數(shù)據(jù)同化基礎(chǔ)知識(shí)和理論

1、數(shù)據(jù)同化基礎(chǔ)知識(shí)和理論一、基礎(chǔ)理論知識(shí)1高斯概率分布函數(shù)Px=12e-12(x-x)22其中，x=-+xp(x)dx，2=-+(x-x)2p(x)dx2兩個(gè)相互獨(dú)立的聯(lián)合高斯概率分布函數(shù)P(AB)=P(A)P(B)Px1=121e-12(x1-x1)212Px2=122e-12(x2-x2)222Px1,x2=1212e-12(x1-x1)212+(x2-x2)2223N個(gè)相互獨(dú)立的聯(lián)合高斯概率分布函數(shù)P(A1A2A3An)=P(A1)P(A2)P(A3)P(An)Px1,x2,x3,xn=1(2)n2123ne-12(x1-x1)212+(x2-x2)222+(x3-x3)232+(xn-x

2、n)2n24點(diǎn)的最優(yōu)估計(jì)假設(shè)每組觀測(cè)都是無(wú)偏的，則有Px1,x2,x3,xn=1(2)n2123ne-12(x1-x)212+(x2-x)222+(x3-x)232+(xn-x)2n2對(duì)X的最優(yōu)估計(jì)就是使P達(dá)到最大值，即I=(x1-x)212+(x2-x)222+(x3-x)232+(xn-x)2n2達(dá)到最小值,I對(duì)x求導(dǎo)，可得dIdx-2(x1-x)12-2(x2-x)22-2(x3-x)32-2(xn-x)n2求I的最小值，則dIdx-2(x1-x)12-2(x2-x)22-2(x3-x)32-2(xn-x)n20求得x=x112+x222+x332+xnn2112+122+132+1n2

3、一個(gè)點(diǎn)的最優(yōu)估計(jì)與觀測(cè)值的方差有關(guān)。5條件概率和貝葉斯理論（Bayes Theorem）PAB=P(AB)P(B) PABPABP(B)PBA=P(AB)P(A) PABPBAP(A) PAB=PBAPA/PB假設(shè)：A：t時(shí)刻的模式值xtB：0到t時(shí)的所有觀測(cè)值Yt則PAB：給定到t時(shí)刻的所有觀測(cè)值后，t時(shí)刻模式值的概率分布PxtYtPBA：給定t時(shí)刻的模式值后，0到t時(shí)刻所有觀測(cè)值的概率分布。相當(dāng)于給定0到t-1時(shí)刻的所有觀測(cè)值后得到模式值的情況下，t時(shí)刻觀測(cè)值的概率分布PytxtP(A)：給定0到t-1時(shí)刻的所有觀測(cè)值后，t時(shí)刻模式值的概率分布PxtYt-1P(B)：給定0到t-1時(shí)刻的所

4、有觀測(cè)值后，t時(shí)刻觀測(cè)值的概率分布PytYt-1 PxtYt=Pytxt PxtYt-1/ PytYt-1二、最優(yōu)插值（Optimal Interpolation）假定有三個(gè)變量x1、x2、x3，兩個(gè)觀測(cè)值y1、y2。變量的分析值為x1a=x1b+W11y1o-y1b+W21y2o-y2bx2a=x2b+W12y1o-y1b+W22y2o-y2bx3a=x3b+W13y1o-y1b+W23y2o-y2b求x1的最優(yōu)估計(jì)，即方差(x1a-x1t)最小x1a-x1t=(x1b-x1t)+W11y1o-y1b+W21y2o-y2b(x1a-x1t)2=(x1b-x1t)+W11y1o-y1b+W21

5、y2o-y2b2=(x1b-x1t)2+W112y1o-y1b2+W212y2o-y2b2+2W11(x1b-x1t) y1o-y1b+2W21(x1b-x1t)y2o-y2b+2W11W21y1o-y1by2o-y2b因?yàn)閥1o-y1b(y1o-y1t)-(y1b-y1t)y2o-y2b(y2o-y2t)-(y2b-y2t)代入上式，可得(x1a-x1t)2=(x1b-x1t)2+W112y1o-y1b2+W212y2o-y2b2+2W11(x1b-x1t) y1o-y1t-2W11(x1b-x1t) y1b-y1t+2W21(x1b-x1t)y2o-y2t-2W21(x1b-x1t)y2b

