數(shù)值課后題答案

1、習(xí) 題 一1、解：根據(jù)絕對誤差限不超過末位數(shù)的半個單位，相對誤差限為絕對誤差限除以有效數(shù)字本身，有效數(shù)字的位數(shù)根據(jù)有效數(shù)字的定義來求.因此 49×10-2 ： = 0.005； = 0.0102； 2位有效數(shù)字. 0.0490 ： = 0.00005； = 0.00102； 3位有效數(shù)字. 490.00 ： = 0.005； = 0.0000102；5位有效數(shù)字.2、解： = 3.1428 ， = 3.1415 ，取它們的相同部分3.14，故有3位有效數(shù)字. = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ； = = = 0.00041.3、解：的近似值的首位非0數(shù)字 = 1,

2、因此有 | < = × 10-4 , 解之得n > = 5，所以 n = 5 .4、證：5、解：(1)因為4.4721 ，又| = | = 0.0021 < 0.01, 所以 4.47. (2)的近似值的首位非0數(shù)字 = 4,因此有 | < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以， 4.47.6、解：設(shè)正方形的邊長為,則其面積為，由題設(shè)知的近似值為= 10 cm .記為的近似值，則 < = 0.1， 所以 < = 0.005 cm .7、解：因為, 所以.9、證： 由上述兩式易知，結(jié)論.10、解：代入求解,經(jīng)過計算可知第(3)個計算結(jié)

3、果最好.11、解：基本原則為：因式分解，分母分子有理化、三角函數(shù)恒等變形 （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函數(shù)恒等變形.12、解： 因為,所以| < = 于是有 | = | = 10| < =| = | = 10| < = 類推有 | < = 即計算到，其誤差限為，亦即若在處有誤差限為，則的誤差將擴大倍，可見這個計算過程是不穩(wěn)定的.習(xí) 題 二1、 解：只用一種方法. （1）方程組的增廣矩陣為： , , .（2）方程組的增廣矩陣為： , , .（3）適用于計算機編程計算.2、 解：第一步：計算U的第一行，L的第一列，得第二步：計算U的第二行，L的第二列，得 第三步

4、：計算U的第三行，L的第三列，得 第四步：計算U的第四行，得 從而， = 由 , 解得 =（6，-3，23/5，955/370）T. 由 , 解得=（1，-1，1，1）T.3、（1）解：首先檢驗系數(shù)矩陣的對稱正定性，這可以通過計算其各階順序主子式是否大于零來判斷. 3 > 0, = 2 > 0, = 4 > 0,所以系數(shù)矩陣是對稱正定的.記系數(shù)矩陣為A，則平方根法可按如下三步進行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式計算出矩陣的各元素： 因此， L . 第二步 求解方程組LY = b . 解得Y = （，）T. 第三步 求解方程組LTX = Y . 解得X =（0，2，

5、1）T. （2）解：首先檢驗系數(shù)矩陣的對稱正定性，這可以通過計算其各階順序主子式是否大于零來判斷. 3 > 0, = 2 > 0, = 6 > 0,所以系數(shù)矩陣是對稱正定的.記系數(shù)矩陣為A，則平方根法可按如下三步進行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式計算出矩陣的各元素： 因此， L . 第二步 求解方程組LY = b . 解得Y = （，）T . 第三步 求解方程組LTX = Y . 解得X = （，）T .4、解： 對 , ； 對 , , , ；對 , , , , , . 所以數(shù)組A的形式為： 求解方程組LY = b . 解得Y = （4，7，）T . 求解方程組

6、DLTX = Y . 解得X = （，）T .5、解：（1）設(shè)A = LU = 計算各元素得： , , , , , , , , .求解方程組LY = d. 解得Y = （1，）T . 求解方程組UX = Y. 解得X = （，）T .（2）設(shè)A = LU = 計算各元素得： ， ， ， .求解方程組LY = d . 解得Y = （17，）T . 求解方程組UX = Y . 解得X = （3，2，1）T .6、證：（1）（2）相同. 因為此方程組的系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)矩陣，所以雅可比迭代法和相應(yīng)的高斯賽德爾迭代法都收斂.（1）雅可比迭代公式：高斯賽德爾迭代公式：（2）雅可比迭代公式：高斯賽德爾

