向量積的行列式計算法（課堂PPT）

1、1.a或表示法:向量的模 :向量的大小,21MM記作向量:(又稱矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量稱為向量向徑 (矢徑):自由向量: 與起點無關(guān)的向量.起點為原點的向量.單位向量: 模為 1 的向量,.a或記作 a零向量: 模為 0 的向量,.00或，記作有向線段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或第二節(jié) 矢量代數(shù)2規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b 平行, ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,

2、 故兩向量平行又稱 兩向量共線 .若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此 k 個向量共面 .記作a ;36.2.1 矢量運算1. 矢量的加法矢量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律 : 交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 4s3a4a5a2a1a54321aaaaas52. 矢量的減法矢量的減法三角不等式ab)( ab有時特別當,ab aa)( aababaabababa0baba6aa3. 數(shù)量與矢量的乘法數(shù)量與矢量的乘法 是一個數(shù) ,.a規(guī)定 :時，0，同向與aa,

3、0時,0時.0a;aa;1aa可見;1aa;aa 與 a 的乘積是一個新向量, 記作，反向與aa總之:運算律 : 結(jié)合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a則有單位向量.1aa因此aaa 7空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影u AA 過過點點A作作軸軸u的的垂垂直直平平面面，交交點點A 即即為為點點A在在軸軸u上上的的投投影影.4. 矢量的射影矢量的射影8空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uAA BB 已已知知向向量量的的起起點點A和和終終點點B在在軸軸u上上的的投投影影分分別別為為BA ,那那么么軸軸u上上的的有有向向線線段段BA 的的值值，稱稱為為向向量量

4、在在軸軸u上上的的投投影影.9ABjuPr.BA 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影記記為為關(guān)于向量的關(guān)于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向量向量AB在軸在軸u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：軸與向量的夾角的余弦：ABjuPr cos| AB 證證uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 10定理定理1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負；投影為負；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 115. 矢量的分解與矢量的坐標矢

5、量的分解與矢量的坐標在空間直角坐標系下,設(shè)點 M , ),(zyxM則沿三個坐標軸方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標為此式稱為向量 r 的坐標分解式坐標分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量 r 可用向徑 OM 表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC126.矢量的模方向余弦方向數(shù) 1. 向量的模與兩點間的距離公式向量的模與兩點間的距離公式222zyx),(zyxr 設(shè)則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得兩點間的距離公式:),(1212

6、12zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對兩點與, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA13oyzx 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點 O ,aOA作,bOBOAB稱 =AOB (0 ) 為向量 ba,的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標軸的夾角 , , rr稱為其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. 記作),(ba14oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscos

7、cos222方向余弦的性質(zhì):的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos15 作業(yè)：作業(yè)：p-25 習題習題6.1-6.2 10，18，161M沿與力夾角為的直線移動,W1. 定義定義設(shè)向量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積 (點積) .引例引例. 設(shè)一物體在常力 F 作用下, F位移為 s , 則力F 所做的功為cossFsFW2Mbacosba的與為baba,s6.2.2 兩矢量的數(shù)量積17,0時當a上的投影為在ab記作故,0,時當同理babj rPb數(shù)量積的基本性質(zhì)數(shù)量積的基本性質(zhì)為兩個非零向量, 則有baj rPcosbbabaaj rPba1)000.A BABAB ，或，或, AB特

8、 別0A BABba0ba則2),(ba0,0ba182) 交換律3) 結(jié)合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba4) 分配律cbcacba事實上, 當0c時, 顯然成立 ;時當0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac19ABCabc例例1. 證明三角形余弦定理cos2222abbac證證:則cos2222abbac如圖 . 設(shè),aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,20)(MB, )(MA B

9、M例例2. 已知三點, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1則AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故21引例引例. 設(shè)O 為杠桿L 的支點 , 有一個與杠桿夾角為OQOLPQ符合右手規(guī)則OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一個向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點上 ,則力 F 作用在杠桿上的力FoPFMFM 6.2.3 兩矢量的矢量積22定義定義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba

10、引例中的力矩FOPM思考思考: 右圖三角形面積abba21S234. 數(shù)量積的坐標表示數(shù)量積的坐標表示設(shè)則, 10zzyyxxbababa當為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,兩向量的夾角公式 , 得242. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量, 則，0sin或即01)0A A2), A B0A B A B,0,0時當baba0basinab05) 分配律4) 結(jié)合律B A cba )(cbca3) A

11、B證明證明:ba )()( ba)(ba25)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量積的坐標表示式向量積的坐標表示式設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk26向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kaj

12、aiaazyxkbjbibbzyx27例例4. 已知三點, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: 如圖所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三28一點 M 的線速度例例5. 設(shè)剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉(zhuǎn), 導出剛體上 的表示式 . Ml解解: 在軸 l 上引進一個角速度向量使a其在 l 上任取一點 O,O作它與則點 M離開轉(zhuǎn)軸的距離a且符合右手法則的夾角為 , ,sinar, rOM vsinr,vr rvvv方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 ,r向徑291. 定義定義

13、 已知三向量稱數(shù)量混合積混合積 .記作幾何意義幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高h故平行六面體體積為hAV coscba)(cba,cba的為cba,Abaccba,以則其cosbaccba)(bacba cba6.2.4 兩矢量的混合積30zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合積的坐標表示混合積的坐標表示設(shè)xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc313. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 三個非零向量共面的

14、充要條件是0(2) 輪換對稱性 :(可用三階行列式推出)cbacba,ab cab cabcabc32例例6. 已知一四面體的頂點),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求該四面體體積 . 1A2A3A4A解解: 已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA33例例7. 證明四點, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面 .解解: 因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四點共面 .ADACAB34內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容