北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)6.1平行四邊形及其性質(zhì) 知識(shí)講解及例題演練

1、平行四邊形及其性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解平行四邊形的概念 ,掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理.2能初步運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算 ,并體會(huì)如何利用所學(xué)的三角形的知識(shí)解決四邊形的問(wèn)題3. 了解平行四邊形的不穩(wěn)定性及其實(shí)際應(yīng)用4. 掌握兩個(gè)推論：“夾在兩條平行線間的平行線段相等?！皧A在兩條平行線間的垂線段相等 【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、平行四邊形的定義平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形ABCD記作“ABCD ,讀作“平行四邊形ABCD. 要點(diǎn)詮釋：平行四邊形的根本元素：邊、角、對(duì)角線.相鄰的兩邊為鄰邊 ,有四對(duì)；相對(duì)的邊為對(duì)邊 ,有兩對(duì)；相鄰的兩角為鄰角 ,有四對(duì)；

2、相對(duì)的角為對(duì)角 ,有兩對(duì)；對(duì)角線有兩條.知識(shí)點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì)定理 平行四邊形的對(duì)角相等；平行四邊形的對(duì)邊相等；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；要點(diǎn)詮釋：1平行四邊形的性質(zhì)定理中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.2由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多 ,在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.3利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問(wèn)題 ,在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來(lái)解決.知識(shí)點(diǎn)三、平行線的性質(zhì)定理1.兩條平行線間的距離：1定義：兩條平行線中 ,一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離 ,叫做這兩條平行線間的距離.注：

3、距離是指垂線段的長(zhǎng)度 ,是正值.2平行線性質(zhì)定理及其推論夾在兩條平行線間的平行線段相等.平行線性質(zhì)定理的推論：夾在兩條平行線間的垂線段相等.【典型例題】類型一、平行四邊形的性質(zhì)1、如圖 ,平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為60 ,對(duì)角線交于O ,AOB的周長(zhǎng)比BOC的周長(zhǎng)大8 ,求AB ,BC的長(zhǎng)【答案與解析】解： 四邊形ABCD是平行四邊形 ABCD ,ADBC ,AOCO , ABCD的周長(zhǎng)是602AB2BC60 ,即ABBC30 ,又 AOB的周長(zhǎng)比BOC的周長(zhǎng)大8即AOOBABBOOCBCABBC8 , 由有 解得 AB ,BC的長(zhǎng)分別是19和11 【總結(jié)升華】根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分 ,

4、利用方程的思想解題.舉一反三：【變式】如圖：在平行四邊形ABCD中 ,CE是DCB的平分線 ,F是AB的中點(diǎn) ,AB6 ,BC4.求AE：EF：FB的值.【答案】解： ABCD是平行四邊形 ,所以ABCD ,ECDCEBCE為DCB的角平分線 ,ECDECB ,ECBCEB ,BCBEBC4 ,所以BE4AB6 ,F為AB的中點(diǎn) ,所以BF3EFBEBF1 ,AEABBE2AE：EF：FB2：1：3.2、平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O ,且ADCD ,過(guò)點(diǎn)O作OMAC ,交AD于點(diǎn)M ,如果CDM的周長(zhǎng)是40cm ,求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】由四邊形ABCD是平行四邊形 ,即

5、可得AB=CD ,AD=BC ,OA=OC ,又由OMAC ,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì) ,即可得AM=CM ,又由CDM的周長(zhǎng)是40cm ,即可求得平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)【答案與解析】解：四邊形ABCD是平行四邊形 ,AB=CD ,AD=BC ,OA=OC ,OMAC ,AM=CM ,CDM的周長(zhǎng)是40 ,即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40 ,平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：2AD+CD=2×40=80cm平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為80cm【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用舉一反三：【變式】如圖 ,平行四邊形

6、ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O ,EF過(guò)點(diǎn)O且與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F ,連接EC1求證：OE=OF；2假設(shè)EFAC ,BEC的周長(zhǎng)是10 ,求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng) 【答案】1證明：四邊形ABCD是平行四邊形 ,OD=OB ,DCAB ,FDO=EBO ,在FDO和EBO中FDOEBOAAS ,OE=OF；2解：四邊形ABCD是平行四邊形 ,AB=CD ,AD=BC ,OA=OC ,EFAC ,AE=CE ,BEC的周長(zhǎng)是10BC+BE+CE=BC+AB=10 ,平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2BC+AB=203、如圖 ,口ABCD的周長(zhǎng)為52cm ,AB邊的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D ,

7、垂足為E ,口ABCD的周長(zhǎng)比ABD的周長(zhǎng)多10cmBDE=35°1求C的度數(shù)；2求AB和AD的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】1由于DE是AB邊的垂直平分線 ,得到ADE=BDE=35° ,于是推出A55° ,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到C=55°；2由DE是AB邊的垂直平分線 ,得到DA=DB ,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD=BC ,AB=DC ,由于口ABCD的周長(zhǎng)為52 ,于是得到AB+AD=26 ,根據(jù)口ABCD的周長(zhǎng)比ABD的周長(zhǎng)多10 ,得到BD=16 ,AD=16cm ,于是求出結(jié)論【答案與解析】解：1DE是AB邊的垂直平分線 ,ADE=BDE=35°