7、迭代公式：7、(1)證：因為此方程組的系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)矩陣，所以雅可比迭代法和相應(yīng)的高斯賽德爾迭代法都收斂。 (2) 雅可比迭代法： 寫出雅可比迭代法公式：取 = （3，1，1）T，迭代到18次達到精度要求, = （3.999，2.999，1.999）T .高斯賽德爾迭代法： 寫出高斯賽德爾迭代法公式：取 = （3，1，1）T，迭代到8次達到精度要求, = （4.000，2.999，2.000）T .8、SOR方法考試不考。9、證明：雅可比法的迭代矩陣為： , 解得,所以雅可比迭代法不收斂. 高斯-賽德爾法的迭代矩陣為： , 求得，則 , 所以高斯-賽德爾迭代法不收斂.10、證明：雅可比

8、法的迭代矩陣為： , 求得，則 ,所以雅可比迭代法不收斂. 高斯-賽德爾法的迭代矩陣為： , 求得，則 , 所以高斯-賽德爾迭代法收斂.11、證明：當(dāng) - 0.5 < a < 1 時，由 = 1 - a2 > 0 , = (1 - a)2(1 + 2a) > 0 , 所以A正定. 雅可比迭代矩陣BJ ，所以， | = = 所以， , 故當(dāng)-0.5 < < 0.5 時，雅可比迭代法收斂。12、解： max 0.6+0.5,0.1+0.3 = 1.1； max 0.6+0.1,0.5+0.3 = 0.8； = 0.8426； ATA = = | = = 0.71

9、 0.0169 0 所以 (ATA) = 0.685，所以 = 0.83.13、證明：(1)由定義知, 故 (2)由范數(shù)定義知,故 習(xí) 題 三1、解：在區(qū)間0.3,0.4上，故在區(qū)間0.3,0.4上嚴格單調(diào)減少，又，所以方程在區(qū)間0.3,0.4上有唯一實根。令（0.40.3）/ < = ,解得k > = 4 ,即應(yīng)至少分4次,取開始計算,于是有: 當(dāng)k = 1 時,x1 = 0.35 , ,隔根區(qū)間是, 當(dāng)k = 2 時,x2 = 0.325 , ,隔根區(qū)間是,當(dāng)k = 3 時,x3 = 0.3375 , ,隔根區(qū)間是,當(dāng)k = 4 時,x4 = 0.34375 , ,隔根區(qū)間是.

10、所以 (0.3375 + 0.34375)/2 0.341.2、解：在區(qū)間1,2上，故在區(qū)間1,2上嚴格單調(diào)增加，又，所以方程在區(qū)間1,2上有唯一實根.令< = ,解得k > = 13.3 ,即應(yīng)至少分14次.3、解：作圖,判斷根的數(shù)目、找隔根的區(qū)間. (1)有唯一實根,隔根區(qū)間0,收斂迭代公式:. (2)有唯一實根,隔根區(qū)間1,2,收斂迭代公式:.4、解：取的鄰域1.3,1.6來考察.(1)當(dāng)1.3,1.6時,1.3,1.6 ,|< = 0.522 = L < 1,所以，在1.3,1.6上收斂.(2)當(dāng)1.3,1.6時,1.3,1.6 ,|< = 0.91 =

11、L < 1,所以，在1.3,1.6上收斂.(3)當(dāng)1.3,1.6時,1.3,1.6 ,| = L > 1,所以， 在1.3,1.6上發(fā)散.(4)當(dāng)1.3,1.6時,1.3,1.6 ,所以，在1.3,1.6上發(fā)散.取開始計算,于是有： = 1.481448 , = 1.472705 , = 1.468817 , = 1.467047 , = 1.466243 , = 1.465876 .由于| < ,故可取 = 1.466.5、解：方程的等價形式為=,迭代公式為. 作函數(shù)和的圖像,可知其正根區(qū)間為0.5,1.5. 當(dāng)0.5,1.5時,0.5,1.5 ,|< = 0.3 =

12、 L < 1,所以，在0.5,1.5上收斂.取開始計算,于是有： = 0.93114992, = 1.0249532 , = 1.04141516 , = 1.04419321, = 1.0446673 , = 1.04474582, = 1.04475903, = 1.0447613 , = 1.04476123.由于| < ,故可取 = 1.04476.6、解：當(dāng)0,0.5時,0,0.5 ,|< = 0.825 = L < 1,所以在區(qū)間0,0.5上收斂.取開始計算,于是有： = 0.10000000, = 0.08948290 , = 0.09063913 , =

