shù)學(xué)思想”，“程序化地處理問題的算法思想”等，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的提煉過程，就是在學(xué)習(xí)解題，就是在通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)去學(xué)會思維（不要誤解，上課的前半段講概念、證定理沒有解題，后半段才有解題）（2）我們通過這個案例和反思，來啟引大家認(rèn)識案例，關(guān)注案例分析，體會案例分析的過程，感悟“我要進行案例分析，我能進行案例分析”的理念，實際上是在進行“案例教學(xué)”（3）以上我們共同經(jīng)歷一個“案例”，共同進行了一次

22、“案例研究”可以從中獲得很多收獲，如，創(chuàng)設(shè)情境問題的一些理論認(rèn)識：認(rèn)識到現(xiàn)實情境可以成為學(xué)生認(rèn)識抽象數(shù)學(xué)模式的“認(rèn)知基礎(chǔ)” 強調(diào)從具體情景到抽象數(shù)學(xué)模式之間有一個“數(shù)學(xué)化”的提煉過程 提出一些注意事項如，創(chuàng)設(shè)的情境應(yīng)具有相應(yīng)數(shù)學(xué)對象的必要因素與必要形式；要注意情景的局限性等教學(xué)處處有創(chuàng)造的空間我們的認(rèn)識不要封閉，要廣開思路，面對教材、專家我們的認(rèn)識也不要封閉 故事5：“二分法”中數(shù)學(xué)思想的提煉人們認(rèn)為，在“二分法”課題中有豐富的數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，近似逼近的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，程序化地處理問題的算法思想等等請研討“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)（研討

23、）到底“二分法”課題中是怎樣“數(shù)形結(jié)合”的？常常只聽到“由數(shù)到形”的描述：把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點（太籠統(tǒng)，學(xué)生掌握不了）其實，這里既有“由數(shù)到形”、又有“由形到數(shù)”，是一個雙流向的“數(shù)形結(jié)合”第1、由數(shù)到形的操作化落實“由數(shù)到形”經(jīng)歷了4個操作步驟：方程的解方程組的解函數(shù)的零點函數(shù)圖象與軸的交點數(shù)式逐漸演變?yōu)樾蜗?，幾何味越來越重、越來越?（1）方程的解.首先是求一元方程的近似解這是一個純代數(shù)的問題，一維的、靜態(tài)的（2）方程組的解.令為，問題轉(zhuǎn)化為求二元方程組的解這還是一個純代數(shù)的問題，保持靜態(tài)特征，但已經(jīng)是二維的了，便于向坐標(biāo)系過度（3）函數(shù)的零點.把方程轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)，把方程轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

24、函數(shù)值為零這雖然還是一個純代數(shù)的問題，但已經(jīng)是二維、動態(tài)的了函數(shù)的零點雙兼幾何與代數(shù).（4）函數(shù)圖象與軸的交點.通過坐標(biāo)系把函數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象，把轉(zhuǎn)化為圖象與軸的交點（零點）這就把數(shù)變成了形，零點在軸上的2與3之間（如圖4）這一過程的基本線索是把方程的解（數(shù)）轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的零點（形）第2、由形到數(shù)的操作化落實“由形到數(shù)”經(jīng)歷了4個操作步驟：坐標(biāo)系數(shù)軸表格二分法形象逐漸演變?yōu)閿?shù)式，代數(shù)味越來越重、越來越濃 （1）坐標(biāo)系在二維坐標(biāo)系上可以看到函數(shù)的圖象與軸的交點（零點），這個交點（零點）在軸的2與3之間這是二維坐標(biāo)系的形象（如圖4） （2）數(shù)軸因為是找軸上的零點，所以考慮一維數(shù)軸上的區(qū)間就夠了，取區(qū)

25、間的中點，用區(qū)間套逐步逼近零點這是一維數(shù)軸上的形象，零點在區(qū)間上被逼近（參見圖4中的軸） 圖4（3）表格，把逼近的形象用數(shù)值反映出來，計算端點的函數(shù)值，填寫在表格上，區(qū)間兩端點的數(shù)值越來越接近零點這就把一維形象通過表格呈現(xiàn)為“數(shù)”（4）得出“二分法”的一般程序這是一維的純代數(shù)表達，也是從特殊到一般的歸納這一過程的基本線索是把找函數(shù)零點（形）的方法直觀地提煉為“二分法”程序（數(shù)）學(xué)生在這個雙流向“數(shù)形結(jié)合”的活動中，從特殊到一般提煉出了“二分法”，看到了“函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想”、體驗了“近似與逼近的數(shù)學(xué)思想”，積累了“程序化地處理問題的算法思想”沒有行動支撐的思想會是空洞而生硬的，沒有思想指導(dǎo)的