8、; ,A=90°ADE=55° ,口ABCD ,C=A=55°；2DE是AB邊的垂直平分線 ,DA=DB ,四邊形ABCD是平行四邊形 ,AD=BC ,AB=DC ,口ABCD的周長(zhǎng)為52 ,AB+AD=26 ,口ABCD的周長(zhǎng)比ABD的周長(zhǎng)多10 ,52AB+AD+BD=10 ,BD=16 ,AD=16cm ,AB=2616=10cm【總結(jié)升華】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì) ,平行四邊形的性質(zhì) ,能綜合應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵4、如圖1 ,P為RtABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)不在直線AC上 ,ACB=90° ,M為AB的中點(diǎn)操作：以PA、PC為鄰邊作

9、平行四邊形PADC ,連接PM并延長(zhǎng)到點(diǎn)E ,使ME=PM ,連接DE1請(qǐng)你猜測(cè)與線段DE有關(guān)的三個(gè)結(jié)論 ,并證明你的猜測(cè)；2假設(shè)將“RtABC改為“任意ABC ,其他條件不變 ,利用圖2操作 ,并寫(xiě)出與線段DE有關(guān)的結(jié)論直接寫(xiě)答案【思路點(diǎn)撥】1連接BE ,證PMAEMB ,推出PA=BE ,MPA=MEB ,推出PABE根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出PADC ,PA=DC ,推出BEDC ,BE=DC ,得出平行四邊形CDEB即可；2連接BE ,證PMAEMB ,推出PA=BE ,MPA=MEB ,推出PABE根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出PADC ,PA=DC ,推出BEDC ,BE=DC ,得出平行

10、四邊形CDEB即可【答案與解析】（1） DEBC ,DE=BC ,DEAC ,證明：連接BE ,M為AB中點(diǎn) ,AM=MB ,在PMA和EMB中 ,PMAEMBSAS ,PA=BE ,MPA=MEB ,PABE四邊形PADC是平行四邊形 ,PADC ,PA=DC ,BEDC ,BE=DC ,四邊形DEBC是平行四邊形 ,DEBC ,DE=BCACB=90° ,BCAC ,DEAC2解：DEBC ,DE=BC【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定 ,全等三角形的性質(zhì)和判定 ,平行線的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用舉一反三：【變式】：如圖 ,在平行四邊形ABCD中 ,DEAB于點(diǎn)E ,DFBC

11、于點(diǎn)F ,DAB的平分線交DE于點(diǎn)M ,交DF于點(diǎn)N ,交DC于點(diǎn)P1求證：ADE=CDF；2如果B=120° ,求證：DMN是等邊三角形【答案】證明：1四邊形ABCD是平行四邊形 ,DAB=C ,DCAB ,DEAB于點(diǎn)E ,DFBC于點(diǎn)F ,ADE=90°-DAB ,CDF=90°-C ,ADE=CDF2證明：DAB的平分線交DE于點(diǎn)M ,交DF于點(diǎn)N ,交DC于點(diǎn)P ,DAP=BAP ,DCAB ,DPA=BAP ,DAP=DPA ,DA=DP ,ADE=CDF ,DAP=DPA ,DA=DP ,DAMDPN ,DM=DN ,B=120° ,MDN

12、=360°-DEB-EFB-B=360°-90°-90°-120°=60° ,DMN是等邊三角形類型二、平行線性質(zhì)定理及其推論5、如圖1 ,直線mn ,點(diǎn)A、B在直線n上 ,點(diǎn)C、P在直線m上；1寫(xiě)出圖1中面積相等的各對(duì)三角形：CAB與PAB、BCP與APC、ACO與BOP_；2如圖 ,A、B、C為三個(gè)頂點(diǎn) ,點(diǎn)P在直線m上移動(dòng)到任一位置時(shí) ,總有_PAB與ABC的面積相等；3如圖 ,一個(gè)五邊形ABCDE ,你能否過(guò)點(diǎn)E作一條直線交BC或延長(zhǎng)線于點(diǎn)M ,使四邊形ABME的面積等于五邊形ABCDE的面積【思路點(diǎn)撥】1找出圖中同底等高的三角形 ,這些三角形的面積相等；2因?yàn)閮善叫芯€間的距離是相等的 ,所以點(diǎn)C、P到直線n間的距離相等 ,也就是說(shuō)ABC與PAB的公共邊AB上的高相等 ,所以總有PAB與ABC的面積相等；3只要作一個(gè)三角形CEM與三角形CED的面積相等即可【答案與解析】解：1mn ,點(diǎn)C、P到直線n間的距離與點(diǎn)A、B到直線m間的距離相等；又同底等高的三角形的面積相等 ,圖中符合條件