13、 0.09051262, = 0.09052647 , = 0.09052495.由于| < ,故可取 = 0.0905.7、解：由于在根附近變化不大, = - 0.607 = q. 迭代-加速公式為取開始計算,于是有： = 0.5662917, = 0.5671223, = 0.56714277.由于| < ,故可取 = 0.5671.8、解：埃特金加速公式為： 取開始計算,于是有: = 1.32489918, = 1.32471796, = 1.32471637.由于| < ,故可取 = 1.3247.9、解：對于,因此牛頓迭代法為 ,0,1,2,3,對于,因此牛頓迭代法

14、為 ,0,1,2,3,因為 所以，對于, .對于, .10、解：在區(qū)間1,2上,，,，.又因為，所以收斂且以作初值。取,用牛頓迭代法, 計算得 = 1.8889, = 1.8794, = 1.8794,由于| < ,故可取 = 1.879.11、解：設(shè) ,則 ， .牛頓法迭代公式為： 0,1,2,3, 當(dāng)時, ， , 當(dāng)時, ， . 因此,對于,當(dāng)時,牛頓序列收斂到. 當(dāng)時, 所以,因此,從起 , 牛頓序列收斂到 . 對于,當(dāng)時,牛頓序列收斂到. 當(dāng)時, 所以,因此,從起 , 牛頓序列收斂到 . 當(dāng)時,迭代式變?yōu)?. 該迭代對任何均收斂,但收斂速度是線性的. 取開始計算,于是有： = 1

15、.66666667 , = 1.23111111 , = 1.48053039 , = 1.44323083 , = 1.44225024 , = 1.44224957 , = 1.44224957 .由于| < ,故可取 = 1.442250 .12、解：令,取,開始計算,經(jīng)過4次計算可以得到 = 0.51098 .習(xí) 題 五1、解： .2、解：.3、解： .(直接代入數(shù)據(jù)，因較復(fù)雜，省略)4、證：（1）當(dāng)（2）中的時，即可得結(jié)論. （2）函數(shù)及均為被插值函數(shù)的關(guān)于互異節(jié)點的不超過次的插值多項式，利用插值多項式的唯一性可知結(jié)論.5、證：以和為插值點，建立的不超過一次的插值多項式：應(yīng)用插

16、值余項公式有： ，因此可得結(jié)論。6、解：選，為節(jié)點，計算得： .7、解： .8、解：（略）9、證：設(shè)，. 將差商（均差）用函數(shù)值表示，則有： 取得結(jié)論（1），取得結(jié)論（2）.10、證：.11、解：制造向前查分表：0123012312176411547143218由題意，.當(dāng)時，.將查分表上部那些畫橫線的數(shù)及代入公式，有.當(dāng)時，.將查分表下部那些畫橫線的數(shù)及代入公式，有.12、解：制造向前查分表：0123-1012-2-1121211-1-2 由于其根在-1,2之間，故采用牛頓后插公式， 計算得 ，所以.13、證：采用差分的定義來證明.14、解：方法同第11題.15、解：以，和為插值節(jié)點的插值多

17、項式的截斷誤差，則有 ，式中 ， 則 令 得 .習(xí) 題 六1、解：由題意得 , , 所以 , . 又 , 所以 .2、解：設(shè)擬合曲線為一次多項式: . 計算各元素: , 故法方程組為=,解得 ,.所以.二次多項式擬合曲線與一次多項式擬合曲線類似(略).3、解：設(shè)擬合曲線為二次多項式: . 計算各元素: , 故法方程組為=,解得 ,.所以.4、解：經(jīng)描圖發(fā)現(xiàn)和符合二次曲線. 設(shè)擬合曲線為二次多項式: . 計算各元素:, , 故法方程組為=,解得 , , .所以.5、略.6、解：對公式兩邊取常用對數(shù)有 . 令,則得線性模型 .計算各元素: , 故法方程組為=,解得 ,得,. 所以 .7、解：對公式兩邊取常用對數(shù)有 . 令,則得線性模型 .計算各元素: , 故法方程組為=,解得 ,得,. 所以 .8、解：令,則 .計算各元素: , 故法方程組為=,解得 ,所以.習(xí) 題 七1、解：利用梯形公式: . 利用辛普森公式: . 計算誤差: . .5、解：利用復(fù)化梯形公式:. 利用復(fù)化辛普森公式:6、解：由 , 得 又,解出,故用復(fù)化梯形公式至少取671,即需672個節(jié)點.7、解：計算如下:01230.77174330.72806990.71698280.71420020.71351210.71328700.71327260.71327200.71327170.7132717