數學所有不等式放縮技巧及證明方法.

1、高考數學所有不等式放縮技巧及證明方法一、 裂項放縮n2n15例 1.(1)求的值 ; (2)求證 :2k 1 k 2.k 1 4 k13例 2.(1)11171求證:1252( 2n 1) 26(n 2)32(2n 1)(2) 求證 :1111211416364n24n11 31 3 51 3 5(2n1)2n1 1(3) 求證 :2 424 62 462n2111(4) 求證： 2( n 1 1) 132( 2n 1 1)2n6n1115例 3.求證:19n23(n 1)(2n 1)4例 4.(2008年全國一卷 )設函數f(x)x xlnxan滿足0 a1 1. an 1f (an ).

2、設 b(a1，1)，整數 ka1b . 證. 數列a1lnb明 : ak 1b .例 5. 已知 n m N,x1,Smmmnm, 求證 :m 1( 1)(1)m 1 1,m1 2 3nm Snn.nn2n,求證: T1 T2 T3Tn3例 6. 已知 an 4 2, Tnan.a1 a22例 7. 已知 x11, xnn( n 2k1, kZ )1111 1)(n N*)n 1(n2k , k,求證:4 x2 x34 x4 x52( nZ )4 x2nx2n 1二、函數放縮例 8. 求證： ln 2ln 3ln 4ln 3n3n5n6 (n N * ) .2343n6例 9. 求證 :(1)

3、2, ln 2ln 3ln n2n 2n1( n2)23n2(n1)例 10. 求證: 111ln( n 1) 11123n 12n1)(111) e 和 (1111e .例 11. 求證: (1)(1)(1)(12n )2!3!n!9813例 12. 求證 : (11 2) (1 2 3)1 n(n 1)e2n 3已知 a1 1,an 1(11) an1e2例 14.2n2n . 證明 a n.n例 16.(2008年福州市質檢) 已知函數f ( x)x ln x. 若 a 0,b 0,證明:f(a) (a b)ln2 f (a b) f (b).三、分式放縮例 19.姐妹不等式 :(1 1

4、)(1)(1)(1n和 (1)(1)(1)(1)也可以表示成為111 )2111111352n 12462n2n12 4 6 2n2n 1和 1 3 56(2n 1)111 3 5(2n1)242n2n例 20. 證明:(1111)33 1.1)(1)(1 ) (13n2n47四、分類放縮111n例 21. 求證: 132 n122例 23.(2007 年泉州市高三質檢) 已知函數f xx2bx c b1,cRf (x)的定義域為1 0( )() ，若 ， ，值域也為1， 0. 若數列 b 滿足 bnf (n) (n N *) ，記數列 bn 的前n 項和為 T ，問是否存在正常數A，使得對于

5、任意正n3nn整數 n 都有 TnA ？并證明你的結論。例 24.(2008年中學教學參考) 設不等式組x0 ,表示的平面區(qū)域為D n , 設 D n 內整數坐標點的個數為an . 設y0 ,ynx3 nSn111 , 當 n2時, 求證: 11 117n 11 .an 1an 2a2na1a2a3a2n36五、迭代放縮xn4 , x1 1, 求證 : 當 nn例 25.已知 xn 12 時,| xi 2 | 2 21 nxn1i 1例 26.設 nsin1!sin2!sin n!,求證對任意的正整數k,若kn恒有n+kSn|<1S21222n:| Sn六、借助數列遞推關系例 27. 求

6、證: 1131 3 51 35(2n 1)2n 2 122424 624 62n例 28.求證 :11 31 3 51 3 5(2n 1)11222 42 4 62 4 6n2n例 29.若a11,an 1 an,求證: 111n 1a22( n 1 1)a1a n七、分類討論例 30. 已知數列 an的前 n 項和 Sn 滿足 Sn2an ( 1)n,n 1. 證明：對任意的整數m 4 ，有1117a4a5am8八、線性規(guī)劃型放縮例 31. 設函數 f (x)2x1 . 若對一切 xR， 3 af ( x) b3，求 ab 的最大值。x22九、均值不等式放縮例 32.設S12 23n(n 1

