指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法

1、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法 ·例題例 5-3-7 解不等式：解 (1) 原不等式可化為x2-2x-1 <2( 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 )x2-2x-3 <0 (x+1)(x-3) <0所以原不等式的解為 -1 <x<3。(2) 原不等式可化為注 函數(shù)的單調(diào)性是解指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的重要依據(jù)。例 5-3-8 解不等式 log x+1(x 2-x-2) >1。解 法一 原不等式同解于所以原不等式的解為 x> 3 法二 原不等式同解于2 log x+1(x -x-2) > log x+1(x+1)所以原不等式的解為 x> 3。注 解這類

2、對數(shù)不等式，要注意真數(shù)為正數(shù)，并須對底數(shù)的分類討論。解 原不等式可化為22x-6×2x-16<0令 2x=t(t >0) ，則得t 2-6t-16 <0 (t+2)(t-8) <0 -2 <t<8又t>0，故 0<t<8即0<2x<8，解得 x<3。注 解這類指數(shù)不等式，常常需要通過變量代換把它變?yōu)檎讲坏仁絹斫?。?原不等式可化為解得 t<-2 或 0<t<1，即注 解不同底的對數(shù)不等式，應(yīng)先化為同底對數(shù)的不等式，再利用對數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性將它轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。這時(shí)也常常用到換元法。例 5-

3、3-11 設(shè) a>0且 a1，解不等式解 原不等式可化為令 log ax=t ，則得當(dāng) 0< a< 1 時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有4-t 2<1-2t t 2-2t-3 >0 (t+1)(t-3) >0t < -1 ，或 t > 3當(dāng) a> 1 時(shí)，則有4-t 2>1-2t t 2-2t-3 <0 (t+1)(t-3) <0 -1 <t <3注 解既含指數(shù)又含對數(shù)的不等式的基本思想是“化同底，求單一”， 即把不同底的指數(shù)或?qū)?shù)化為同底的， 再通過函數(shù)的單調(diào)性將復(fù)合情形轉(zhuǎn)化為 只含指數(shù)或?qū)?shù)的單一情形求解。例 5

4、-3-12設(shè) f(x) 是定義在實(shí)數(shù)集 R內(nèi)的函數(shù)，對任意 x， yR，有f(x+y)=f(x) ·f(y) ；并且當(dāng) x> 0 時(shí)， f(x) >1，f(1)=a 。解關(guān)于 x 的不等式 f(x 2+x-4) >a2。分析 由題設(shè)條件容易聯(lián)想到 f(x) 是指數(shù)型函數(shù)，又a2=f(1) · f(1)=f(2) ，故原不等式同解于 f(x 2+x-4) >f(2) 。于是，問題歸結(jié) 為先確定 f(x) 的單調(diào)性，再解一個(gè)二次不等式。=0，否則，對任意 x R，有f(x)=f(x-x 0)+x 0)=f(x-x 0)f(x 0)=0與已知矛盾，所以對任意 xR，有 f(x) >0現(xiàn)設(shè) x，yR，且 y=x+( > 0) 。則f(y)-f(x)=f(x+ )-f(x)=f(x)f( )-f(x)=f(x)f( )-1 >0( > 0，f( ) >1)。故 f(x) 在 R 內(nèi)是增函數(shù)。于是原不等式同解于x2+x-4 >