26、行動會是盲目而膚淺的數(shù)學(xué)教學(xué)既要用數(shù)學(xué)思想去指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計，又要用教學(xué)操作去落實數(shù)學(xué)思想故事6 直線與平面垂直的判定的探究活動第1、探究活動的呈現(xiàn)講授“直線與平面垂直的判定”時，有這樣一個探究活動（人民教育出版社A版數(shù)學(xué)（必修2）§2-3-1） 如圖5，請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形紙片，我們一起來做一個實驗：過的頂點翻折紙片，得到折痕，將翻折后的紙片豎起放置 在桌面上（與桌面接觸） （1）折痕與桌面垂直嗎？ 圖5（2）如何翻折才能使折痕與桌面所在的平面垂直？容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕是邊上的高時，所在的直線與桌面所在的平面垂直（圖6） 圖6 思考（1），有人說，折痕所在的直線與桌面所在的平面上一

27、條直線垂直，就可以判斷垂直平面你同意他的說法嗎？（一般不行，在的垂面上可以）思考（2），如圖6，由折痕，翻折后垂直關(guān)系不變，即，由此你能得到什么結(jié)論？一般地，我們有下面的判定定理定理 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直第2、探究活動的改進 我們說，這個活動有淪為“低效教學(xué)”的危險，照本宣科的教師會將學(xué)生的“容易發(fā)現(xiàn)”代替他（她）應(yīng)該發(fā)揮的主導(dǎo)作用有兩個值得思考的問題：（1）為什么要考慮兩條相交直線？（故事2中“為什么要計算與的比”）（2）沒有把活動結(jié)果與“線面垂直的定義”相對照為什么圖5的折痕與桌面不垂直？為什么圖6的折痕與桌面垂直？判別的標(biāo)準(zhǔn)只有一個：線面垂直的定

28、義就是看直線是否與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直 但是，既不作嚴(yán)格的證明，又要有直觀上的說服力，能做到嗎？追求高效課堂的教師給出了有出息的回答方案：垂直于一條直線不行，直線可以轉(zhuǎn)動；垂直于兩條平行直線也不行，直線也可以轉(zhuǎn)動但垂直于兩條相交直線就不同了，直線一轉(zhuǎn)動就不能保持與兩條相交直線都垂直對圖6，在桌面上放置一面鏡子，看折痕的影子是否與共線，若不共線（對應(yīng)圖5）則容易找到鏡子上的一條直線與折痕不垂直（比如折痕與倒影所成角的平分線）；若折痕與倒影共線（對應(yīng)圖6），這時可以讓圖6右邊的圖形繞旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中可以看到：（1）折痕所在的直線不動；（不變性）（2）保持不變；（不變性）（3）可以取遍平面上所

29、有方向的直線；根據(jù)線面垂直的定義，折痕與鏡子上的任意一條直線都垂直旋轉(zhuǎn)過程可以先一圈，明白了，減為半圈，最后不旋轉(zhuǎn)也明白由此可得判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（既不作嚴(yán)格的證明，又要有直觀上的說服力）這體現(xiàn)了結(jié)合教學(xué)進行研究行動研究（成為數(shù)學(xué)教育家的前景）2-2 在“教育數(shù)學(xué)”中“崗位成家”（建議3）“教育數(shù)學(xué)”是張景中院士首先提出的一個新概念（數(shù)學(xué)教師，1989年第2期，署名井中），它的任務(wù)是：為了數(shù)學(xué)教育的需要，對數(shù)學(xué)成果進行再創(chuàng)造；承擔(dān)這一任務(wù)的是教育（數(shù)學(xué)家歐幾里得的幾何原本、希爾伯特的幾何基礎(chǔ)、柯西的分析教程、布爾巴基的數(shù)學(xué)原理等都是教育數(shù)學(xué)