6、-y2t+2W11W21y1o-y1by2o-y2b(x1a-x1t)2=(x1b-x1t)2+W112y1o-y1b2+W212y2o-y2b2+2W11(x1b-x1t) y1o-y1t-2W11(x1b-x1t) y1b-y1t+2W21(x1b-x1t)y2o-y2t-2W21(x1b-x1t)y2b-y2t+2W11W21y1o-y1by2o-y2b (1)模式值與觀測(cè)值是獨(dú)立的，所以有(x1b-x1t) y1o-y1t=0(x1b-x1t) y2o-y2t=0y1o-y1b2=1o2+1b2y2o-y2b2=2o2+2b2y1o-y1by2o-y2b=(y1o-y1t)-(y1b-

7、y1t)(y2o-y2t)-(y2b-y2t)=(y1o-y1t)(y2o-y2t)+(y1b-y1t)(y2b-y2t)=covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b把以上五個(gè)式子代入（1）式，可得(x1a-x1t)21b2-2W11 covx1 b,y1 b-2W21 covx1 b,y2 b+2W11W21covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b+W1121o2+1b2+W2122o2+2b2上式對(duì)W11、W21求導(dǎo)：(x1a-x1t)2W11-2 covx1 b,y1 b+2W21covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b+2W111o2+1b2(x1a-x1t

8、)2W21-2 covx1 b,y2 b+2W11covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b+2W212o2+2b2方差(x1a-x1t)2達(dá)到最小，則(x1a-x1t)2W110 且 (x1a-x1t)2W210即W21covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b+W111o2+1b2covx1 b,y1 bW11covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b+W212o2+2b2 covx1 b,y2 b寫成矩陣形式為1o2+1b2covy1 o,y2 o+covy1 b,y2 bcovy1 o,y2 o+covy1 b,y2 b2o2+2b2W11W21covx1 b,

9、y1 bcovx1 b,y2 b定義B1b2covy1 b,y2 bcovy1 b,y2 b2b2，O=1o2covy1 o,y2 ocovy1 o,y2 o2o2b=covx1 b,y1 bcovx1 b,y2 bB+OW=b全矩陣形式：定義x：代表模式變量的N維列向量yo：代表觀測(cè)值的K維列向量xb：同化觀測(cè)值前的模式狀態(tài)向量，稱為背景狀態(tài)xa：同化觀測(cè)值后的模式狀態(tài)向量，稱為分析狀態(tài)W：N×K維的權(quán)重系數(shù)矩陣H：把模式格點(diǎn)值投影到觀測(cè)點(diǎn)的映射矩陣，又稱為觀測(cè)算子，維數(shù)為N×K一個(gè)狀態(tài)向量的分析值可表示為：xaxb+W(yo-Hxb)三、卡曼濾波（Kalman Filt

10、er）假設(shè)分析方程存在xaxf+K(yo-Hxf)上標(biāo)f表示預(yù)報(bào)（forecast）。對(duì)于一個(gè)高斯分布的狀態(tài)量，概率分布函數(shù)（PDF）表示為pxa=1(2)ne-12(xa-xa)T(xa-xa)C使pxa達(dá)到最大值，相當(dāng)于令方差最小，所以KWTbB+O=b(B+O)-1B=yf-yt(yf-yt)T=Hxf-Hxt(Hxf-Hxt)T=Hxf-xt(xf-xt)THT=HCfHTb=xf-xt(yf-yt)T=CfHT所以，可以得到K（Kalman gain）的表示式KCfHT(HCfHT+O)-1如果Cf是給定的，則卡曼濾波相當(dāng)于最優(yōu)插值，因此，最優(yōu)插值也稱為靜態(tài)卡曼濾波（stationa

11、ry Kalman Filter）。四、三維變分（Three dimensional variational algorithm）假設(shè)模式背景場(chǎng)與觀測(cè)值都符合高斯分布，則有PxtYt-1=1(2)nC12e-12(x-xb)TC-1(x-xb)Pytxt=1(2)nR12e-12(yo-Hxa)TR-1(yo-Hxa)PxtYt=Ke-12x-xbTC-1x-xb+yo-HxaTR-1(yo-Hxa)MaxPxtYt=MinJx其中Jx-xbTC-1x-xb+yo-HxaTR-1(yo-Hxa)C為背景誤差協(xié)方差，R為觀測(cè)誤差協(xié)方差。C可以從模式的歷史數(shù)據(jù)時(shí)間序列得到。如果C是預(yù)先給定的，則三維變分只是最優(yōu)插值的另外一種表達(dá)形