(完整word版)計(jì)算機(jī)科學(xué)計(jì)算答案

1、1、上（下）三角矩陣的乘積、逆仍為上（下）三角矩陣2、 AB 與 BA 跡相同 tr(AB)=tr(BA)，如果 A 或者 B 可逆，則AB 與 BA 特征值相同nmmn1)、 tr ( AB)ai ,kbk ,ibk ,i ai, ktr ( BA)i 1 k 1k1 i12）、 由A 1 ( IAB ) AIBA，或者 B( IAB )B 1IBA ，兩邊取行列式并令其為令，即得到證明。3、有上條性質(zhì)可知：不存在滿足 AB-BA=I 條件的方陣 A 、 B 因?yàn)椋?tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0 tr(I)=n4、 A 和 B 都嚴(yán)格對角占優(yōu)，但是A B 未必嚴(yán)格對角占

2、優(yōu)（例： B=-A 或者 B=A ）5、A 和 B 可逆時(shí)-1-1 I兩邊消去 I即得1） 1 cond(A) ，因?yàn)?I =AA I A A-1-1 1/ A2） 由 1）得到： A 1/ A， A-1 1/ (A)3） 與 2）對比有 (A) A， A4） 如果 A 1 時(shí)ak Ak 收斂，則ak A k必發(fā)散，而 A 1 時(shí)ak Ak 發(fā)散，k 0k0k0則 ak A k 未必收斂k06、 cond(AB) cond(A)cond(B) ，利用范數(shù)相容性立即可得由此引出的不等式： A-1 -B -1 A-1 B-1 A-B因?yàn)?A-1 - B -1 =B-1- A -1 = B-1 (I

3、- BA -1 ) = B-1(A- B)A -1 B-1 A- B A-1 對應(yīng)地有 A-B A B A-1 - B -1 7、 A 非奇異， B 奇異，則對于算子范數(shù)有1/Cond(A) A-B / A因?yàn)?B 奇異，則存在y 0，使得By=0，從而有x=y/ y 0， x =1，并且 Bx=0，A-1 Bx=0， x-A -1 Bx=x， A-1 (A-B)x=x ， 1= x = A-1 (A-B)x max A-1 (A-B)x =x1= A-1 (A-B) A-1 A-B，兩邊除A即可得證。由 6） -7 ）組合，還可以得到更多的不等式。8、正規(guī)陣同時(shí)又是三角陣，則它一定是對角陣9

4、、酉陣同時(shí)又是三角陣，則它一定是對角陣，并且對角元的模為110、對稱矩陣的奇異值是特征值的絕對值n 階實(shí)對稱矩陣如果有n 個(gè)互異的奇異值，則它有n 個(gè)互異的特征值11、相似變換、酉變換、正交變換不改變方陣的跡和行列式因?yàn)樯鲜鲎儞Q不改變特征值，從而不改變特征值的和和乘積，從而也不改變跡與行列式。12、酉變換、正交變換不改變向量的2- 范數(shù)，從而不改變兩點(diǎn)之間的歐幾里得距離。13、酉陣特征值的模為1，正交陣特征值的絕對值為114、 x 和 e-x 在任何區(qū)間 a,b 上線性無關(guān)設(shè) cx+de -x=0，因?yàn)?e-x 永遠(yuǎn)不為零，如果 c 0，那么有 x/e-x=-d/c ，顯然 x/e-x 在任何

5、區(qū)間都不會(huì)是一個(gè)常數(shù)， 從而必須 c=0，這樣一來 d 只有為零， 因此只有當(dāng) c=d=0 等式才成立，線性無關(guān)。15、如果 A 1 則 (I-A)-1 1/(1- A )因?yàn)?(A) A 1，Ak收斂到 s=Ak , 兩邊乘 (I-A)不影響收斂性，k 0k0（I-A ） s=(I-A)Ak=I-lim(Ak )=I ，所以Ak=(I-A)-1 ， (I-A)-1 Ak k 0k 0k 0k-1 1/(1- A )A =1/ （ 1- A），同理可證 (I+A)k 016、如果 (I+A) 奇異，則對一切范數(shù)A 117、 A Cn*n , 對任意范數(shù)有， lim kAk( A)k首先存在某種

