淺談高中立體幾何證明的方法

1、淺談高中立體幾何證明的方法欒心昊摘要研究立體幾何的證明方法，能提高學(xué)生的解題能力.關(guān)鍵詞立體幾何；證明方法；高中數(shù)學(xué)中圖分類(lèi)號(hào)G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)1674-6058202114-0037-02高中立體幾何的知識(shí)點(diǎn)散而多.從平面幾何到立體幾何，線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系；平面幾何上的平行、垂直到立體幾何上的線面相交線面垂直、線面平行、面面相交面面垂直、面面平行.三角函數(shù)在立體幾何中的重要應(yīng)用以及各種定理，再到空間向量在立體幾何中的重要應(yīng)用.這些知識(shí)有規(guī)律的無(wú)規(guī)律的相互交織在一起，讓我們捉襟見(jiàn)肘.雖然知識(shí)點(diǎn)很多，但是仔細(xì)想來(lái)并不是毫無(wú)章法可言.一、從題目的條件入手，通過(guò)層層推理，逐一

2、論證，得出結(jié)論【例1】如圖1，直棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90°，BAC=30°，BC=1，AA1=6，M是CC1的中點(diǎn).求證：AB1A1M.證明：ACB=90°?B1C1A1C1，又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以B1C1面A1C，聯(lián)結(jié)A1C，那么AC1是AB1在面A1C上的射影，在四邊形AA1C1C中，AA1A1C1=A1C1C1M=2，且AA1C1=A1C1M=2.AA1C1A1C1M，AC1A1+MA1C1=90°，AC1A1M，AB1A1M.二、增添輔助線輔助線常用的有：中點(diǎn)連線，過(guò)某一特定的點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，過(guò)某點(diǎn)作該邊的延

3、長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線，過(guò)特定的點(diǎn)作一邊的平行線，等等.這些輔助線有三種作用：一是構(gòu)建橋梁；二是簡(jiǎn)化圖形；三是隱藏條件明朗化.【例2】如圖2，在矩形ABCD中，AB=33，BC=3，沿對(duì)角線BD將BCD折起，使點(diǎn)C移到P點(diǎn)，且P在平面ABD上的射影O恰好在AB上.1求證：PB面PAD；2求點(diǎn)A到平面PBD的距離；3求直線AB與平面PBD所成角的大小.分析：1P在平面ABD上的射影O在AB上，PO面ABD，故斜線BP在平面ABD上的射影為AB.DAAB，DABP，又BCCD，BPPD.AD?PD=D?BP面PAD.2過(guò)A作AEPD，交PD于E.BP面PAD，BPAE，AE面BPD.故AE的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到

4、平面BPD的距離.ADAB，DABC?AD面ABP，ADAP.在RtABP中，AP=AB2-BP2=32；在RtBPD中，PD=CD=33，在RtPAD中，由面積關(guān)系，得AE=AP·ADPD=32×333=6.3聯(lián)結(jié)BE，AE面BPD，BE是AB在平面BPD的射影.ABE為直線AB與平面BPD所成的角，在RtAEB中，sinABE=AEAB=23，ABE=arcsin23.【例3】正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為8，面的對(duì)角線B1C=10，D為AC的中點(diǎn).1求證：AB1/平面C1BD；2求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值.分析：1聯(lián)結(jié)BC1交B1C于點(diǎn)E，那么E

5、為B1C的中點(diǎn)，并聯(lián)結(jié)DE，D為AC中點(diǎn)，DE?AB1.而DE?面BC1D，AB1?面BC1D.AB1?面C1BD.2由1知AB1?DE，那么DEB或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角，由條件知B1C=10，BC=8，那么BB1=6.E三棱柱中AB1=BC1，DE=5.又BD=32×8=43.在BED中cosBED=BE2+DE2-BD22BD·DE=25+25-482×5×5=125.故異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為125.三、向量法立體幾何證明，很多時(shí)候直接通過(guò)定理推理論證是無(wú)法得出結(jié)論的，這時(shí)候必須借助向量法來(lái)證明.第一步，以某個(gè)點(diǎn)為坐

6、標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系；第二步，通過(guò)建立好的空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)的形式表示出對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)、對(duì)應(yīng)點(diǎn)；第三步，通過(guò)向量的四那么運(yùn)算結(jié)合對(duì)應(yīng)的公式、定理進(jìn)行推導(dǎo)證明.【例4】如圖4，在正三棱柱A1B1C1-ABC中，D、E分別是棱BC、CC1的中點(diǎn)，AB=AA1=2.1證明：BEAB1；2求二面角B-AB1-D的大小.分析：如圖5建立空間直角坐標(biāo)系.1證明：因?yàn)锽-1，0，0，E1，0，1，A0，3，0，B1-1，0，2，所以BE=2，0，1，AB1=-1，-3，2，故BE?AB1=2×-1+0×-3+1×2=0，因此，有BEAB1.2設(shè)n1=x，y，z是平面ABB1的

7、法向量，因?yàn)锳B1=-1，-3，2，BB1=0，0，2，所以由n1AB1n1BB1?n1?AB1=-x-3y+2z=0n1?BB1=2z=0?可取n1=3，-1，0；同理，n2=2，0，1是平面AB1D的法向量.設(shè)二面角B-AB1-D的平面角為，那么cos=|cos|=|n1?n2|n1|?|n2|=155?=arccos155.通過(guò)本文簡(jiǎn)略的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)在立體幾何證明題解答中，有很多的方法和途徑是可以采取的.輔助線的正確添加會(huì)使我們?cè)诮忸}的過(guò)程中事半功倍，迸發(fā)出新的思路.另外，合理地應(yīng)用向量法，可以將傳統(tǒng)的幾何證明轉(zhuǎn)化成向量的坐標(biāo)化計(jì)算，可以幫助我們求證答案.參考文獻(xiàn)【1】張傳法.巧用

8、向量運(yùn)算工具解立體幾何問(wèn)題J.數(shù)理化解題研究，20218.【2】趙利俠.輔助線在幾何題中的重要性J.數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，202153.【3】張明賢.輔助線的作用及其添加原那么J.-教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，252.責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)猜你喜歡立體幾何高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中基于“數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(2021年12期)2021-08-07微課在高中立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用初探學(xué)周刊(2021年2期)2021-01-08淺談高中生數(shù)學(xué)抽象能力的理解及培養(yǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·高中版(2021年11期)2021-01-02高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)現(xiàn)狀初探新課程·中學(xué)(2021年6期)2021-08-24立體幾何最值問(wèn)題的解題思路新教育時(shí)代·教師版(2021年18期)2021-06-27立體幾何教學(xué)中空間想象力的培養(yǎng)南北橋(2021年6期)2021-04-08立體幾何教學(xué)中空間想象力的培養(yǎng)南北橋(2021年6期)2021-04-08立體幾何教學(xué)