30、在中國數(shù)學(xué)的歷史上，優(yōu)質(zhì)小叢書的創(chuàng)作、“初等數(shù)學(xué)”的研究、競賽數(shù)學(xué)與高考數(shù)學(xué)的構(gòu)建等，都是“教育數(shù)學(xué)”的組成部分如果說，面對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難有人用“學(xué)少一些、學(xué)淺一些”來解決的話，那么，“教育數(shù)學(xué)”則著眼于提供“新的結(jié)構(gòu)、新的方法、新的體系”,使學(xué)習(xí)更容易而又更豐富（我國的課程標(biāo)準(zhǔn)好像是:由數(shù)學(xué)教育家發(fā)布，然后由教育數(shù)學(xué)家修訂）進行“教育數(shù)學(xué)”的研究可以繼續(xù)搜尋初等數(shù)學(xué)的新結(jié)論，為初等數(shù)學(xué)的理論寶庫增添新的資源；也可以闡發(fā)現(xiàn)代數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供深刻的背景；還可以既作為解題理論提煉的基本素材、又作為解題理論檢測的實驗園地這些工作能使解題研究不再是一株只開花不結(jié)果的綠樹當(dāng)

31、前，抓住下面3個基本方向進行“教育數(shù)學(xué)”研究是有益的，既便于開展工作，又能夠出成果（有成為教育數(shù)學(xué)家的前景） （1）從高等數(shù)學(xué)出發(fā)，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的知識和能力，去高觀點處理初等問題，取得初等問題的高統(tǒng)一，新推廣、深發(fā)展.容易理解：初等數(shù)學(xué)中的好些已知部分，由于采用的觀點高了，方法先進了，是會得到升華的；其中的一些內(nèi)容，也唯有采用高觀點，新方法，才能完成理論上的體系，才能達到結(jié)構(gòu)上的完整，才能獲得方法論上的統(tǒng)一數(shù)系、函數(shù)等概念和理論，僅限于中學(xué)范圍，只能作比較粗糙的、有點松散的處理；而不等式證明、極值求解、解析幾何的運動以及更廣泛的解題方法，除非從高等數(shù)學(xué)的思想方法中吸取營養(yǎng)，否則將永遠是解題者的

32、個人機智和因題而異的一招一式，因此，用高等數(shù)學(xué)的知識去統(tǒng)一初等數(shù)學(xué)的概念和理論；用高等數(shù)學(xué)的思想方法去總結(jié)初等數(shù)學(xué)的解題規(guī)律；用高等數(shù)學(xué)的能力去推廣初等數(shù)學(xué)的已知結(jié)論和增補初等數(shù)學(xué)的未知空擋等等，都是既有理論水平又有實際價值的課題初等數(shù)學(xué)中的一些空擋，也會由于現(xiàn)代思想的高能量幅射和現(xiàn)代化技術(shù)的高效率開發(fā)而顯現(xiàn)出來如所周知，波利亞以初等數(shù)學(xué)為題材，進行解題方法和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的研究，獲得了世界公認(rèn)的成果吳文俊教授研究計算機證明平面幾何題，不斷涌出新的定理 （2）從初等數(shù)學(xué)出發(fā)，應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的思想、觀點和方法，去尋找高等問題的初等處理或?qū)嶋H應(yīng)用.應(yīng)該認(rèn)識到，高等數(shù)學(xué)的許多基礎(chǔ)部分都植根于初等數(shù)學(xué)，至今，

33、初等數(shù)學(xué)的各種方法、原理、公式，模型還不斷被高等數(shù)學(xué)所吸收、改造、運用和發(fā)展另一方面，高等數(shù)學(xué)的許多專題，又是完全可以初等化、通俗化的比如，循環(huán)數(shù)列、函數(shù)方程、母函數(shù)、圖論、組合數(shù)學(xué)等不是已經(jīng)源源涌進中學(xué)校園、特別是第二課堂了嗎? （3）對初等數(shù)學(xué)進行橫斷面的綜合研究.截取初等數(shù)學(xué)中的某些橫斷面，并盡可能與其他相關(guān)學(xué)科作交叉，將有可能產(chǎn)生新課題、新領(lǐng)域或新學(xué)科筆者在這方面主要做了三件互有聯(lián)系的工作：進行“數(shù)學(xué)解題學(xué)”的建設(shè)這是截取“解題”這一橫斷面，進行解題過程的理論分析，主要是從解題活動本身提煉理論價值，探索“怎樣解題”、“怎樣學(xué)會解題”的規(guī)律，努力總結(jié)人們發(fā)現(xiàn)解法、找到思路、學(xué)會解題的思維

