高等數(shù)學(xué)講義(二)

1、 第3講 導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的主要研究對象是函數(shù)，函數(shù)是變量之間的對應(yīng)關(guān)系，怎樣研究函數(shù)的變化是這一講的主要問題。3.1 導(dǎo)數(shù)的概念一、函數(shù)的變化率對于函數(shù)，我們要研究怎樣隨變化，進(jìn)一步我們還要研究變化的速率，可以先看看下面這個圖我們可以看出，對于相同的自變量的改變量，所對應(yīng)的函數(shù)改變量是不同的?？梢员硎咀兓乃俾?，但這是一個平均速率，怎樣考慮函數(shù)在一點(diǎn)的變化率呢？二、導(dǎo)數(shù)的概念根據(jù)前面的介紹，我們給出下面的定義。定義3.1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其某個鄰域內(nèi)有定義，對應(yīng)于自變量在處的改變量，函數(shù)相應(yīng)的改變量為，如果當(dāng)時(shí)極限存在，則此極限值稱為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，或在點(diǎn)處函數(shù)關(guān)于自變量的變化率，記

2、作，或這時(shí)，稱函數(shù)在點(diǎn)處是可導(dǎo)的。 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，我們來求一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例1 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。解 根據(jù)定義求導(dǎo)數(shù)通常分三步：（）求：（）求：（）求：因此得出。 如果函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，那么我們就得到了一個新的函數(shù)，稱為的導(dǎo)函數(shù)。在點(diǎn)的函數(shù)值就是在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。例2 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。解 按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟： 因此得出。例3 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求（為自然數(shù)）在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。解 按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟： 因此得出。 可以看出上例的結(jié)果與本例的結(jié)果是一致的。例4 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。解 按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟： 因此得出。這個結(jié)果可以寫成。例5 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義

3、求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。解 按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟： 因此得出。這個結(jié)果可以寫成 從這兩個例子可以看出公式不僅在為自然數(shù)時(shí)成立，而且當(dāng)和時(shí)也成立。因此我們不妨認(rèn)為對任意實(shí)數(shù)，有。 下面再來看一下利用重要極限求基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的例子，為此先給出第2個重要極限的另一種形式的另一種形式是另外，記稱為自然對數(shù)。例6 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。解 按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟： 注意到，當(dāng)時(shí)有，設(shè)，第2個重要極限公式有且是連續(xù)函數(shù)，所以有 因此得出。例7 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。解 按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟： 注意到，當(dāng)時(shí)有，設(shè)，據(jù)第1個重要極限公式有且是連續(xù)函數(shù)，所以有 因此得出。下面我們給出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

4、公式 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義從下面這個圖中我們可以看出，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是函數(shù)曲線在過點(diǎn)處的切線的斜率。這樣便可得到切線的方程 例8求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程。解 ，所以。由此得切線方程即。定理3.1 若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在連續(xù)。證 由于由定理2.1，有其中是無窮小量。上式可寫成由此得 定理3.1的結(jié)論是不可逆的，例如函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，但在該點(diǎn)不可導(dǎo)。3.2 求導(dǎo)法一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則我們可以看出，由定義求導(dǎo)是很復(fù)雜的，有了基本導(dǎo)數(shù)公式后也并未使求導(dǎo)的范圍擴(kuò)大多少，為此我們給出下面的運(yùn)算法則：設(shè)函數(shù)和在點(diǎn)處可導(dǎo)，則有上述公式我們稱為導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。根據(jù)第3個公式還可以得到，若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，為任

5、意常數(shù)，則有對于導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，我們僅就加法和乘法法則加以驗(yàn)證：因?yàn)樗?即 又因?yàn)?所以即 例9求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 解 利用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和基本導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算： 二、復(fù)合函數(shù)導(dǎo)求導(dǎo)法則有了導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則以后，可以求導(dǎo)的函數(shù)類型被大大地?cái)U(kuò)充了。但仍有我們無法解決的類型，如，等函數(shù)。定理3.5 設(shè)函數(shù)，且在點(diǎn)處可導(dǎo)，在相應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且簡單驗(yàn)證這個定理。由于在 點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處連續(xù)，因此有。故有由導(dǎo)數(shù)定義得到 稱定理3.5為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，也稱為鏈鎖法則。例10求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 解 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算：設(shè)，有 設(shè)，有 設(shè)，有 設(shè)，有 例11設(shè)，求。