6、范數(shù)( Ak )Ak*( Ak )，而 ( Ak )k ( A) 所以k ( A)Ak*k ( A)k ( A)(1/k ( A) ，取k (A)得到k ( A)Ak*2 k ( A) ，對不等式同時(shí)取極限即得到lim kAk *( A)k再根據(jù)范數(shù)的等價(jià)性c1 Ak *Akc2 Ak *對不等式同時(shí)取極限即得到對任意范數(shù)的結(jié)果lim k Ak( A)k18、 A 非奇異，對算子范數(shù)有A 11min Axx1因?yàn)?9、AA11(maxA 1 y1minyAA 1 yminAxmin Ax)1min1yAyAyxx 1Hn2tr ( AA)Fi 1i20、 UAV HAFF21、 I 1,Con

7、d( A) Cond( A)2212222、 x,y 為向量，則有平行四邊形關(guān)系( xy 2x y 2 )x 2y 2223、 A Cn*n，并且為 Hermite 正定陣，則 xx H Ax 為范數(shù)正性和齊次性好證明，只證三角不等式A為 Hermite 陣有 AUDU H ，并且 A正定，于是對角陣dii 0，A UD 1/2(UD 1/2 )Hx H AyxH UD 1 / 2 (UD 1/ 2 ) H y(UD 1/ 2 ) H x) H (UD 1 / 2 )H y)(x H Ax)( y H Ay)xy ,同理可得 y H Axx y所以x y2x yHA x y xHAx yHAy

8、 xHAy yHAx2()()2y22 xy( xy )2x24、 AH2ATA2,Cond ( AH A) 2Cond ( A) 2 2 ,225、 AHAA22226、 A 為 Hermite 陣，則 A 2AA 1n A 22A 1 A27、 A 為 Hermite 陣， A 228、 A Cn*n，則 lim AkI 的充要條件為 A=Ik因?yàn)?I lim Aklim AAk 1A lim Ak 1AI 所以 A=Ikkk 1同理如果 lim AkB ，并且 B 可逆，則 B=Ik29、證明： 1） A 為實(shí)斜對稱陣，則eA 為正交陣（ A=-A T）2） A 為 Hermite 陣，

9、則 eiA為酉陣(A H=A)證明： 1） eA (eA ) TeA (eA T)eA e Ae0I(eA ) T eAiAiAHiA(iA ) HiAiA HiAiAe0iAH iA2） e (e )e (e) e ee eI (e )e30、 A Cn*n， A 2 1，證明 Ln(I+A) 2 A 2/(1- A 2)因?yàn)椋?Ln (1x) x x2 / 2x3 / 3 . ( 1) n 1 x n / n .收斂半徑 r=1, (A) A21，所以 Ln(I+A) 收斂，Ln( I A) 2Ak2Akk 1 kk 1kA 22kkA 2A2A21 A 2k 1k 031、 A32求：

10、eAt , sin A, A1002332、 xn+1= (x ) 的迭代收斂條件，n1）映內(nèi)性xn a,b ， (x n) a,b 2）壓縮性L 1停機(jī)判據(jù)L，收斂速度 xkLkx1x0xkxkk 1x1L1 L33、 Newton 迭代法，單根為二階收斂limxk 1cf ( )limxkxk 1xk2( )xk 12k2 fkxk 2f ( xk ) 仍二階收34、 Newton 迭代法，重根變線性收斂，如果知道重?cái)?shù)m， xk1xkm f (xk )斂35、 Newton 迭代法中， xk1xkf ( xk )下山因子，則無法下山，要另選初f ( xk )始點(diǎn)36、弦割法 xk 1f (