34、模式由于理論構(gòu)架的不同，可以有百花齊放的解題觀點，如解題推理論，解題化歸論，解題化簡論，解題信息論，解題系統(tǒng)論，解題差異論，解題坐標(biāo)系等等最重要的是，我們要了解已有的觀點，并形成之際的觀點附：數(shù)學(xué)解題新概念的13個要點：（1）對數(shù)學(xué)題、數(shù)學(xué)解題、數(shù)學(xué)解題教學(xué)作出了初步的界定（特別提示:如何構(gòu)建概念、怎樣發(fā)現(xiàn)和論證定理也是題?。?）認(rèn)為：回答“怎樣解題”“怎樣學(xué)會解題”的學(xué)說叫做“數(shù)學(xué)解題學(xué)”（“數(shù)學(xué)解題學(xué)”研究的對象是“解題活動”（是從“解題活動”本身提煉理論價值），提出了“數(shù)學(xué)解題學(xué)”建設(shè)工作中的基本矛盾和主要標(biāo)志，給出了支撐解題理論的一批名詞：解題思想、解題觀點、解題目的、解題過程、解題

35、程序、解題方法、解題原則、解題策略、解題分析、解題力量等）（3）認(rèn)為成功解題有四個基本要素：知識結(jié)構(gòu)、思維能力、經(jīng)驗題感、情感態(tài)度，從而不成功或失敗的解題也與這些因素缺失有關(guān)，總結(jié)為四類錯誤：知識性錯誤、邏輯性錯誤、策略性錯誤、心理性錯誤（4）總結(jié)了解題推理論、解題化歸論、解題化簡論、解題信息論、解題系統(tǒng)論、解題差異論、解題坐標(biāo)系等解題觀點認(rèn)為，出現(xiàn)百花齊放的解題觀點是一個學(xué)說走向成熟的必經(jīng)階段，贊成先了解各種解題觀點并最終形成自己的解題觀點 （5）認(rèn)為數(shù)學(xué)家解題是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，教學(xué)解題是師生再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的過程教學(xué)是一種學(xué)術(shù)活動，解題教學(xué)中的數(shù)學(xué)題可以是一個微型的學(xué)術(shù)課題，解答數(shù)學(xué)題應(yīng)該

36、是探索與發(fā)現(xiàn)的研究活動，解題不僅僅是熟練和鞏固，它也是獲取數(shù)學(xué)新知識和數(shù)學(xué)新技能的學(xué)習(xí)過程 （6）認(rèn)為數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的核心內(nèi)容，數(shù)學(xué)解題的思維實質(zhì)是發(fā)生數(shù)學(xué)，是通過數(shù)學(xué)去學(xué)數(shù)學(xué)（7）認(rèn)為數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可替代的實質(zhì)活動，解題活動的核心價值是掌握數(shù)學(xué)，是通過數(shù)學(xué)活動去學(xué)會數(shù)學(xué)（8）認(rèn)為數(shù)學(xué)解題是評價學(xué)習(xí)時不可削弱的基本構(gòu)成，解題測試的基本理念是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)，是通過數(shù)學(xué)內(nèi)容去測試數(shù)學(xué)水平（9）提出了數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)的四種形態(tài)和數(shù)學(xué)教學(xué)的三個世界數(shù)學(xué)的四種形態(tài)是：數(shù)學(xué)的生成形態(tài)、數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)、數(shù)學(xué)的教育形態(tài)、數(shù)學(xué)的再生成形態(tài)；數(shù)學(xué)教學(xué)的三個世界是：生活世界、數(shù)學(xué)世界、教學(xué)世界，解放教