6、解 因?yàn)?設(shè)，有。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 三、隱函數(shù)導(dǎo)求導(dǎo)法在下面的方程中的值可以隨著的值而確定，即是的函數(shù)。但無法表示成的表達(dá)式，這種函數(shù)關(guān)系稱為隱函數(shù)。例12由方程所確定的函數(shù)，求。解 等式兩端同時(shí)對自變量求導(dǎo)， 左端： 右端：由此得解出，得例13設(shè)，求。解 由已知條件可得等式兩端同時(shí)對自變量求導(dǎo)， 左端： 右端：由此得解出，得例14設(shè)，求。解 由已知條件可得等式兩端同時(shí)對自變量求導(dǎo)， 左端： 右端：由此得解出，得例15設(shè)，求。解 由已知條件可得等式兩端同時(shí)對自變量求導(dǎo)， 左端： 右端：由此得解出，得3.3 微分一、微分的概念 在前面的討論中，對于函數(shù)，我們經(jīng)常遇到函數(shù)的改變量，也就是從上式

7、的右端看函數(shù)的改變量是自變量改變量的函數(shù)，這種函數(shù)關(guān)系一般來說是復(fù)雜的，能否將這種復(fù)雜的關(guān)系用簡單的關(guān)系來近似呢？結(jié)論是在可導(dǎo)的情況下是可以的，因?yàn)榇藭r(shí)有即稱為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記為。即 或例16求下列函數(shù)的微分： 解 利用微分定義式： 由的結(jié)果得到。因此微分又可記為 或 根據(jù)上式，導(dǎo)數(shù)的符號又可記為 或 微分的幾何意義由下面的圖形可以看出二、微分的運(yùn)算法則 微分的運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算關(guān)系密切，與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算類似，微分也有四則運(yùn)算法則及 三、一階微分形式不變性如果函數(shù)，且在點(diǎn)處可導(dǎo)，在相應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo)，那么對于復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的微分就有兩種表達(dá)方式，即 形式上看以上兩種表示之間似乎存在區(qū)別，進(jìn)一步看以上結(jié)果稱

8、為一階微分形式不變性。例17設(shè)，求。解 利用一階微分形式不變性得 由此得例18由方程所確定的函數(shù)，求。解 利用微分運(yùn)算法則和一階微分形式不變性，等式兩端分別求微分得 左端： 右端：由此得整理得得注意到本例的結(jié)果與例12是相同的。3.4 高階導(dǎo)數(shù)在本章的開始，我們曾提到如果函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，那么我們就得到了一個新的函數(shù)，稱為的導(dǎo)函數(shù)（或一階導(dǎo)函數(shù)）。若在點(diǎn)處可導(dǎo)，即存在，則稱此極限為在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記為 或 或 就是說 仿此我們可以定義函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，并記為 或 或 例17設(shè)，求。解 利用基本導(dǎo)數(shù)公式得 第4講 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在這一講中，我們要進(jìn)一步應(yīng)用導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)的性質(zhì)。4.1

9、 中值定理下面介紹的這個定理是第4章中的一個核心定理，本章幾乎所有結(jié)論都圍繞它而產(chǎn)生。定理4.2 （拉格朗日（Lagrange）定理）設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得， 對拉格朗日定理，我們利用下面的圖形加以說明這里需要指出，定理中的條件是不可缺少的。以下經(jīng)常將此定理敘述為如下形式：設(shè)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，對任意，則介于與之間至少存在一點(diǎn)，使得推論1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則在該區(qū)間內(nèi)是一個常值函數(shù)： （為常數(shù)）推論2 設(shè)函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則和相差一個常數(shù)： 推論2的證明可以借助于輔助函數(shù)。 4.3 函數(shù)的單調(diào)性和極值 在這里我們利用一階導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。一、函