11、 xk )( xkxk 1 )的收斂階為 1.618xkf (xk 1 )f ( xk )37、分半法的收斂速度為（b-a） /2n-138、 Aitken 加速公式 x k(xk 1 ), x k1( x k ), xkx k1( xk 1 x k ) 2xk 1 2 x kxk 139、 Jacobi、 Gauss-Seidel 和超松弛 (SOR)法的分量形式和矩陣形式n（J） xi( k 1)1 (biaij x(jk ) )xk 1D 1 ( L U )x kD 1baiij 1, ji(G-S) xi( k 1)1i1aij x(j k 1)naij x(jk ) ) ， x k

12、1(D L) 1Ux k( D L ) 1 b(biaiij1ji11i1n(SOR) xi(k 1)(biaij x(j k 1)aij x(j k), xi( k 1)(1)xi(k )xi(k 1)aiij1ji1x k1(DL ) 1(1)DU xk(DL ) 1b40、迭代法x k 1Bx kf 中，( B)1時(shí)收斂， B1更收斂41、矩陣 A 嚴(yán)格對角占優(yōu)， Jacobi 法和Gauss-Seidel 法收斂42、(B) 1時(shí)可以得到超松弛法中02，時(shí)也是如此B 143、 Legendre 正交多項(xiàng)式，x 1,1,(x)1, Pn (x)1d n( x21)n2nn! dxn1Pm

13、 ( x)Pn ( x)dx0mn非標(biāo)準(zhǔn)正交12mn2n1前幾項(xiàng) P01, P1 ( x)x, P2 (x)1 (3x21), P3 (x)1 (5x33x),.22遞推公式 Pn 1( x)( 2n1) xPn ( x)nPn 1 (x)n1n1Gauss-Legendre 機(jī)械求積公式n0, x 0, A01f ( x) dx2 f (0)2,有 1 階代數(shù)精度11, A0A111 )f ( 1n1, x1,f (x)dxf () ，有 3 階代數(shù)精度3133n2, x 0,3,A0A25, A18 ,f ( x)dx5 f (3)8 f (0)5 f ( 3 )1599195995有 5

14、 階代數(shù)精度一般地 Ak2(1 xk2 ), k 0,1,2,3,. 它的一般求積系數(shù)和零點(diǎn)復(fù)雜，但是權(quán)函數(shù)( n 1) Pn 1 (xk ) 2n2為 1，在積分中不出現(xiàn)，Akk044、 Chebyshev 正交多項(xiàng)式， x 1,1,( x)1,Tn ( x)cos( narccos x)1x2零點(diǎn)為 xkcos( 2k1), (k0,1,2,3,.n) 遞推公式 Tn 1 ( x)2xTn (x) Tn 1 (x)2(n1)前幾項(xiàng)：T01,T1,T22x21,T34x33,T48x48x21xx110mn非標(biāo)準(zhǔn)正交Tm (x)Tn (x)dxmn 01 1x 22mn0Gauss-Cheb

15、yshev 機(jī)械求積公式n0, x0cos( )0, A02n1, x0 ,12k1cos()4,f (x)dx111 x21,A0A12f (0) 有 1 階代數(shù)精度1f (x)dx1) f (1,1 x( f ()2 12222有 3 階代數(shù)精度n 2, x0,3,A0A2A2,1f ( x)dx( f (3 )f (0)f (3 )2311 x2322有 5 階代數(shù)精度一般地 Akn, xkcos(2k1), (k0,1,2,3,.n)因此它的求積系數(shù)和零點(diǎn)簡單，12(n1)n缺點(diǎn)是權(quán)函數(shù)不整齊，Akk 045、利用兩點(diǎn) Chebyshev 求積公式和利用Legendre 機(jī)械求積公式1