37、學(xué)世界、從而解放學(xué)生世界的一個途徑是：教學(xué)世界與生活世界的融通（10）認(rèn)為解題教學(xué)是解題活動的教學(xué)解題活動是一種思維活動，解題教學(xué)不僅要教解題活動的結(jié)果（答案），而且要呈現(xiàn)解題活動的必要過程暴露數(shù)學(xué)解題的思維活動沒有過程的結(jié)果是現(xiàn)成事實的外在灌輸，沒有結(jié)果的過程是學(xué)習(xí)時間的奢侈消費，解題教學(xué)不僅要獲得答案，而且要從獲得答案的過程中學(xué)會怎樣解題，學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，把過程與結(jié)果結(jié)合起來（僅僅滿足于獲得答案意味著理解的死亡）（11）認(rèn)為暴露數(shù)學(xué)解題的思維活動有兩個關(guān)鍵的過程第一過程是“從沒有思路到獲得初步思路”的認(rèn)知過程，第二過程是對初步思路反思的元認(rèn)知過程，解題教學(xué)不僅要有第一過程的暴露（已引起重視

38、），而且還要有第二過程的暴露（想知道很多又有很多不知道）（12）認(rèn)為科學(xué)的解題習(xí)慣有四個步驟：理解題意、思路探求、書寫表達、回顧反思每個人的完整解題都會進行“看題、想題、寫題、回題”四個基本操作，并可提煉為科學(xué)解題的四個步驟，問題是能不能將這個感性的認(rèn)識上升到理性的高度（比如：大家都知道解題的首要前提是理解題意（審題），但審題“審什么、怎么審”能夠說清楚、講明白、做到位嗎？大家都知道解題的思維核心是思路探求，但探求“探什么、怎么探”能夠說清楚、講明白、做到位嗎？大家都知道解題的最終呈現(xiàn)是書寫表達，但書寫“寫什么、怎么寫”能夠說清楚、講明白、做到位嗎？大家都知道學(xué)會解題的好途徑是回顧反思，但反思

39、“思什么、怎么思”能夠說清楚、講明白、做到位嗎？）（13）認(rèn)為學(xué)會解題要經(jīng)歷四個階段：記憶模仿、變式練習(xí)、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺分析,而自覺分析通常要經(jīng)歷整體分解與信息交合兩個階段進行“數(shù)學(xué)競賽學(xué)”的建設(shè)這是截取“競賽”橫斷面進行綜合研究可以毫不夸張地說，中國初等數(shù)學(xué)研究的現(xiàn)代繁榮，得益于數(shù)學(xué)競賽的先鋒突破與后盾依托作用如今，作為數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)競賽已經(jīng)形成一個教育數(shù)學(xué)的新層面，作為教育的數(shù)學(xué)競賽也誕生了一個數(shù)學(xué)教育的新分支，“數(shù)學(xué)競賽學(xué)”正呼之欲出 （對于數(shù)學(xué)競賽，我們有這樣的比喻：在一片荒蕪空白的土地上，老一輩數(shù)學(xué)工作者開疆拓土、引水澆肥，終于種起了莊稼，獲得了豐收，同時也長起了雜草，甚至毒草于是有人叫

40、喊，長雜草、長毒草是由于數(shù)學(xué)工作者種莊稼造成的；也有好心人來清理土地，結(jié)果首先砍掉的不是雜草、毒草，而是莊稼比如，大量的小學(xué)“奧數(shù)”或“奧?！?，明明是為“擇校”服務(wù)的“應(yīng)試教育”，明明是為了賺錢的加重負(fù)擔(dān)，明明是與中國數(shù)學(xué)會、與“數(shù)學(xué)競賽”毫無關(guān)系的“冒牌奧數(shù)”（雜草、毒草），但卻生長至今裘宗滬研究員的近作數(shù)學(xué)奧林匹克我愿意做的事，能幫助我們理解這個比喻下面是兩個例子：（1）在敘述完“奧?！蓖＾k、初中聯(lián)賽被取消之后，書中說：“因此，對競賽的這種所謂限制也跟停辦奧校的政策一樣，把正常的莊稼砍掉，卻不去根除野草，不正規(guī)的競賽反而更容易生存，想來真是不無滑稽”（2）關(guān)于高校招生的介入、“高考保送、加