7、).求證 n(n 1)(n 1)2nSn2.2例 33. 已知函數 f (x)1bx ，若 f (1)4 ，且 f (x) 在 0 ，1上的最小值為1 ，求證：a 2111 .52f (1) f ( 2)f ( n)n2n 12n 1例 35. 求證 Cn1 Cn2 Cn3Cnnn 2 2 (n 1, n N)xexnn 1例 36. 已知 f (x) e, 求證 : f (1) f (2) f (3)f (n) (e1)2例 37. 已知 f (x)x 1, 求證 : f (1) f (2) f (3)f (2n) 2n(n 1)nx例 38. 若 k111137, 求證 : Snn 1n

8、2nk 1.n2例 39. 已知f( ) ()(),求證:f ( 0) f (1)a 2x a x x1 x x2.16例 40.已知函數 f ( x)= x2 ( 1) k·2ln x( kN*) .k 是奇數 , n N*時, 求證 : f ( x) n2n1f xn)nn2).·2(2例 41. （ 2007 年東北三校）已知函數f ( x)axx(a1)（ 1）求函數 f( x) 的最小值，并求最小值小于0 時的 a 取值范圍；( )1'(1)2'(2)n 1'( 1)n'n（ 2）令求證： S(n)(22) f( )S n Cn f

9、Cn fCnf n2例 43. 求證: 11112n 1n23n1十、二項放縮例 44.已知 a11,an 1(121n) an1n . 證明 a ne 2n2例 45.設 a(11)n ，求證：數列 an 單調遞增且 a4.nnn例 46.已知 a+b=1, a>0, b>0, 求證： anbn21 n.例 47.設 n1,nN ，求證 ( 2)n(n8.31)(n2)例 49.已知函數f x 的定義域為 0,1，且滿足下列條件：對于任意x0,1，總有f x3，且 f 14； 若 x1 0,x2 0,x1 x21,則有 f x1 x2fx1f (x2)3.（）求 f 0 的值；（

10、）求證： fx 4；（）當 x( 1,1 ( n1,2,3, ) 時，試證明：f (x).3n3n 13x 3例 50.已知： a1 a2an 1,ai 0 (i 1,2 n)a12a22an2 1an21求證：a2 a3an 1 anan a12a1 a2十二、部分放縮( 尾式放縮 )1114例 55. 求證:13 2n 1 1 731321112.例 56.設 an 1aaa ,a 2. 求證： an23n例 57.設數列 an滿足 aa2na 1n N，當 a13 時證明對所有 n1, 有 (i )ann 2 ；n 1nn(ii )1111a1 1a21 an211、添加或舍棄一些正項（

11、或負項）例 1、已知 an 2n*n 1a1a2an*).1(n N). 求證：a2a3.(n N2 3an12、先放縮再求和（或先求和再放縮）例 2、函數 f （x）=4 x，求證： f （ ） f （ ）f （ n） n11 (n N* ).1 4 x1+ 2+> +2 n 123、先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）nk例 3、已知 an=n ，求證： 23k=1ak4、放大或縮小“因式”；1,求證：n1 .例 4、已知數列 an 滿足 an 1an2,0a1( aka k1 ) ak 22k 1325、逐項放大或縮小例 5、設 an122 33 4n( n 1)n(n1)(n1) 2求證：an226、固定一部分項，放縮另外的項；例 6、求證： 11117122232n247、利用基本不等式放縮例 7、已知 a n5n4 ，證明：不等式5a mna m a n1 對任何正整數m，n 都成立 .構造函數法證明不等式的方法一、 移項法構造函數【例 1】已知函數 f ( x)ln( x1) x ，求證：當 x1時，恒有 11xln( x 1)x12、作差法構造函數證明【例 2】已知函數 f ( x)1x 2ln x. 求證：在區(qū)間 (1,) 上，函數 f ( x) 的圖象在函數g (x)2