10、數(shù)的單調(diào)性定理4.5設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果在內(nèi)，則在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升；如果在內(nèi)，則在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)下降。證 對任意的且時(shí)，由拉格朗日定理知存在使得由已知，所以，即，也就是因此可知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升。同理可證在區(qū)間內(nèi)單調(diào)下降。例1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解 觀察可以看出，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 綜上可知的單調(diào)上升區(qū)間是和；單調(diào)下降區(qū)間是。例2 說明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。解 觀察可以看出，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)下降；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升。二、函數(shù)的極值定義4.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的一個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)時(shí)恒有則稱是的極大值點(diǎn)，稱為的極大值。如果當(dāng)時(shí)恒有則稱是的極小值點(diǎn)，稱為的極小值。 注意下圖，很多結(jié)論可

11、以用它來做幾何解釋。 通過觀察我們直接給出下面的結(jié)論。定理4.6（極值點(diǎn)的必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的一個鄰域內(nèi)有定義，且是的極值點(diǎn)，如果在可導(dǎo)，則 我們將滿足的點(diǎn)稱為的駐點(diǎn)。從上圖中看到，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)（如），極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)（如）。定理4.6的意義在于函數(shù)的極值點(diǎn)只存在于它的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)當(dāng)中。定理4.7（極值點(diǎn)的充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且。如果在兩側(cè)的符號相同，則不是的極值點(diǎn)，如果在兩側(cè)的符號相反，則是的極值點(diǎn)。進(jìn)而，如果在左側(cè)為正，在右側(cè)為負(fù)，則是的極大值點(diǎn)。如果在左側(cè)為負(fù)，在右側(cè)為正，則是的極小值點(diǎn)。求極值點(diǎn)的步驟首先求的導(dǎo)數(shù)，找出所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；對所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)

12、點(diǎn)進(jìn)行判斷以找出極值點(diǎn)；進(jìn)一步確定它們是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。例3 求函數(shù)的極值點(diǎn)。解 因?yàn)樗辛?，得，。對，左正右?fù)，所以是的極大值點(diǎn)。對，左負(fù)右正，所以是的極小值點(diǎn)。三、最大值最小值問題設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖冢ɑ颍?，使對任意?（或）則稱（或）為的最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)），稱（或）為的最大值（或最小值）。 仍由前圖看出，最大值點(diǎn)不一定是極大值點(diǎn)（如），極大值點(diǎn)也不一定是最大值點(diǎn)（如）。求函數(shù)最大值點(diǎn)的步驟首先求出的所有極大值點(diǎn)；找出取值最大的極大值點(diǎn)；將取值最大的極大值點(diǎn)的函數(shù)值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較，取值最大的點(diǎn)即為最大值點(diǎn)。 求函數(shù)最小值點(diǎn)的步驟與上類似。例4 求函數(shù)在區(qū)間上的最大

13、值點(diǎn)和最小值點(diǎn)。解 因?yàn)樗辛?，得。比較函數(shù)值得， ， 由此可知是在區(qū)間上的最大值點(diǎn)，是最小值點(diǎn)。例5 求曲線上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)的距離最短。解 曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式為與在同一點(diǎn)取到最大值，為計(jì)算方便求的最大值點(diǎn)，將代入得令 求導(dǎo)得令得并由此解出，即曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)到點(diǎn)的距離最短。例6圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為l，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？解 如圖所示，圓柱體高與底半徑滿足hrl 圓柱體的體積公式為 將代入得 求導(dǎo)得 令得，并由此解出即當(dāng)?shù)装霃?，高時(shí)，圓柱體的體積最大。例7 從面積為的一切矩形中，求周長最小的矩形的邊長。解 設(shè)矩形的邊長分別為，周長為，則有由矩形面積公式得代入面積公式得令得（舍去），。即當(dāng)矩形的邊長時(shí)，矩形的周長最小。4.5 函數(shù)的凹凸 在這里我們利用二階導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的凹凸性。定義4.2設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果曲線上每一點(diǎn)處的切線都位于該曲線的下方（或上方），則稱曲線在區(qū)間內(nèi)是凹（或凸）的。凹凸的幾何意義如下圖所示定理4.9設(shè)