16、11 x 2 f ( x)( 11f (1111f ( x)dxdx)f ()111x2222221f (1 )f ( 1) 兩者都f (x)ax3bx2cxd 精確f (x)dx3 次代數(shù)精度，對13346、利用三點(diǎn) Legendre 機(jī)械求積公式bbaf ( x)dx2aba 5f ( ab29211a bbaf (2t )dt2b a (3 )8 f ( a b )5 f ( a b b a 3 )259292251af (b)47、如果x f (x)dx，如何選擇 a,b 使之有更高的代數(shù)精度？0令 f(x)=1 、x，1xdxa2x 23 12,1xxdx2b2x 25 12, b3

17、0303035055于是x f ( x)dx2f ( 3), 此時(shí)10351712 dx2 x 222 (3) 2 ，因此該公式最多有 1x x070735次代數(shù)精度147、如果x f ( x)dx af (b) cf (1) ，如何選擇 a,b,c 使之有更高的代數(shù)精度？0令 f(x)=1 、x， x2,1xdxac2 x 2312 ,1x xdx ab c2 x 25 1203030505127122 dx ab2cx 2xx，方程聯(lián)立解出0707a 7 , b 3 , c 1 ,于是1575x f (x)dx7f ( 3 )1f (1)101575再令 f (x)x3 ,此時(shí)x x3 d

18、x29127(3) 31(1)3x21090915 75因此該公式最多有2 次代數(shù)精度，不夠理想。48、A, 例如：2k1002limAkA , 但是 lim AkAkA2但是 limkk03k30k49、 Householder 鏡像變換HI2T ,21 有HTHH 1,HTHH 2IH 變換特征值為1，奇異值為1， det(H )1，因?yàn)镠xx, x 2Txx,如果 T（正交）；如果T（平行）x 0,1x 0,（）x 2T，（） Tx 2TTx 2T，11x1x 1250、利用 H 變換可將任意向量x，變?yōu)榈乳L度的向量y， x 2y 2xy為鏡面 H,y 2x的標(biāo)準(zhǔn)法向量51、利用復(fù)化梯形

19、公式和Simpson 公式求2 cos(x)dx ，如果誤差小于0.01 區(qū)間應(yīng)該分幾份？0TnIh 2( f(b)f( a)h 2sin( )sin(0)h 2120.01,12212h0.34,(ba) / h2/ 0.344.6至少要分5 份，計(jì)算6 個(gè)函數(shù)值SnIh 4(1)4( f (b) f (a)h4sin( )sin(0)h 40.01,1802288022880h2.32, (ba) / h2/ 2.320.67只利用原區(qū)間即可，計(jì)算3 個(gè)函數(shù)值。以上公式在估算面積近似值時(shí)，要理解為有向面積的代數(shù)和， 并不代表實(shí)際面積誤差，特別當(dāng) (f()f(a)或( f(b)f(a)等零或

20、者很小時(shí)，不能簡單套用。bn52、復(fù)內(nèi)積 ( x, y) yHxxi yi ,由此：（i 1n由此：一般實(shí)內(nèi)積(x, y)wi xi yi ,( f , g )i153、函數(shù)內(nèi)積 ( f , g)b(x) f ( x) g (x)dxax, y) ( y, x),( x,y)( x, y)n2wi f (xi ) f ( yi )( g, f ), ( f , f )f 2i 12( g, f ), ( f , f )f 254、正定矩陣：x0, 有xT Ax 0如果 A 正定， aii 0, A的順序主子式正定，A的任意主子式正定n3n2nn 3n3n25nn355、 Gauss 消去法：乘除次數(shù)3o() ，加減次數(shù)2o()33363加減乘除總次數(shù)o( 2n3) 存儲量 n2n， Gauss 選主元增加比較次數(shù)o( n 3) ， Gauss 選主33元消去法計(jì)算量為(3 )o n56、 Cholesky 分解法： A （對稱） A=LDL T，（ A 又還正定）， A=LL T，如果指定A 各對角元符號（例如都大于零） ，則 A=LL T 唯一。乘除次數(shù) 1