41、分”，書中說：“其實數(shù)學(xué)會從來就沒有贊成過推薦保送的事情”1986年，有關(guān)部門曾表示“給我們100個保送上大學(xué)的名額”，裘先生說：“我當(dāng)時就表示我沒有能力出一份考卷保證100個學(xué)生都是合格保送的，因此拒絕了這件事情”）進行“數(shù)學(xué)高考學(xué)”的建設(shè)這是截取“高考”橫斷面，并進行數(shù)學(xué)與考試學(xué)相結(jié)合的分析不管人們怎么看，高考和對高考的研究已經(jīng)構(gòu)成了一個具有中國特色的文化現(xiàn)象，它是考試文化的一部分，也是數(shù)學(xué)文化的一部分涉及高考的性質(zhì)、高考的復(fù)習(xí)、高考的解題、高考的命題和高考臨場的技術(shù)等很多方面，有的屬于教育，有的屬于數(shù)學(xué)其中的高考解題正與競賽解題形成“雙龍出海”之勢，堪稱中國初等數(shù)學(xué)研究大地上的長江與黃河

42、 此外，如何命題、如何考試、如何進行錯例分析等都可以展開研究，并形成專門學(xué)問故事7 （2011年高考數(shù)學(xué)山東卷理科第15題）設(shè)函數(shù)，觀察：根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)且時， （歸納（類比）猜想題）答案：思路1 設(shè)，由已知有（歸納）思路2 （歸納）說明：由數(shù)列的前四項為2，4，8，16，能否得出？不能！如又如圖15，圓周上有2個點時，其連線將圓分為兩部分，記為；圓周上有3個點時，其兩兩連線將圓分為4部分，記作；圓周上有4個點時，其兩兩連線將圓分為8部分，記作；圓周上有5個點時，其兩兩連線將圓分為16部分，記作由此，作歸納，圓周上個點兩兩連線將圓分為部分但，而不是 圖7思路3 用矩陣計算（邏輯

43、）故事22：某幾何題的三視圖如圖8所示，求則該幾何題的體積（或表面積）講解 由圖8可知，三視圖均為四分之一的全等扇形，半徑，從而，幾何體為單位球在第一卦限部分，體積為 圖8 表面積為 但是，這個題目的編擬有兩個“潛在假設(shè)”： （1）“潛在假設(shè)”每一視圖均為四分之一的全等扇形.其實，對球面，過點分別作三個平行于坐標(biāo) 平面的截面，取所截得的第一個卦限部分（記為幾何體），則由 知幾何體的三視圖形如圖8，但體積不是單位球在第一卦限部分（2）其二，“潛在假設(shè)”三視圖（如圖8所示）均為四分之一全等扇形的幾何體必為單位球在第一卦限部分其實，曲面 所圍成的幾何體不是單位球，但它“同時成立”，分別取，都得出單位

44、圓，并且對任意的，都有；從而，三視圖均為四分之一全等扇形的幾何體未必為球的一部分故事9：線性規(guī)劃問題的新思路.題目 （2014 年高考數(shù)學(xué)廣東卷（理科）第3題）若變量滿足約束條件 且的最大值和最小值分別為和，則（A）8 （B）7 （C）6 （D）5講解 本題源于課本的練習(xí)（教材第91頁）：求的最大值，使?jié)M足約束條件 新的高考題在保留練習(xí)原型的同時，增加了兩步運算：求最小值，求最大值與最小值的差這可以在“回歸教材”的導(dǎo)向中，防止“死記硬背”，思維強度與教材要求大體持平，解法是現(xiàn)成的解法1 根據(jù)約束條件作出“可行域”如圖9中的陰影，然后平移直線，并觀察在軸上 的截距：當(dāng)通過點時取到最小值，；當(dāng)通過

45、點時取到最大值，所以選（C） 圖9 這個截距解法的基本步驟是：步驟1 （由數(shù)到形的溝通）將“線性約束條件”（代數(shù)不等式組）轉(zhuǎn)化為“可行域”（圖形）；還用到了聯(lián)立方程求邊界角頂點的坐標(biāo)步驟2 （由數(shù)到形的溝通）將“目標(biāo)函數(shù)”（代數(shù)等式）轉(zhuǎn)化為通過可行域的“直線”步驟3 （數(shù)形結(jié)合的尋找）在“可行域”內(nèi)平移“直線”（目標(biāo)函數(shù)），通過直線的“截距”找出“最優(yōu)解”（通常在邊界角頂點達到）可見，這主要是“數(shù)形結(jié)合”中一個“由數(shù)到形”的過程，也是一個“由條件到結(jié)論”的綜合法過程，許多教師的解題教學(xué)大多滿足于這樣一種常規(guī)現(xiàn)狀然而，對這兩個基本過程作反思可以導(dǎo)致更多思路的解放（1）反思由數(shù)式到圖形的單向性如所

46、周知，數(shù)形結(jié)合是“由數(shù)到形”與“由形到數(shù)”的雙流向溝通，當(dāng)線性規(guī)劃的截距解法把數(shù)式轉(zhuǎn)化為圖形的同時，圖形也必定會同步反饋出相應(yīng)的代數(shù)信息，因而，線性規(guī)劃問題的圖形解法，通常都會有相對應(yīng)的代數(shù)解法表現(xiàn)為不等式的放大縮小事實上，“當(dāng)直線通過點時取到最小值”就等于告訴我們，取到最小值在不等式的公共端點處取到，把表示為不等式中相應(yīng)代數(shù)式，的線性組合，則的最小值就可以通過不等式的縮小而求得 同樣，“當(dāng)直線通過點時取到最大值”就等于告訴我們，取到最大值在不等式的公共端點處取到，把表示為不等式中相應(yīng)代數(shù)式，的線性組合，則的最大值就可以通過不等式的放大而求得把幾何信息還原回代數(shù)信息，有代數(shù)解法：解法2 將表示

47、為“約束條件” 中及的相應(yīng)代數(shù)式的線性組合（待定系數(shù)法），有，當(dāng)時取到最小值，；將表示為“約束條件”中及的相應(yīng)代數(shù)式的線性組合（待定系數(shù)法），有，當(dāng)時取到最大值，；所以選（C）這個不等式解法的基本步驟是：步驟1 將“目標(biāo)函數(shù)”表示為“約束條件”中的相應(yīng)代數(shù)式的線性組合（通常用待定系數(shù)法）步驟2 將相應(yīng)不等式放縮為常數(shù)；步驟3 驗證常數(shù)可以取到，找出“最優(yōu)解”可見，這個解法無非是在定義域內(nèi)（代數(shù)不等式組）求二元函數(shù)的值域（當(dāng)然，中學(xué)教材不出現(xiàn)二元函數(shù)），這只不過是代數(shù)題的本義我們認(rèn)為，對“數(shù)形結(jié)合”只說“由數(shù)到形”會給學(xué)生造成單流向的誤解，選擇時機補上對應(yīng)的“代數(shù)解法”有助于學(xué)生獲得“數(shù)形結(jié)合”

48、的完整認(rèn)識、形成優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)值得注意的是，學(xué)生常常會由約束條件像解方程一樣“解出”的范圍（結(jié)果不惟一，如，），然后計算的范圍（誤得）這時，由于不等式的“加減消元”只是一個必要條件過程，不能保證同時取到端點值（不能取到），所以，得到的常常只是“估值范圍”而非“取值范圍”（是“必要條件”而非“充要條件”）同時呈現(xiàn)解法1、解法2，可以幫助學(xué)生認(rèn)清出錯的原因、又找到糾錯的辦法（2）反思由條件到結(jié)論的單一性如所周知，解題方法既有綜合法（由因索果）又有分析法（執(zhí)果索因），只要有可能，我們都應(yīng)該提供綜合與分析的雙向溝通在線性規(guī)劃問題上，如果我們著眼于“執(zhí)果索因”，那么目標(biāo)函數(shù)就會向我們呈現(xiàn)兩個前景：其一是

49、“數(shù)形結(jié)合”的，即把轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，然后在“可行域”上找數(shù)量積的最值（參見解法3）；其二是純代數(shù)的，即把改寫為參數(shù)式（其中滿足），代入的約束條件得關(guān)于的不等式（組），由此可以確定的范圍，進而求出的最值（參見解法4）解法3 作向量，記向量的夾角為（），則向量在向量上的投影為由于，所以，求的最值只需計算動向量在定向量上投影的最值根據(jù)約束條件作出可行域如圖10中的陰影，在可行域上旋轉(zhuǎn)動向量，可見：當(dāng)位于處時投影取到最小值， 圖10 ；當(dāng)位于處時投影取到最大值， 所以選（C） 這個向量解法的基本步驟是：步驟1 （由數(shù)到形的溝通）將“線性約束條件”（代數(shù)不等式組）轉(zhuǎn)化為“可行域”（圖形）；還用到了聯(lián)

50、立方程求邊界角頂點的坐標(biāo)步驟2 （由數(shù)到形的溝通）將“目標(biāo)函數(shù)”（代數(shù)等式）改寫成“兩向量的數(shù)量積”，再轉(zhuǎn)化為一向量在另一向量上的投影步驟3 （數(shù)形結(jié)合的尋找）在“可行域”內(nèi)找動向量在定向量上投影的最值（有正負(fù)），乘以的模得出的最值可見，這個解法與解法1中“數(shù)形結(jié)合”的基本過程是一樣的，不同在于第2步把直線變?yōu)閿?shù)量積，相當(dāng)于作出了直線的垂直向量，相應(yīng)的，第3步把直線的平移變?yōu)閯酉蛄康拇怪蓖队鞍褕D9與圖10合并得圖11，可見，直線平移到，與位于是同一個位置 圖11解法4 把化為代入約束條件（消去），有 得 由、有， 可解得，計及得 把代入（或、）分別有，當(dāng)時，；，當(dāng)時，所以選（C）這個參數(shù)解法的

51、基本步驟是：步驟1 將“目標(biāo)函數(shù)”改寫為參數(shù)式（不惟一），當(dāng)時，可取當(dāng)時，可取步驟2 代入“約束條件”（消去）得關(guān)于的不等式步驟3 確定的范圍，進而求出的最值 可見，這個解法與解法2一樣，都是用代數(shù)方法求二元函數(shù)的值域，不同在于解法2用定義域的數(shù)式來整體表示函數(shù)，直接對二元變量進行放縮，而解法4卻把函數(shù)式代入定義域的數(shù)式中去，消元后對一元變量進行放縮（仿佛回到初中求一元一次不等式的范圍），與此相適應(yīng)，解法2用了待定系數(shù)法，解法4用了參數(shù)方程與消元法以上，呈現(xiàn)了線性規(guī)劃問題的四個思路，它們各有自己的優(yōu)勢與局限，其中截距解法是最基本的，不等式解法是一點就通的，它與向量解法都可以看成截距解法的“變式

52、練習(xí)”，而參數(shù)解法則更適于放進選修層次大家在解題教學(xué)中可以根據(jù)自己的教學(xué)風(fēng)格，既提供知識的橫向溝通，又根據(jù)學(xué)生的具體實際而靈活滲透3 教師的教學(xué)發(fā)展3-1 教學(xué)應(yīng)是一種學(xué)術(shù)活動（1）學(xué)術(shù)是一種有系統(tǒng)、較專門的學(xué)問，學(xué)術(shù)研究是一種探索未知的創(chuàng)新活動，數(shù)學(xué)教學(xué)就是一種有系統(tǒng)、較專門的學(xué)問，怎樣教數(shù)學(xué)、怎樣教得學(xué)生都能學(xué)會數(shù)學(xué)，是充滿挑戰(zhàn)性的課題，是一個無限廣闊的創(chuàng)新探索空間我們說“應(yīng)是”一種學(xué)術(shù)活動，包含著當(dāng)前的大量事實“還不是”一種學(xué)術(shù)活動（存在低層次的簡單重復(fù)），包含著“提升為學(xué)術(shù)活動”的渴望與鼓動（2）教師專業(yè)化應(yīng)成長研究型教師，意味著教師職業(yè)的本質(zhì)是創(chuàng)造（3）教師的課前準(zhǔn)備是把數(shù)學(xué)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖逃螒B(tài)”的創(chuàng)造過程，是把“形式化”數(shù)學(xué)先“情景化”、然后“去情景化”提煉為“抽象性”數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)化）的一種學(xué)術(shù)活動（4）課堂教學(xué)是學(xué)術(shù)研究的實踐活動，既像科學(xué)家進入實驗園地，又像藝術(shù)家登上表演舞臺，教學(xué)是一種創(chuàng)造的藝術(shù)，一種遺憾的藝術(shù) （5）學(xué)生的學(xué)習(xí)是在教師的參與下共同進行的數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)，是一種學(xué)術(shù)活動（6）改作業(yè)也是一種教學(xué)效果分析、歸因分析、認(rèn)知負(fù)荷分析的一種學(xué)術(shù)活動“照亮別人，毀滅自己”是沒有道理的，至少是過時的3-2 教師教學(xué)發(fā)展的境界根據(jù)教師對教學(xué)的認(rèn)識和把握，可將教師的教學(xué)從低到高分為三種境界，每一境界又可以分出兩個層次，形成從低